第二節(jié)行列式的性質(zhì)

第二節(jié)行列式的性質(zhì)1第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一一行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

將行列式的行與列互換，行列式的值不變。即該性質(zhì)表明：行列式的行與列具有同等地位。2第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例如行列交換后有3第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)2

行列式中的某一行（列）若有公因子，則可將公因子提到行列式外，即證明左邊按第i

行展開左邊4第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)3

若行列式中的某一行（列）的每個(gè)元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和,這兩個(gè)行列式除該行（列)以外其余行（列）全與原來行列式對(duì)應(yīng)的行（列）一樣，即例如5第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)4

交換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號(hào)。即6第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例如二、三兩行交換后有7第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)5

若行列式中兩行（列）相同，則行列式的值等于零。即由于交換兩行后行列式?jīng)]變，因此8第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)6

若行列式中兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。即例如9第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)7

若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一數(shù)k，加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變，即×k10第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一11第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)8

行列式的某一行（列）的元素與另一(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。即12第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一比較等式兩邊，可得總結(jié)按第i行展開按第i列展開13第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一為了便于以后的計(jì)算過程更清楚，現(xiàn)引入一些記號(hào)，其中：r表示row，c表示column：14第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例1計(jì)算行列式解-804-6201-1160-2715第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例2計(jì)算行列式解該行列式的特點(diǎn)是：各行（列）的元素之和為616第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例3解方程解因?yàn)?7第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一D

例4計(jì)算

解

r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bcabcd0aababc00a2ab00a3abr4r3r3r2abcd0aababc00a2ab000ar4r3a4

下頁18第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一對(duì)D1作運(yùn)算rikrj把D1化為下三角形行列式設(shè)為

證

例5證明DD1D2其中對(duì)D2作運(yùn)算cikcj把D2化為下三角形行列式設(shè)為于是對(duì)D的前k行作運(yùn)算rikrj再對(duì)后n列作運(yùn)算cikcj把D化為下三角形行列式故Dp11

pkkq11

qnnD1D2

下頁19第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一把D2n中的第2n行依次與2n1行、、第2行對(duì)調(diào)(作2n2次相鄰對(duì)換)再把第2n列依次與2n1列、、第2列對(duì)調(diào)得根據(jù)例4的結(jié)果有D2nD2D2(n1)

(adbc)D2(n1)

以此作遞推公式即得

D2n(adbc)2D2(n2)

(adbc)n1D2(adbc)n

解

例6計(jì)算2n階行列式其中未寫出的元素為0

結(jié)束20第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一證用數(shù)學(xué)歸納法例4證明范德蒙德(Vandermonde)行列式21第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一22第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一n-1階范德蒙德行列式23第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一小結(jié)（1）行列式的性質(zhì)（2）行列式的基本計(jì)算方法26第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)1

將行列式的行與列互換，行列式的值不變。性質(zhì)2

行列式中的某一行（列）若有公因子，則可將公因子提到行列式外。性質(zhì)3

若行列式中的某一行（列）的每個(gè)元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和,這兩個(gè)行列式除該行（列)以外全與原來行列式對(duì)應(yīng)的行（列）一樣。性質(zhì)4

交換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號(hào)。27第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)5

若行列式中兩行（列）相同，則行列式的值等于零。性質(zhì)6

若行列式中兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。性質(zhì)7

若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一數(shù)k，加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。性質(zhì)8

行列式的某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。28第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一小結(jié)（1）行列式的性質(zhì)二小結(jié)、練習(xí)（2）行列式的基本計(jì)算方法29第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一1、計(jì)算行列式練習(xí)2、解方程30第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一3、計(jì)算行列式4、計(jì)算行列式031第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一克拉默(Cramer)法則

由于求解量巨大,沒有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,一般用于理論上推導(dǎo)定理3如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即32第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為33第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一證明在把個(gè)方程依次相加，得34第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng)時(shí),方程組有唯一的一個(gè)解35第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一由于方程組與方程組等價(jià),故也是方程組的解.逆否命題

如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.36第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例4

解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式37第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一同理可得故方程組的解為:38第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一齊次線性方程組的相關(guān)定理推論1如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組只有零解.三、重要定理39第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一推論2如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.40第四十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

例10