定積分的概念

定積分的概念問題探究定積分的概念我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，

怎樣求不規(guī)則圖形的面積？

但閃爍部分永遠(yuǎn)不可能恰好為矩形，

這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時可旋轉(zhuǎn)）《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念（阿基米德問題）：求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積A．

Archimedes，約公元前287年—約公元前212年窮竭術(shù)

曲邊三角形問題探究問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念1分割（化整為零）2近似代替3求和（積零為整）矩形面積之和

誤差問題探究《高等數(shù)學(xué)》1分割（化整為零）2近似代替3求和（積零為整）減少的誤差問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念

直觀地看，小矩形越多，其面積和就越接近于所求曲線下方的面積。

如何求此面積的精確值？

取極限48個小矩形面積之和問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念abxyo

怎樣求曲邊梯形的的面積？曲邊梯形

問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念微元法STEP1:分割（化整為零）yxoy=f(x)ab.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念STEP2:取

近似值

(以常代變)yxoy=f(x)abf(i).在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,以小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念STEP3:求和

（積零為整）yxoy=f(x)ab分割越細(xì)，小矩形的面積之和越接近曲邊梯形的面積f(i)問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念yxoy=f(x)不斷增加分割點數(shù)目.ab...f(i)問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念yxoy=f(x)..f(i)A

=Aab.STEP4:取極限令拋光磨平問題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念曲邊梯形的面積近似（以常帶變）求和（積零為整）取極限分割（化整為零）新知識《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念二、定積分的概念定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任取分點將區(qū)間分為個小區(qū)間，記任取作乘積的和式新知識《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念當(dāng)時，上述和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,記作即此時稱在上可積.新知識《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),變量用什么字母表示無關(guān),積分和而與積分新知識定積分的概念

根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個引例就可以用定積分概念來描述：

曲線、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，即由拋物線與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積A等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即知識應(yīng)用定積分的概念已知有一個拋物線形的拱形隧道(如下圖所示)，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，求隧道的橫截面面積。知識應(yīng)用《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示。6-44根據(jù)題意，求得拋物線方程為：結(jié)合定積分的概念，隧道截面的面積可用定積分來表示，有：利用

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