293-切線的性質(zhì)和判定課件

29.3切線的性質(zhì)和判定冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)2023年6月3日思考：判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有____種：（1）根據(jù)定義，由________________

的個(gè)數(shù)來(lái)判斷；（2）根據(jù)性質(zhì)，由_________________

______________的關(guān)系來(lái)判斷。在實(shí)際應(yīng)用中，常采用第二種方法判定。兩直線與圓的公共點(diǎn)圓心到直線的距離d與半徑r2.前面我們已學(xué)過(guò)的切線的性質(zhì)有哪些？答：①、切線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②、切線和圓心的距離等于半徑。思考：1.什么是圓的切線?判斷一條直線是圓的切線的方法有那些?觀察右圖：如果直線AT是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，那么AT和半徑OA是不是一定垂直？ATO直線AT切圓O于AATOA[切線的性質(zhì)定理]

圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑一、切線還有什么性質(zhì)？觀察與思考1.如圖，如果一條直線經(jīng)過(guò)圓心O，并且與切線AB垂直，那么這條直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)T嗎？為什么？1.如圖，如果一條直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)T，并且與切線AB垂直，那么這條直線經(jīng)過(guò)圓心O嗎？為什么？OBAT探索切線性質(zhì)假設(shè)OA與AT不垂直,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AT,垂足為M,則OM<OA,即d<r,因此,AT與⊙O相交.這與已知條件“直線AT與⊙O相切”相矛盾.所以AT與OA垂直.ATOM探索切線性質(zhì)∵右圖是軸對(duì)稱圖形,AB是對(duì)稱軸,∴沿直線AB對(duì)折圖形時(shí),AT與AD重合,因此,∠BAT=∠BAD=90°.ATOBD作直徑AB經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑經(jīng)過(guò)圓心直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線知二推一經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線經(jīng)過(guò)圓心直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓心(半徑)垂直于切線(3).如果AB是⊙O的切線，OA⊥AB，那么A是(2).如果半徑OA⊥AB，那么AB是按圖填空：(口答)(1).如果AB切⊙O于A，那么AOB⊙O的切線切點(diǎn)⊥OAAB.練習(xí)：1、已知：如圖：在△ABC中，AC與⊙O相切于點(diǎn)C，BC過(guò)圓心），∠BAC=63°，求∠ABC的度數(shù)。2、已知：如圖：AB是⊙O的弦，AC切⊙于點(diǎn)A，且∠BAC=54°，求∠OBA的度數(shù)。d

lr二、切線的判定觀察與發(fā)現(xiàn)圖中怎樣判定直線l是⊙O的切線？答:①直線與圓有唯一公共點(diǎn)；②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；思考判定一條直線是不是圓的切線除了這兩種方法外，還有其它方法嗎?

如圖OA是⊙O的半徑，過(guò)點(diǎn)A作直線l⊥OA,1、用r表示半徑的長(zhǎng)，d表示圓心O到直線l的距離，那么，r和d有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直與這條半徑的直線是圓的切線．Alo切線的判斷定理：2、指出直線l和⊙O有什么位置關(guān)系?

直線l

是⊙O相切．一起探究d=r

3、重新在圓上取幾個(gè)點(diǎn)，重復(fù)上面的過(guò)程，指出過(guò)半徑的外端且垂直半徑的直線與⊙O的位置關(guān)系。

幾何符號(hào)表達(dá)∵OA是半徑，OA⊥l于A∴l(xiāng)是⊙O的切線。判斷對(duì)錯(cuò)1.過(guò)半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的的直線是圓的切線（）3.過(guò)半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線(

)×××OrlAOrlAOrlA

利用判定定理時(shí)，要注意直線須具備以下兩個(gè)條件,缺一不可:(1)直線經(jīng)過(guò)半徑的外端;(2)直線與這半徑垂直。O切線的畫(huà)法如圖，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線llA

1、連結(jié)OA2、過(guò)點(diǎn)A畫(huà)l⊥OA直線l為所畫(huà)l’O切線的畫(huà)法如圖，點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線llA

1、直角三角板的一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)O2、平移三角板，使其另一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3、畫(huà)直線lMN3.如圖的兩個(gè)圓是以O(shè)為圓心的同心圓，大圓的弦AB是小圓的切線，C為切點(diǎn).求證：C是AB的中點(diǎn).CABO證明：如圖，∴C是AB的中點(diǎn).AC=BC根據(jù)垂徑定理，得OC⊥AB連接OC,則例：如果在地球赤道上空同樣高度的位置上放置等距的三顆地球同步通信衛(wèi)星，使衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)剛好能夠覆蓋全部赤道，那么衛(wèi)星高度應(yīng)是什么？（地球半徑R≈6370km）

分析：我們把赤道看成一個(gè)圓，同樣高度且等距的三顆衛(wèi)星的信號(hào)剛好覆蓋全部赤道，等同于一個(gè)等邊三角形的三邊與赤道所在的圓都相切。設(shè)三顆衛(wèi)星分別位于點(diǎn)A，B，C處，這時(shí)，三個(gè)切點(diǎn)把圓三等分，每份圓弧為圓周的三分之一，易知：∠AOD=60°?！咧本€AB與圓相切于點(diǎn)D，∴OD與直線AB垂直。解：如右圖：設(shè)衛(wèi)星高度為h，在Rt△AOD中，cos60°=

即解這個(gè)方程，得：h=R≈6370km。因此，當(dāng)三顆衛(wèi)星的高度是6370km時(shí)，信號(hào)就能夠覆蓋全部赤道。一、切線的性質(zhì)有哪些？①、切線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)③、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑④、經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)⑤、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心②、切線和圓心的距離等于半徑課堂小結(jié)二、判定切線的方法有哪些？直線l

與圓有唯一公共點(diǎn)與圓心的距離等于圓的半徑經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直這條半徑l是圓的切線三、常用的添輔助線方法？⑴直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，作出過(guò)公共點(diǎn)的半徑，再證半徑垂直于該直線。（連半徑，證垂直）⑵直線與圓的公共點(diǎn)不確定時(shí)，過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（作垂直，證半徑）l是圓的切線l是圓的切線3、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心例1、求證：經(jīng)過(guò)直徑的兩端點(diǎn)的圓的切線互相平行。CDOAB已知：如圖，AB是圓O的直徑，直線AC,BD分別是過(guò)點(diǎn)A,B的圓O的切線。求證:ACBD證明：如圖，AB是⊙O的直徑AC、BD是⊙O的切線AB⊥ACAB⊥BDAC∥BD123OBACD例2、如圖，AB為⊙O的直徑，，AD是和⊙O相切于點(diǎn)A的切線，⊙O的弦BC平行于OD.求證：DC是⊙O的切線4已知：直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。OBAC分析：由于AB過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明

AB⊥OC即可。證明：連結(jié)OC(如圖)?！逴A＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線?！郃B⊥OC。∵OC是⊙O的半徑∴AB是⊙O的切線。〖例1〗〖例2〗已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCED證明：過(guò)O作OE⊥AC于E?！逜O平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線。小結(jié)例1與例2的證法有何不同?(1)如果已知直線經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡(jiǎn)記為：連半徑,證垂直。

(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn),則過(guò)圓心作直線的垂線段為輔助線,再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為：作垂直,證半徑。OBACOABCED判斷一條直線是圓的切線的方法

1.利用切線的定義:與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線。

2.利用d與r的關(guān)系作判斷:當(dāng)d＝r時(shí)直線是圓的切線。

3.利用切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。知識(shí)歸納

分析：假設(shè)符合條件的圓已經(jīng)作出，那么它應(yīng)當(dāng)與三角形的三邊都相切，這個(gè)圓的圓心到三角形的距離都等于半徑，如何找到圓心？CAB

在一塊三角形材料上截出一塊圓形用料，怎樣截才能使圓的面積最大呢？?思考

三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊的距離相等，因此，圓心是三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)。半徑的長(zhǎng)是圓心到三角形一邊的距離。內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的內(nèi)心.CABIDMNr與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓（3）以點(diǎn)I為圓心，ID的長(zhǎng)為半徑作⊙I

，則⊙I與△ABC的三條邊都相切.⊙I就是符合要求的圓，即在三角形材料上截下的面積最大的圓。解（1）分別作出∠B、∠C的平分線BM和CN，設(shè)他們相交于點(diǎn)I（2）過(guò)點(diǎn)I作ID⊥BC,垂足為DCOABEFD如圖△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長(zhǎng).解:設(shè)AF=x（cm），則AE=x，CD=CE=AC－AE=13－x，BD=BF=AB－AF=9－x，由BD+CD=BC可得（13－x）+（9－x）=14.解得x=4cm.因此AF=4（cm），BD=5（cm），CE=9（cm）.證明：連