定積分的概念

定積分的概念問(wèn)題探究定積分的概念我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，

怎樣求不規(guī)則圖形的面積？

但閃爍部分永遠(yuǎn)不可能恰好為矩形，

這些“邊角余料”無(wú)外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時(shí)可旋轉(zhuǎn)）《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念（阿基米德問(wèn)題）：求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積A．

Archimedes，約公元前287年—約公元前212年窮竭術(shù)

曲邊三角形問(wèn)題探究問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念1分割（化整為零）2近似代替3求和（積零為整）矩形面積之和

誤差問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》1分割（化整為零）2近似代替3求和（積零為整）減少的誤差問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念

直觀地看，小矩形越多，其面積和就越接近于所求曲線下方的面積。

如何求此面積的精確值？

取極限48個(gè)小矩形面積之和問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念abxyo

怎樣求曲邊梯形的的面積？曲邊梯形

問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念微元法STEP1:分割（化整為零）yxoy=f(x)ab.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念STEP2:取

近似值

(以常代變)yxoy=f(x)abf(i).在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,以小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念STEP3:求和

（積零為整）yxoy=f(x)ab分割越細(xì)，小矩形的面積之和越接近曲邊梯形的面積f(i)問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念yxoy=f(x)不斷增加分割點(diǎn)數(shù)目.ab...f(i)問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念yxoy=f(x)..f(i)A

=Aab.STEP4:取極限令拋光磨平問(wèn)題探究《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念曲邊梯形的面積近似（以常帶變）求和（積零為整）取極限分割（化整為零）新知識(shí)《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念二、定積分的概念定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任取分點(diǎn)將區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間，記任取作乘積的和式新知識(shí)《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念當(dāng)時(shí)，上述和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,記作即此時(shí)稱在上可積.新知識(shí)《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),變量用什么字母表示無(wú)關(guān),積分和而與積分新知識(shí)定積分的概念

根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個(gè)引例就可以用定積分概念來(lái)描述：

曲線、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，即由拋物線與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積A等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即知識(shí)應(yīng)用定積分的概念已知有一個(gè)拋物線形的拱形隧道(如下圖所示)，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，求隧道的橫截面面積。知識(shí)應(yīng)用《高等數(shù)學(xué)》定積分的概念建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示。6-44根據(jù)題意，求得拋物線方程為：結(jié)合定積分的概念，隧道截面的面積可用定積分來(lái)表示，有：利用

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