17-18版：41-空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí)-42-空間圖形的公理(一)課件

4.1

空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí)4.2

空間圖形的公理(一)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)長(zhǎng)方體這一常見(jiàn)的空間圖形，體會(huì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.2.會(huì)用符號(hào)表達(dá)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.3.掌握空間圖形的三個(gè)公理及其推論.題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考1

知識(shí)點(diǎn)一空間圖形的基本位置關(guān)系12條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？答案答案

相交，平行，既不平行也不相交.對(duì)于長(zhǎng)方體有12條棱和6個(gè)面.思考2

棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？答案答案棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交.思考3

六個(gè)面之間有哪幾種位置關(guān)系.答案答案

平行和相交.

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)A在直線a外A?a點(diǎn)B在直線a上B∈a點(diǎn)與平面的位置關(guān)系點(diǎn)A在平面α內(nèi)A∈α點(diǎn)B在平面α外B?α梳理直線與直線的位置關(guān)系平行a∥b相交______________異面a與b異面a∩b＝O直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)

線面相交

線面平行

aαa∩α＝Aa∥α平面與平面的位置關(guān)系面面平行_________面面相交____________異面直線不同在_______________________的兩條直線，叫作異面直線α∥βα∩β＝a任何一個(gè)平面內(nèi)知識(shí)點(diǎn)二空間圖形的公理思考1

照相機(jī)支架只有三個(gè)腳支撐說(shuō)明什么？答案答案

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.思考2

一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？答案答案直尺在桌面上.思考3

教室的墻面與地面有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)有什么規(guī)律？答案答案

這些公共點(diǎn)在同一直線上.公理內(nèi)容圖形符號(hào)作用公理1如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上_____________都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在_______內(nèi))________，________，且______，_______?用來(lái)證明直線在平面內(nèi)梳理的點(diǎn)平面兩點(diǎn)(1)空間圖形的公理A∈αB∈αB∈l所有A∈l公理2過(guò)

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α用來(lái)確定一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條________________________________

，

?α∩β＝l，且P∈l用來(lái)證明空間的點(diǎn)共線和線共點(diǎn)個(gè)點(diǎn)的公共直線不在一條直線上P∈β通過(guò)這P∈α(2)公理2的推論推論1：一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面(圖①).推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面(圖②).推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面(圖③).題型探究例1

根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.類(lèi)型一文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化(1)點(diǎn)P與直線AB；解答解點(diǎn)P∈直線AB.(2)點(diǎn)C與直線AB；解答解點(diǎn)C?直線AB.(3)點(diǎn)M與平面AC；解點(diǎn)M∈平面AC.(4)點(diǎn)A1與平面AC；解點(diǎn)A1?平面AC.(5)直線AB與直線BC；解直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B.(6)直線AB與平面AC；解答解(7)平面A1B與平面AC.解平面A1B∩平面AC＝直線AB.(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示.(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)成圖形.(1)直線l經(jīng)過(guò)平面α內(nèi)兩點(diǎn)A，B；(2)直線l在平面α外，且過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)P；解答解A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如圖.解l

α，P∈l，P∈α.如圖(3)直線l既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)；(4)直線l是平面α與β的交線，平面α內(nèi)有一條直線m與l平行.解答解解命題角度1點(diǎn)線共面問(wèn)題例2

類(lèi)型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用解答解因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β，解答引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi).解

已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c和l共面.證明：如圖，∵a∥b，∴a與b確定一個(gè)平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推論知：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面.在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來(lái)證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)重合法：先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線也在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).證明證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).方法二(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).命題角度2點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn).求證：CE、D1F，DA三線交于一點(diǎn).證明證明如圖，連接EF，D1C，A1B.∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，∴D1F與CE相交，設(shè)交點(diǎn)為P.∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn).又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一點(diǎn).(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上.(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.證明證明

方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.∴由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P、Q、R三點(diǎn)共線.方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三點(diǎn)共線.當(dāng)堂訓(xùn)練1.用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”，正確的是√答案23451解析

∵點(diǎn)A在直線l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l(xiāng)

α.故選B.解析答案23451√B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合3.下列推理錯(cuò)誤的是答案√23451解析

當(dāng)l

α，A∈l時(shí)，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C錯(cuò).解析A.點(diǎn)A B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)M4.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(guò)23451解析

因?yàn)槠矫姒眠^(guò)A，B，C三點(diǎn)，M在直線AB上，所以γ與β的交線必通過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)M.解析答案√5.如圖，在△ABC中，若AB，BC在平面α內(nèi)，判斷AC是否在平面α內(nèi).23451解答解AC在平面α內(nèi).因?yàn)锳B在平面α內(nèi)，所以A∈