高中數(shù)學(xué)蘇教版必修三教學(xué)案第3章32古典概型

甲、乙兩人玩擲骰子嬉戲，他們商定：兩顆骰子擲出去，假如朝上的兩個(gè)數(shù)的和是5，那么甲獲勝，假如朝上的兩個(gè)數(shù)的和是7，那么乙獲勝．問(wèn)題1：假設(shè)甲獲勝，那么兩顆骰子消失的點(diǎn)數(shù)有幾種？提示：會(huì)消失(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四種可能．問(wèn)題2：假設(shè)乙獲勝，兩顆骰子消失的點(diǎn)數(shù)又如何？提示：會(huì)消失(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六種可能．問(wèn)題3：這樣的嬉戲公正嗎？提示：由問(wèn)題1、2知甲獲勝的時(shí)機(jī)比乙獲勝的時(shí)機(jī)少，不公正．問(wèn)題4：能否求出甲、乙兩人獲勝的概率？提示：可以．1．根本領(lǐng)件與等可能大事(1)根本領(lǐng)件：在一次試驗(yàn)中可能消失的每一個(gè)根本結(jié)果．(2)等可能大事：假設(shè)在一次試驗(yàn)中，每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都相同，那么稱(chēng)這些根本領(lǐng)件為等可能根本領(lǐng)件．2．古典概型(1)古典概型的特點(diǎn)：①有限性：全部的根本領(lǐng)件只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)根本領(lǐng)件的發(fā)生都是等可能的．(2)古典概型的定義：將滿意上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱(chēng)為古典概型．(3)古典概型概率的計(jì)算公式：假如一次試驗(yàn)的等可能根本領(lǐng)件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能根本領(lǐng)件發(fā)生的概率都是eq\f(1,n)；假如某個(gè)大事A包含了其中m個(gè)等可能根本領(lǐng)件，那么大事A發(fā)生的概率為P(A) ＝eq\f(m,n)．即P(A)＝eq\f(大事A包含的根本領(lǐng)件數(shù),試驗(yàn)的根本領(lǐng)件總數(shù)).1．一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征，即有限性和等可能性，并不是全部的試驗(yàn)都是古典概型，例如在相宜的條件下“種下一粒種子觀看它是否發(fā)芽〞，這個(gè)試驗(yàn)的根本領(lǐng)件有兩個(gè)：“發(fā)芽〞、“不發(fā)芽〞，而“發(fā)芽〞與“不發(fā)芽〞這兩種結(jié)果消失的時(shí)機(jī)一般是不均等的，故此試驗(yàn)不符合古典概型的等可能性．2．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)與大事A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)有本質(zhì)的區(qū)分，其中P(A)＝eq\f(m,n)是一個(gè)定值，且對(duì)同一試驗(yàn)的同一大事m、n均為定值，而頻率中的m、n均隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加頻率總接近于P(A)．[例1]將一顆骰子先后拋擲兩次，求：(1)一共有幾個(gè)根本領(lǐng)件？(2)“消失點(diǎn)數(shù)之和大于8〞包含幾個(gè)根本領(lǐng)件？[思路點(diǎn)撥]求根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)可用列舉法、列表法、樹(shù)形圖法．[精解詳析]法一：(列舉法)：(1)用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆骰子消失的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆骰子消失的點(diǎn)數(shù)，那么試驗(yàn)的全部結(jié)果為：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36個(gè)根本領(lǐng)件．(2)“消失點(diǎn)數(shù)之和大于8〞包含以下10個(gè)根本領(lǐng)件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二：(列表法)：如下圖，坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后消失的點(diǎn)數(shù)的和，根本領(lǐng)件與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．(1)由圖知，根本領(lǐng)件總數(shù)為36.(2)總數(shù)之和大于8包含10個(gè)根本領(lǐng)件(已用虛線圈出)．法三：(樹(shù)形圖法)：一顆骰子先后拋擲兩次的全部可能結(jié)果用樹(shù)形圖直接表示．如下圖：(1)由圖知，共36個(gè)根本領(lǐng)件．(2)點(diǎn)數(shù)之和大于8包含10個(gè)根本領(lǐng)件(已用對(duì)勾標(biāo)出)．[一點(diǎn)通]根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的計(jì)算方法有：(1)列舉法：列舉法也稱(chēng)枚舉法．對(duì)于一些情境比擬簡(jiǎn)潔，根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)不是許多的概率問(wèn)題，計(jì)算時(shí)只需一一列舉，即可得出隨機(jī)大事所含的根本領(lǐng)件．留意列舉時(shí)必需按肯定挨次，做到不重不漏．(2)列表法：對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果不是太多的狀況，可以采納列表法．通常把對(duì)問(wèn)題的思索分析歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對(duì)〞，以便更直接地找出根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)．列表法的優(yōu)點(diǎn)是精確?????、全面、不易遺漏，其中最常用的方法是坐標(biāo)系法．(3)樹(shù)形圖法：樹(shù)形圖法是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合較簡(jiǎn)單問(wèn)題中根本領(lǐng)件數(shù)的求解．1．本例中條件變?yōu)椤耙幻队矌胚B續(xù)擲三次〞，會(huì)有多少種不同結(jié)果？解：畫(huà)樹(shù)形圖共8種．2．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相等的1個(gè)白球和已編有號(hào)碼的3個(gè)黑球，從中摸出2個(gè)球．(1)共有多少種不同的結(jié)果(根本領(lǐng)件)?(2)摸出2個(gè)黑球有多少種不同結(jié)果？解：(1)共有6種不同結(jié)果，分別為{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，{白，黑1}，{白，黑2}，{白，黑3}．(2)從上面全部結(jié)果中可看出摸出2個(gè)黑球的結(jié)果有3種.[例2](12分)同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，計(jì)算以下大事的概率：(1)大事A：兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)相同；(2)大事B：兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為8；(3)大事C：兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)．[思路點(diǎn)撥]先推斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，然后用列舉法求出全部根本領(lǐng)件總數(shù)及所求大事包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，最終用公式P(A)＝eq\f(m,n)求結(jié)果．[精解詳析](1)將兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)A，B，將A，B骰子的點(diǎn)數(shù)記為(x，y)，那么共有36種等可能的結(jié)果．如下(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．?(3分)消失點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6種．∴P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).?(6分)(2)消失點(diǎn)數(shù)之和為8的結(jié)果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5種，∴P(B)＝eq\f(5,36).?(9分)(3)消失點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)包括“x是奇數(shù)、y是偶數(shù)〞和“x是偶數(shù)、y是奇數(shù)〞，共有18種，∴P(C)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).?(12分)[一點(diǎn)通]求古典概型概率的步驟：(1)用列舉法求出根本領(lǐng)件總個(gè)數(shù)n.(2)用列舉法求出大事A包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m.(3)利用公式P(A)＝eq\f(大事A包含的根本領(lǐng)件數(shù),試驗(yàn)的根本領(lǐng)件總數(shù))＝eq\f(m,n)求出大事A的概率．3．先后從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的4個(gè)大小、外形完全相同的球中，有放回地隨機(jī)抽取2個(gè)球，那么抽到的2個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和不大于5的概率為_(kāi)_______．解析：根本領(lǐng)件共有4×4＝16(個(gè))，其中抽到的2個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和不大于5的狀況有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10種，所以所求概率為eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).答案：eq\f(5,8)4．將一顆骰子先后拋擲2次，觀看向上的點(diǎn)數(shù)，問(wèn)：(1)兩數(shù)之積是奇數(shù)的概率是多少？(2)兩數(shù)之積是3的倍數(shù)的概率是多少？解：每次拋出的點(diǎn)數(shù)都可能有1，2，3，4，5，6這6種結(jié)果，兩次點(diǎn)數(shù)之積的不同結(jié)果如下表所示共有36種.1234561123456224681012336912151844812162024551015202530661218243036(1)設(shè)大事A表示“兩數(shù)之積是奇數(shù)〞，那么大事A包含的不同結(jié)果的個(gè)數(shù)為9，所以P(A)＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).(2)設(shè)大事B表示“兩數(shù)之積是3的倍數(shù)〞，那么大事B包含的不同結(jié)果的個(gè)數(shù)為20，所以P(B)＝eq\f(20,36)＝eq\f(5,9).1．解決古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清根本領(lǐng)件總數(shù)n與大事A所包含根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m，留意問(wèn)題：(1)試驗(yàn)根本結(jié)果是否有等可能性．(2)本試驗(yàn)的根本領(lǐng)件有多少個(gè)．(3)大事A包含哪些根本領(lǐng)件．只有弄清這三個(gè)方面的問(wèn)題解題才不致于出錯(cuò)．2．求根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)有列舉法、列表法和樹(shù)形圖法，一是留意按肯定挨次，防止重復(fù)和遺漏；二是可先數(shù)一局部，找出規(guī)律，推想全部．課下力量提升(十六)一、填空題1．從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為_(kāi)_______．解析：此題中根本領(lǐng)件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三個(gè)，其中甲被選中包含兩個(gè)根本領(lǐng)件，故甲被選中的概率為eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)2．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都在集合A＝{0，1，2}內(nèi)取值的點(diǎn)中任取一個(gè)，此點(diǎn)正好在直線y＝x上的概率為_(kāi)_______．解析：由x，y∈{0，1，2}，這樣的點(diǎn)共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9個(gè)，其中滿意在直線y＝x上的點(diǎn)(x，y)有(0，0)，(1，1)，(2，2)3個(gè)，所以所求概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3．從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，那么b>a的概率是________．解析：隨機(jī)選取的a，b組成實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15種．其中b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3種，所以b>a的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)4．從長(zhǎng)度分別為2，3，4，5的四條線段中任意取出三條，那么以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是________．解析：從四條線段中任取三條有4種取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中能構(gòu)成三角形的取法有3種：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率為eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)5．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，假設(shè)從中隨機(jī)摸出兩只球，那么它們顏色不同的概率是________．解析：從3只白球、1只黑球中隨機(jī)摸出兩只小球，根本領(lǐng)件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中顏色不同的有三種，故所求概率為P＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)二、解答題6．從3臺(tái)甲型電腦和2臺(tái)乙型電腦中任取兩臺(tái)，求兩種品牌都齊全的概率．解：3臺(tái)甲型電腦為1，2，3，2臺(tái)乙型電腦為A，B，那么全部根本領(lǐng)件為：(1，2)，(1，3)，(1，A)，(1，B)，(2，3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A，B)，共10個(gè).記大事C為“一臺(tái)為甲型，另一臺(tái)為乙型〞，那么符合條件的大事為6個(gè)，所以P(C)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).7．設(shè)集合P＝{b，1}，Q＝{c，1，2}，P?Q，假設(shè)b，c∈{2，3，4，5，6，7，8，9}．(1)求b＝c的概率；(2)求方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率．解：(1)由于P?Q，當(dāng)b＝2時(shí)，c＝3，4，5，6，7，8，9；當(dāng)b＞2時(shí)，b＝c＝3，4，5，6，7，8，9，b＝c的大事數(shù)為7種，所以b＝c的概率為：eq\f(7,14)＝eq\f(1,2).(2)記“方程有實(shí)根〞為大事A，假設(shè)使方程有實(shí)根，那么Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4，5，6，7，8，9共6種.所以P(A)＝eq\f(6,14)＝eq\f(3,7).8．對(duì)某項(xiàng)工程進(jìn)行競(jìng)標(biāo)，現(xiàn)共有6家企業(yè)參加競(jìng)標(biāo)，其中A企業(yè)來(lái)自遼寧省，B，C兩家企業(yè)來(lái)自江蘇省，D，E，F(xiàn)三家企業(yè)來(lái)自山東省，此項(xiàng)工程需要兩家企業(yè)聯(lián)合施工，假設(shè)每家企業(yè)中標(biāo)的概率相同．(1)列舉全部企業(yè)的中標(biāo)狀況；(2)在中標(biāo)的企業(yè)中，