復(fù)變函數(shù)第10講1分式線性映射的存在唯一性

映射w=azb中雖然含有四個(gè)常數(shù)a,bcdcz+實(shí)際上只有三個(gè)常數(shù)是獨(dú)立的.所以,只需給定三個(gè)條件,就能決定一個(gè)分式線性映射, 在z平面上任意給定三個(gè)相異的點(diǎn)z1z2z3在w平面上也任意給定三個(gè)相異的點(diǎn)w1,w2,w3,則存在唯一的分式線性映射w= f(z):f: ffiw(k=1,2,k設(shè)wazb(adbc0)將z(k1,2,3)cz+映射成wk(k1,2,3),即

= +b(k=1,2,czk+因而 w-wk

=(z-zk)(ad-bc),(k=1,2)(cz+d)(czk+d) - =(z3-zk)(ad-bc),(k=1, (cz3+d)(czk+dw-w1=(z-z1)(ad-bc)(cz+d)(cz2+d)=zw- (z-z2)(ad- z- +d同 w3-w1=z3-w3- z3-

cz2+dcz1+

故ww1w3w2ww2w3

=z-z1z3-z2z-z2z3-

.②點(diǎn)z1,z2,z3

由

點(diǎn)w1,w2,w且等式兩邊依次同時(shí)變?yōu)?,￥,③式(1)左端的式子通常稱(chēng)為四個(gè)點(diǎn)ww1w2w3的交比(crossratio).在已知圓周C和C上分別取定三個(gè)不同點(diǎn)后，必能找到一個(gè)分式線性映射F:C fiC.C將z平面劃分為兩個(gè)區(qū)域:內(nèi)部為d1,外部為d2它的象C把w平面分為內(nèi)部D1,外部D2則可以斷定d1的象F(d1必然是D1D2中的一個(gè),而d2的象F(d2是D1和D2中的另一個(gè).(不可能把d1的一部分映入D1,, 設(shè)z1,z2?d1,若線段z1z2fi圓弧 w( 且w?Dw?D,則弧必與C交于一點(diǎn)Q?C 它一定是C上某點(diǎn)的象,由假設(shè)Q又是z1z2上某一點(diǎn)的象因而有兩個(gè)不同的點(diǎn)(一個(gè)在圓周C上線段z1z2上)被映射為同一點(diǎn)z2 d

C￠ w2 dw w1這與分式線性映射的一一對(duì)應(yīng)性 Fz0?d1,若w0F(z0?D1，則d1fiF否則,若w0F(z0?D2，則d1fiD2z1z2z3?C,w1F(z1w2F(z2w3=F(z3)?若C依z1fiz2fiz3的繞向與依w1fiw2fi的繞向相同時(shí),則 FfiD,反之 FfiD 在過(guò)z1的半徑上取一點(diǎn)zz1z正交于C順著z1fiz2fiz3看 z1z在觀察者的左方,象F(z1z)是過(guò)w1,并與C正交的一段圓弧(或者直線段由于在z1的保角性,順著w1w2w3看F(z1z)觀察者的左方,\ FfiD;反之

FfiD

C￠ dz dz

w時(shí),這二圓周的弧所圍成區(qū)域映射成角形區(qū)域.2.2.例1求將Imz)0fiIm(w)的分式線性映射設(shè)wazbzkcz+

?R,(k1,2,3),即實(shí)軸上的點(diǎn)當(dāng)abcd均為實(shí)數(shù)時(shí)

b也為實(shí)數(shù)k故w必將實(shí)軸fi實(shí)軸

czk+w￠adbc0當(dāng)z為實(shí)數(shù)且adbc0時(shí))(czd)2即,實(shí)軸變成實(shí)軸是同向的因此,上半z平面fi上半w平面即，當(dāng)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),且adbc0時(shí),線性映射wazb將Im(z0fiIm(wcz+

o

z z

①具有這一形式的映射也將Imz0fiImz

相異的對(duì)應(yīng)點(diǎn)z1<z2<z3w1w2w3②w

其中abc

w-

w3-w2為實(shí)數(shù)adbc將Imz0fiIm(w ③求Imz0fiIm(w

w- w3-=z-z1 z3-z2z- z3-即得例2求將上半平面Im(z)0w且滿足條件w(2i)0arg(w(2i))0的分式解如果我們把上半平面看成是半徑為￥的圓域那么實(shí)軸就相當(dāng)于圓域的邊界圓周.因?yàn)榉质骄€性映射具有保圓性，因此它能將上半平面Im(z)>0映射成單位圓w <1.$z=lfiw=1的圓心w=0，實(shí)軸Rfiw=1,又z=l與z=l是關(guān)于實(shí)軸的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由保對(duì)稱(chēng)性lfiw=￥，yvOlyvOllox\w= "z?Rfiw?{w w=zl1又w1,k

w=eiq(z-lz-z-設(shè)keiqq為任意實(shí)數(shù)因此,所求分式線性映射一般形式為:

Im(z0fiw1由條件w(2i)0知，在(2)式中取lweiq

z-2i

z-2i2z-2i z+2i2iq

i(q-p

(z+

w(2i)

=4 w(2i2qp,于是有wiz2i z+2i若求一個(gè)分式線性映射將Im(z0fiwxw1見(jiàn)P203解法二).由于q的任意性Im(z)0fiw1的分式w=eiq(z-l z- 求將

<1

w1

z<1}

w1的中心w

11fiwaw0與w￥yyavao1o1

1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)u\w=kz-a=kz-a=z-a

(z- az-1 1-az a z=1fiw=把z1代入上式得

1-1-

=w=又1-

=1-a

k￠=取k￠eiff為實(shí)常數(shù),z1fiw1w=eif

z-a1-az

- 中心分別在z=1與z=-1,半徑均為 2的兩圓弧所圍成的區(qū)域,在映射w=z-i下z+（P201-解兩圓弧的交點(diǎn)為i與i,且互相正交交點(diǎn)z=ifiw= z=-ifiw=映射后的區(qū)域是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)張角為p2角形區(qū)域

(第三象限的點(diǎn)221取z=2-1? fiw=(1221

2)+i(1-2)1\C11

fiC'第三象限的分角線由保角性 fiC'--第二象限的分角線 i

w=z-z+

C

2-

1. 2.wzn(n2為自然數(shù)dw=nzn-1? (z?在z平面內(nèi)除去原點(diǎn)外,由wzn所構(gòu)成的映射令zreiqwwznrneinqrrnf由此可見(jiàn),在wzn映射下z=r w=rn，特別:z=1 w=qq0fif特形:q0fif0正實(shí)軸映射成正實(shí)軸vou0qq(2pvou

w=zn 0q2pfi0fnvovoo

w=zn nx由此可見(jiàn)在z=0處角形域的 經(jīng)過(guò)w=zn這一映射后變成了原來(lái)的n倍，因此當(dāng)n?2時(shí)映射w=zn在z=0處沒(méi)有保角性.冪函數(shù)wzn所構(gòu)成的映射的特點(diǎn)：把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域 原來(lái)的n倍.因此，如果要把角形域映射成角形域，常采用冪函數(shù)例1求將0argzp

w的一個(gè)映射yvyvw=z4- +p4xwiou例2求將圖中由圓弧C1與C2所圍成的交角為a的月牙域 <argw<f0+a的一個(gè)映射.解: ai

i(f+p) w=

z-iz+i

af0 z-i

w=eif0 z+i 2.2.指數(shù)函數(shù)wezw￠=ez?wez是全平面上的共形映射設(shè)zxiywreif那么rexfRe(z) =ec直線Im(z)常數(shù)c1fi射線：fc1.0<Im(z)<a(0<a￡2p)fi0<argw< yovyovargw=oaargw=xu特形：0Im(z)2pfi0argw(沿正實(shí)軸剪開(kāi)的w平面,它們之間的點(diǎn)是yyvw=oxo由wez所構(gòu)成的映射的特點(diǎn)是0Im(z)a(a￡2p)fi角形域0ar