第11講對數(shù)（原卷版）

第11講對數(shù)【學習目標】1.理解對數(shù)的概念.2.知道自然對數(shù)和常用對數(shù).3.理解對數(shù)的運算性質(zhì)，能進行簡單的對數(shù)運算.4.知道對數(shù)的換底公式，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)和常用對數(shù)，并能進行簡單的化簡、計算.【基礎(chǔ)知識】知識點一對數(shù)的概念(1)對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)常用對數(shù)與自然對數(shù)通常，我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為lgN，另外，在科技、經(jīng)濟以及社會生活中經(jīng)常使用以無理數(shù)e＝2.71828…為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為lnN.知識點二對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系易得alogaN＝N，logaab＝b.根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系：當a>0，且a≠1時，ax＝N?x＝logaN.知識點三對數(shù)的有關(guān)性質(zhì)對數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的重要依據(jù)(1)零和負數(shù)沒有對數(shù)；(2)1的對數(shù)為零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；(3)底數(shù)的對數(shù)為1，即logaa＝1(a>0且a≠1).知識點四對數(shù)運算性質(zhì)熟記對數(shù)運算性質(zhì)，切忌記混性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0)知識點五換底公式經(jīng)常轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)和自然對數(shù)對數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特別地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).【考點剖析】考點一：對數(shù)的定義及其應(yīng)用例1．使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C． D．且考點二：指數(shù)式與對數(shù)式的互化例2．將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．考點三：對數(shù)的運算性質(zhì)例3．已知，那么用表示是（

）A． B． C． D．考點四：換底公式的應(yīng)用例4．________．考點五：利用對數(shù)運算法則化簡與求值例5．計算求值(1)；(2)；(3)已知，求的值．考點六：兩邊取對數(shù)思想在解題中的應(yīng)用例6．已知，求證：.【真題演練】1．Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應(yīng)用于流行病學領(lǐng)域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．692．已知，，，，則下列等式一定成立的是A． B． C． D．3．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．10934．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．5．若，則．6．lg0.01＋log216＝_____________.7．已知，，，則______8．________．9．若，則_________．10．求值：______.11．某化工集團生產(chǎn)的一種化工產(chǎn)品最初的雜質(zhì)含量為64%，先進性除雜，每除雜一次雜質(zhì)含量減少，要使雜質(zhì)含量不超過1%，則過濾的次數(shù)至少為___________.（參考數(shù)據(jù)：）【過關(guān)檢測】一、單選題1．已知，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A．2 B．3 C． D．3．（

）A．3 B．1 C． D．4．已知，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．25．農(nóng)業(yè)農(nóng)村部于年月日發(fā)布信息：全國按照主動預(yù)防、內(nèi)外結(jié)合、分類施策、有效處置的總體要求，全面排查蝗災(zāi)隱患．為了做好蝗蟲防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專家假設(shè)蝗蟲的日增長率為，最初有只，則大約經(jīng)過（

）天能達到最初的倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，．）A． B． C． D．6．（

）A．5 B．3 C．2 D．07．已知，，則（用，表示）等于（

）A． B．C． D．二、多選題8．以下運算錯誤的是（

）A． B． C． D．9．（多選）若，，則（

）A． B．C． D．10．(多選)下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化中正確是（

）A．100＝1與lg1＝0 B．＝與log27＝－3C．log39＝2與32