完全背包深入理解問題

問題：給你一個可放總重量為W的背包和N個物品，對每個物品，有重量w和價值v兩個屬性，那么第i個物品的重量為w[i]，價值為v[i]。現(xiàn)在讓你用這個背包裝物品，每代代123456輸入：W=5,N=w=[3,2,1],v=[5,2,解釋：當(dāng)i=2時，選取5次，總價值為5*3=150-10-1（每件物品只能拿一次），在完全背包問題中，每件物品可以拿任意如果從每件物品的角度來看，與之相關(guān)的決策已經(jīng)不再是選拿（1）或者不拿（）012(W/w[i])件物品為止。我曾在上一課中對-1態(tài)規(guī)劃問題。那么為了起到對照的作用，我在這里再次給出分析步驟，不過比之前的稍微簡化一些。首先，題設(shè)中出現(xiàn)了“最多能裝的價值是多少”這樣的論斷。既然有“最”字，那么我們需要先考慮貪心算法，這里我直接給出一個反例：按照示例中的提示，雖然i=1價值最高，但最后得到的解不是真正的答案。即便重復(fù)選擇相同的物品）不會對當(dāng)前這個選擇產(chǎn)生副作用。因此，該問題無后效首先，我們先來確定動態(tài)規(guī)劃解法當(dāng)中的最初子問題，即初始化狀態(tài)。這跟0-1背包問題有些類似：由于物品的數(shù)量沒有限制，因此只有當(dāng)背包的容量為0時要終止執(zhí)行，但如果0。如果體現(xiàn)在代碼上，就是當(dāng)沒有物品時重量為0；而重量為0時顯然物品數(shù)量也為0。接著，我們來確定動態(tài)規(guī)劃問題中的狀態(tài)參數(shù)，這與0-1背包問題幾乎一樣：NW因此，當(dāng)前背包內(nèi)的物品數(shù)量

W然后，我們再來看如何進(jìn)行決策。這里的區(qū)別，跟-1背包問題中的決策差別就比較大由于物品量是的此就面給示例，我以將種物品多次放入背包。因此，對于第tn種物品，我們有k種選擇（其中0≤k*w[tn]≤W）：我們可以從001件、第2件……直到第(W/w[tn])件物品為止。然后在這么多子所以，我們可以看出，完全背包問題決策的在于，針對一種物品，它需要不同數(shù)量的情況下的最優(yōu)解。這顯然與-1背包問題的決策完全不同，總結(jié)來說就是：最后，動態(tài)規(guī)劃是需要一個備忘錄用二維數(shù)組來子問題的答案。跟之前一樣，為了通用起見，我將其命名為0-1DP(tn,rw)=

0,tn<=0,rw<=max{DP(tn?1,rw?k?w[tn])+k?v[tn]},(0≦kJava代代123456789intbag(int[]w,int[]v,intN,intW)int[][]dp=newfor(inti=0;i<N+1;i++){dp[i][0]=0;for(intj=0;j<W+1;j++){dp[0][j]=0;for(inttn=1;tn<N+1;tn++)for(intrw=1;rw<W+1;{dp[tn][rw]=dp[tn-//for(intk=0;k<=rw/w[tn];k++)dp[tn][rw]=Math.max(dp[tn][rw],dp[tn-1][rw-}}}return+}intsolveBag()intN=3,W=5;int[]w0,3,2,1};//int[]v0,5,2,3};//returnbag(w,v,N,W);}C++代代intDP(conststd::vector<int>&w,conststd::vector<int>&v,intN,intW)intdp[N+1][W+1];//memset(dp,0,4//for(inti=0;i<N+1;i++){dp[i][0]=0;for(intj=0;j<W+1;j++){dp[0][j]=0;8//for(inttn=1;tn<N+1;tn++)//for(intrw=1;rw<W+1;rw++)dp[tn][rw]=dp[tn-for(intk=0;k<=rw/w[tn];k++)dp[tn][rw]=max(dp[tn][rw],dp[tn-1][rw-k*w[tn]]+ return21intDPSol()intN=3,W=5;//std::vector<int>w={0,3,2,1};//std::vector<int>v={0,5,2,3};// returnDP(w,v,NW);//29kv，那么最后的時間復(fù)雜度就是O(kv2)。我們?nèi)绻仡櫼幌?-1背包問題，就會發(fā)現(xiàn)0-1背包的時間復(fù)雜度是O(kv0-1現(xiàn)在，按照題設(shè)和上面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的定義，我們來思考一下：假如要拿第tn個物品，當(dāng)前物品重量為w[tn]，我們會放入第0件、第1件、第2件……k件該物品時的價因此，要求剩余容量為rw（rw-0*w[tn）時的最優(yōu)解，就需要遍歷求出rw-0*-次求解rw-2*w[tn]。所以，在完全背包問題中，依然存在重復(fù)計算。單，我們只需要把問題轉(zhuǎn)換成一種新的0-1背包問題就行了。0-1tntn個物品狀態(tài)下的最優(yōu)解，是第tn?1個物品的最優(yōu)解（子問題）?當(dāng)前的決策推導(dǎo)出來的。0-1rwtn件物品的時候，我們只需要考慮拿或不拿第tn件物品，而不需要考慮放入幾個第tn件物品。根據(jù)上述思路，在解決完全背包問題時，我們可以把之前的子問題等價地轉(zhuǎn)化成一個新的子問題來解決，以消除上面提到的重復(fù)計算（多出來的那個子循環(huán)）。另rw確定時，在處理第tntnrwmax(狀態(tài)A,狀態(tài)B)因此，每一次我們只需考慮，當(dāng)前是否要把第tn個物品放入背包就行了。至于之前有沒有放過第tn件物品，以及放了幾件進(jìn)入背包，已經(jīng)在容量更小的時候計算過了（需要注意的如果你還是覺得有點(diǎn)暈，沒關(guān)系，我們一種說法。在-1品只能放入一次，所以我們是以上一個物品的最優(yōu)解為基礎(chǔ)進(jìn)行決策推導(dǎo)的。而在完全背包問題里，因?yàn)橐粋€物品可以放入0到多次所以 須以當(dāng)前物品tn在容量更小時，計算出的最優(yōu)解為基礎(chǔ)進(jìn)行決策推導(dǎo)。tnrw更小的時候，就已經(jīng)選擇過0到多次當(dāng)前物品了，而且得到的最優(yōu)解在緩存中，這部分不需要每次都重復(fù)求DP(tn,rw)=

0,tn<=0,rw<=Java代代12345intbag(int[]w,int[]v,intN,intW)//int[][]dp=new//66789for(inti=0;i<N+1;i++){dp[i][0]=0;for(intj=0;j<W+1;j++){dp[0][j]=0;for(inttn=1;tn<N+1;tn++)for(intrw=1;rw<W+1;{dp[tn][rw]=dp[tn-//如果可以放入，則嘗試放入第tnif(w[tn]<=rw)dp[tn][rw]=Math.max(dp[tn][rw],dp[tn][rw-w[tn]]+}}}return}intsolveBag()intN=3,W=5intw0,3,2,1//intv0,5,2,3//returnbag(w,v,N,W);}代C++代1intDP(conststd::vector<int>&w,conststd::vector<int>&v,2intdp[N+1][W+13memset(dp,0,45//6for(inti=0;i<N+1;i++){dp[i][0]=0;7for(intj=0;j<W+1;j++){dp[0][j]=0;89//for(inttn=1;tn<N+1;tn++)//for(intrw=1;rw<W+1;{dp[tn][rw]=dp[tn-//如果可以放入，則嘗試放入第tnif(w[tn]<=rw)dp[tn][rw]=max(dp[tn][rw],dp[tn][rw-w[tn]]+}}}return}intDPSol()intN=3,W=5std::vector<int>w={0,3,2,1};//std::vector<int>v={0,5,2,3};//returnDP(w,v,N,W);}5不知道你發(fā)現(xiàn)了沒有，在改進(jìn)后的代碼中沒有k參與計算了，那么這個由0到k的循環(huán)過 子問題。在計算DP(3,5)時k=5，因此循環(huán)從6個值中求解最優(yōu)解（即求出最大值）。但是我們可以看到其中的前五步，在DP(3,4)這個問題中，也會被計算到，此時k=4。因此，DP(3,4)和DP(3,5)之間只相DP(3,5)和DP(3,3)（狀態(tài)）kDP(tn,rw)=

0,tn<=0,rw<=DP(tnrw)，那么我們只依賴于DP(tn?1rw)和DP(tn0)。tn1tn相同時的結(jié)果。10行做tn?1的緩存，用第1行做tn21行做tn?1的緩存，用第0行做tn在計算第3個物品時，用第0行做tn?1的緩存，而用第1行做tn的緩存……以此Java代代12345intbag(int[]w,int[]v,intN,intW)//int[][]dp=new//for(intrw=1;rw<W+1;rw++)tn2代表當(dāng)前行的緩存索引intctn=tn%2;1ctn代表上一行的緩存索引intptn=1-ctn;dp[ctn][rw]=//如果可以放入則嘗試放入第tnif(w[tn]<=rw)dp[ctn][rw]=Math.max(dp[ctn][rw],dp[ctn][rw-w[tn]]+}}}returndp[N%}intsolveBag()intN=3,W=5;int[]w0,3,2,1};//int[]v0,5,2,3};//returnbag(w,v,N,W);}6for(inti=0;i2;i++){dp[i][0]=0;7for(intj=0;jW+1;j++){dp[0][j]=0;89for(inttn=1;<N+1;tn++)C++代代123456789intDP(conststd::vector<int>&w,conststd::vector<int>&v,intN,intintdp[2][W+1memset(dp,0,//for(inti=0;i<2;i++){dp[i][0]=0;for(intj=0;j<W+1;j++){dp[0][j]=0;//for(inttn=1;tn<N+1;tn++)//for(intrw=1;rw<W+1;rw++)tn2代表當(dāng)前行的緩存索引intctn=tn%2;tn1代表上一行的緩存索引intptn=tn%1;dp[ctn][rw]=//如果可以放入則嘗試放入第tnif(w[tn]<=rw)dp[ctn][rw]=max(dp[ctn][rw],dp[ctn][rw-w[tn]]+}}}returndp[N%}intDPSol()intN=3,W=5std::vector<int>w={0,3,2,1};//std::vector<int>v={0,5,2,3};//returnDP(w,v,N,W);}緩存定義成只有2行，哪一行是上一行，交替使用兩部分緩存。通過這個巧妙的方式，我們大幅減少了緩存空間的使用，尤其在物品數(shù)量很多的時候效果會非常好。amasterpiec～雖然完全背包問題已經(jīng)在之前的-1有結(jié)束。我會在后續(xù)的課程中，結(jié)合完全背包的衍生面試問題與你進(jìn)行探討。不過，你還是要把本節(jié)課中提到的技巧和方法多加練下，就目前來說這更為重要。0-1如果你已經(jīng)理解到這個層面，那么恭喜你，面試這一關(guān)你已經(jīng)達(dá)標(biāo)了，面試官應(yīng)該會很滿意。因?yàn)楦鶕?jù)我的經(jīng)驗(yàn)，真就是有很多面試者會栽在這一類動歸問題的復(fù)雜度上，更別提寫出代碼了。優(yōu)化算法的時間復(fù)雜度：動態(tài)規(guī)劃的子問題并不一定是唯一的，不同的子題可能會帶來不同的計算消耗。因此，我們要盡量將問題轉(zhuǎn)換成時間復(fù)雜度最低的子優(yōu)化算法的空間復(fù)雜度：動態(tài)規(guī)劃的在于狀態(tài)（即備忘錄），定帶來消耗，也就是以空間換時間。但是在實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)際的條件并不一定能足動態(tài)規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方式。此時，我們要考慮如何壓縮狀態(tài)數(shù)，降低空間雜我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了量是無限的?，F(xiàn)在，給你這樣一個問題，如果每種物品不像0-1背包問題中那樣只有一個，也不像完全背包問題中那樣，即每種物品有個數(shù)的限制（≥1）。那么在這種題 售賣。頁面已增加防盜追蹤，將依 上一 06|0-1背包：動態(tài)規(guī)劃 o下一 01背包是跟前n-1個物品比較，1Paul]的最優(yōu)解的時