高中數(shù)學(xué)人教A版選修22講義第二章2.2222反證法

2．2.2反證法預(yù)習(xí)課本P89～91，思索并完成以下問題(1)反證法的定義是什么？有什么特點？(2)利用反證法證題的關(guān)鍵是什么？步驟是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．反證法的定義及證題的關(guān)鍵[點睛]對反證法概念的理解(1)反證法的原理是“否認之否認等于確定〞．第一個否認是指“否認結(jié)論(假設(shè))〞；其次個否認是指“規(guī)律推理結(jié)果否認〞．(2)反證法屬“間接解題方法〞．2．“反證法〞和“證逆否命題〞的區(qū)分與聯(lián)系(1)聯(lián)系：通過證明逆否命題成立來證明原命題成立和通過反證法說明原命題成立屬于間接證明，都是很好的證明方法．(2)區(qū)分：證明逆否命題實際上就是從結(jié)論的反面動身，推出條件的反面成立．而反證法一般是假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后通過推理導(dǎo)出沖突．eq\a\vs4\al([小試身手])1．推斷(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)反證法屬于間接證明問題的方法．()(2)反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理．()(3)反證法的實質(zhì)是否認結(jié)論導(dǎo)出沖突．()答案：(1)√(2)×(3)√2．應(yīng)用反證法推出沖突的推導(dǎo)過程中，要把以下哪些作為條件使用()①結(jié)論的否認即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原命題的結(jié)論A．①② B．①②④C．①②③ D．②③答案：C3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于60°〞時，反設(shè)正確的選項是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60°D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60°答案：A4．用反證法證明“假如a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)〞，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________．答案：eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)用反證法證明否認性命題[典例]直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，C兩點，O是坐標(biāo)原點．當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時，求證：四邊形OABC不行能為菱形．[證明]假設(shè)四邊形OABC為菱形．由于點B不是W的頂點，且AC⊥OB，所以k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝kx＋m))消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，那么eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4km,1＋4k2)，eq\f(y1＋y2,2)＝k·eq\f(x1＋x2,2)＋m＝eq\f(m,1＋4k2)，設(shè)AC的中點為M，那么Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4km,1＋4k2)，\f(m,1＋4k2)))，由于M為AC和OB的交點，且m≠0，k≠0，所以直線OB的斜率為－eq\f(1,4k).由于k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4k)))≠－1，所以AC與OB不垂直．所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)沖突．所以四邊形OABC不行能是菱形．1．用反證法證明否認性命題的適用類型結(jié)論中含有“不〞“不是〞“不行能〞“不存在〞等詞語的命題稱為否認性命題，此類問題的正面比擬模糊，而反面比擬詳細，適合使用反證法．2．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟[活學(xué)活用]假如a，b，c是不全相等的實數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不成等差數(shù)列．證明：假設(shè)eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，那么eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋c,ac).由a，b，c成等差數(shù)列，得2b＝a＋c.①所以eq\f(2,b)＝eq\f(a＋c,ac)＝eq\f(2b,ac)，即b2＝ac.②由①②，得a＝b＝c，這與a，b，c是不全相等的實數(shù)沖突．故eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不成等差數(shù)列.用反證法證明“至多〞“至少〞問題[典例]a≥－1，求證三個方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實數(shù)解．[證明]假設(shè)三個方程都沒有實根，那么三個方程中：它們的判別式都小于0，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3＜0，,a－12－4a2＜0，,2a2＋4×2a＜0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，?－\f(3,2)＜a＜－1，,－2＜a＜0.))這與a≥－1沖突，所以假設(shè)不成立，故三個方程中至少有一個方程有實數(shù)解．[一題多變]1．[變條件，變設(shè)問]將本例改為：以下三個方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．解：假設(shè)方程沒有一個有實根，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a2－43－4a＜0，,a－12－4a2＜0，,4a2＋8a＜0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，即－\f(3,2)＜a＜－1，,－2＜a＜0.))故三個方程至少有一個方程有實根，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[－1，＋∞)．2．[變條件，變設(shè)問]將本例條件改為三個方程中至多有2個方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．解：假設(shè)三個方程都有實數(shù)根，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3≥0，,a－12－4a2≥0，,2a2＋4×2a≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＋4a－3≥0，,3a2＋2a－1≤0，,a2＋2a≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(3,2)或a≥\f(1,2)，,－1≤a≤\f(1,3)，,a≤－2或a≥0.))即a∈?.所以實數(shù)a的取值范圍為實數(shù)R.3．[變條件，變設(shè)問]a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．證明：假設(shè)a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1，∴ac＋bd＋bc＋ad＝1.而ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，與上式?jīng)_突，∴假設(shè)不成立，∴a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．用反證法證明“至多〞“至少〞等問題的兩個關(guān)注點(1)反設(shè)狀況要全面，在使用反證法時，必需在假設(shè)中排列出與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的．(2)常用題型：對于否認性命題或結(jié)論中消失“至多〞“至少〞“不行能〞等字樣時，常用反證法．用反證法證明唯一性命題[典例]設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點．[證明]由于a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(lna)＝(1＋ln2a)elna－a＝aln2a>0，所以f(0)·f(lna)<0，由零點存在性定理可知f(x)在(0，lna)內(nèi)存在零點．假設(shè)至少有2個零點，那么f(x)在(－∞，＋∞)上不單調(diào)．由得f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，沖突，∴假設(shè)不成立，那么f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點．巧用反證法證明唯一性命題(1)當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有〞“當(dāng)且僅當(dāng)〞“唯一存在〞“只有一個〞等形式消失的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于推出沖突，故常用反證法證明．(2)用反證法證題時，假如欲證明命題的反面狀況只有一種，那么只要將這種狀況駁倒了就可以；假設(shè)結(jié)論的反面狀況有多種，那么必需將全部的反面狀況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．(3)證明“有且只有一個〞的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性．[活學(xué)活用]求證：過直線外一點只有一條直線與它平行．證明：：直線b∥a，A?a，A∈b，求證：直線b唯一．假設(shè)過點A還有一條直線b′∥a.依據(jù)平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，與b∩b′＝A沖突，∴假設(shè)不成立，原命題成立．層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．用反證法證明命題：“假設(shè)直線AB，CD是異面直線，那么直線AC，BD也是異面直線〞的過程歸納為以下三個步驟：①那么A，B，C，D四點共面，所以AB，CD共面，這與AB，CD是異面直線沖突；②所以假設(shè)錯誤，即直線AC，BD也是異面直線；③假設(shè)直線AC，BD是共面直線．那么正確的序號挨次為()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：選B依據(jù)反證法的三個根本步驟“反設(shè)—歸謬—結(jié)論〞可知挨次應(yīng)為③①②.2．用反證法證明命題“假如a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除〞時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()A．a(chǎn)，b都能被5整除B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除D．a(chǎn)不能被5整除解析：選B“至少有一個〞的否認是“一個也沒有〞，即“a，b都不能被5整除〞，應(yīng)選B.3．用反證法證明命題“假設(shè)實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)〞時，以下假設(shè)正確的選項是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個是偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至少有兩個是偶數(shù)解析：選B“a，b，c中至少有一個是偶數(shù)〞的反面是“a，b，c都不是偶數(shù)〞，故應(yīng)假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)．應(yīng)選B.4．a(chǎn)，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A．肯定是異面直線 B．肯定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線解析：選C假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面沖突，故c與b不行能是平行直線，故應(yīng)選C.5．a(chǎn)，b，c，d為實數(shù)，且c＞d，那么“a＞b〞是“a－c＞b－d〞的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c與b－d的大小無法比擬．可采納反證法，當(dāng)a－c＞b－d成立時，假設(shè)a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，與題設(shè)沖突，∴a＞b.綜上可知，“a＞b〞是“a－c＞b－d〞的必要不充分條件．6．否認“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)〞時，正確的反設(shè)是________．答案：自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)7．命題“a，b∈R，假設(shè)|a－1|＋|b－1|＝0，那么a＝b＝1〞用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為________________．解析：“a＝b＝1〞的反面是“a≠1或b≠1〞，所以設(shè)為a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠18．和兩條異面直線AB，CD都相交的兩條直線AC，BD的位置關(guān)系是____________．解析：假設(shè)AC與BD共面于平面α，那么A，C，B，D都在平面α內(nèi)，∴AB?α，CD?α，這與AB，CD異面相沖突，故AC與BD異面．答案：異面9．a(chǎn)，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).證明：假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于eq\f(1,4).由于0＜a＜1,0＜b＜1,0＜c＜1，所以1－a＞0.由根本不等式，得eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2).同理，eq\f(1－b＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(1,2).將這三個不等式兩邊分別相加，得eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，這是不成立的，故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).10．函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，b∈R.(1)求證：假如a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)推斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論．解：(1)證明：當(dāng)a＋b≥0時，a≥－b且b≥－a.∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)(1)中命題的逆命題為“假如f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0〞，此命題成立．用反證法證明如下：假設(shè)a＋b＜0，那么a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．同理可得f(b)＜f(－a)．∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，這與f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)沖突，故假設(shè)不成立，∴a＋b≥0成立，即(1)中命題的逆命題成立．層級二應(yīng)試力量達標(biāo)1．以下四個命題中錯誤的選項是()A．在△ABC中，假設(shè)∠A＝90°，那么∠B肯定是銳角B.eq\r(17)，eq\r(13)，eq\r(11)不行能成等差數(shù)列C．在△ABC中，假設(shè)a＞b＞c，那么∠C＞60°D．假設(shè)n為整數(shù)且n2為偶數(shù)，那么n是偶數(shù)解析：選C明顯A、B、D命題均真，C項中假設(shè)a＞b＞c，那么∠A＞∠B＞∠C，假設(shè)∠C＞60°，那么∠A＞60°，∠B＞60°，∴∠A＋∠B＋∠C＞180°與∠A＋∠B＋∠C＝180°沖突，應(yīng)選C.2．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，那么a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一個不大于－2D．至少有一個不小于－2解析：選C假設(shè)都大于－2，那么a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＞－6，但eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，沖突．3．假設(shè)△ABC能被一條直線分成兩個與自身相像的三角形，那么這個三角形的外形是()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．不能確定解析：選B分△ABC的直線只能過一個頂點且與對邊相交，如直線AD(點D在BC上)，那么∠ADB＋∠ADC＝π，假設(shè)∠ADB為鈍角，那么∠ADC為銳角．而∠ADC＞∠BAD，∠ADC＞∠ABD，△ABD與△ACD不行能相像，與不符，只有當(dāng)∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝eq\f(π,2)時，才符合題意．4．對于定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，假如存在實數(shù)x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函數(shù)f(x)的一個好點．函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好點，那么a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：選A假設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋1存在好點，亦即方程f(x)＝x有實數(shù)根，所以x2＋(2a－1)x＋1＝0有實數(shù)根，那么Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a－3≥0，解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2).故當(dāng)f(x)不存在好點時，a的取值范圍是－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).應(yīng)選A.5．?dāng)?shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數(shù)，且a＞b)，那么這兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均對應(yīng)相同的項有________個．解析：假設(shè)存在序號和數(shù)值均相等的項，即存在n使得an＝bn，由題意a＞b，n∈N*，那么恒有an＞bn，從而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.答案：06．完成反證法證題的全過程．設(shè)a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個排列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．證明：假設(shè)p為奇數(shù)，那么a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)．因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝________＝________＝0.但0≠奇數(shù)，這一沖突說明p為偶數(shù)．解析：據(jù)題目要求及解題步驟，∵a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)，∴(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也為奇數(shù)．即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)為奇數(shù)．又∵a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個排列，∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式為0，所以奇數(shù)＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)7．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，f(c)＝0，且當(dāng)0<x<c時，f(x)>0.(1)證明：eq\f(1,a)是函