2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一下學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一下學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可.【詳解】復(fù)數(shù)，則其在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)為，故其在第四象限，故選：D.2．設(shè)向量，，.若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】求出的坐標(biāo)，再利用列方程求解的值.【詳解】，，，，，解得.故選：B.3．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐與圓柱的體積公式，可得答案.【詳解】已知底面圓的半徑，由，則，故該陀螺的體積.故選：D.4．已知向量，,,則A． B． C．5 D．25【答案】C【詳解】將平方得，選C.5．已知向量，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂直的數(shù)量積為0，結(jié)合二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】由可得，即.故選：B6．設(shè)點(diǎn)D為中BC邊上的中點(diǎn)，O為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將用基底表示，轉(zhuǎn)化為以A為起點(diǎn)向量表示即可.【詳解】如圖，D為BC中點(diǎn)，O為靠近A的三等分點(diǎn)，，.故選：D.7．下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式、誘導(dǎo)公式化簡解析式，再求出正余弦函數(shù)的周期，最后判斷函數(shù)的奇偶性，即可得出答案..【詳解】因為，函數(shù)的周期為π，因為，所以是非奇非偶函數(shù)，A不正確；因為，函數(shù)的周期為2π，B不正確；因為，函數(shù)的周期為π，是偶函數(shù)，C不正確；因為，函數(shù)的周期為π，是奇函數(shù)，D正確；故選：D8．已知非零向量，，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合向量的模的定義，數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律判斷.【詳解】若，則，，所以“”是“”成立的必要條件，若，則，，當(dāng)，時，，成立，但.所以，“”不是“”成立的充分條件，所以“”是“”成立的必要不充分條件，故選：B.9．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】本題首先可根據(jù)誘導(dǎo)公式得出，然后根據(jù)二倍角公式即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及二倍角公式的應(yīng)用，考查的公式有、，考查計算能力，是簡單題.10．若向量滿足：，且，則的最小值為（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合圖形以及平面向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)，，，為，的中點(diǎn)，則，，，，因為，，所以，，則，因為是直角三角形，所以，（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)在以為圓心，1為半徑的圓上或圓內(nèi)，且在線段上時取等號，如下圖示，所以，所以的最小值為2.故選：B.二、填空題11．復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)模長的求法可得答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.12．若，，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)角的取值范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到，，然后利用兩腳差的正弦即可求解.【詳解】因為，，且，所以，又因為，則，所以，又因為，所以，故答案為：.13．已知一個正四棱錐的底面邊長為2，高為，則該正四棱錐的表面積為__________．【答案】12【分析】計算出正四棱錐的側(cè)棱長以及側(cè)面三角形的高，進(jìn)而可計算出該正四棱錐的表面積.【詳解】如下圖所示，在正四棱錐中，底面的邊長為，設(shè)點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，則四棱錐的高，則為的中點(diǎn)，且，，取的中點(diǎn)，連接，則，且，，故正四棱錐的表面積為.故答案為：12.14．角的始邊均為x軸非負(fù)半軸，它們的終邊關(guān)于軸對稱.如圖，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則________，________．【答案】/-0.80【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解，進(jìn)而由正切的和角關(guān)系即可代入求值.【詳解】由角的終邊與單位圓交于點(diǎn)可知，由于的終邊關(guān)于軸對稱，所以在的終邊上，故，所以,故答案為：,0三、雙空題15．在中，為線段的中點(diǎn)，，（1）若，則的面積為__________.（2）面積的最大值為__________.【答案】/【分析】①由等邊三角形面積公式求解結(jié)果；②由余弦定理結(jié)合三角形面積公式及二次函數(shù)求最值得到結(jié)果.【詳解】在中，，，所以為等邊三角形，由為線段的中點(diǎn)，則為的高，所以，則.的面積為.設(shè).在中，由余弦定理得，故的面積為，當(dāng)時面積取到最大值，最大值為.故答案為：；.四、解答題16．已知向量與的夾角為，且.(1)求；(2)當(dāng)為何值時.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用，把向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算即得結(jié)果.（2）利用向量垂直的充要條件數(shù)量積為0，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算，最后解方程即得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，因為.所以（2）若，即，所以，即，所以，即當(dāng)時，.17．已知函數(shù).(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的最值.【答案】(1)3，最小正周期為(2)最大值3，最小值【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式和降冪公式化簡函數(shù)，再代入求值，求解周期；（2）先根據(jù)的范圍求出的范圍，再求解最值.【詳解】（1）;;的最小正周期為.（2）因為，所以.所以.所以，即.時，最大值3;時，最小值.18．如圖，在中，D是BC邊上一點(diǎn)，，，．（1）求AD的長；（2）若，求角B的大小【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用余弦定理求出結(jié)果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出結(jié)果．【詳解】解：（1）在中，，，．利用余弦定理，解得．（2）利用余弦定理，所以，在中，利用正弦定理，整理得，故．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．19．在中，，．(1)求；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長為．【答案】(1)(2)選擇條件②,;選擇條件③.【分析】(1)利用余弦定理求解即可；(2)根據(jù)條件①②③逐一計算，滿足三角形只有一個解即可，再求面積.【詳解】（1）由余弦定理知，，因為，所以．（2）選擇條件①：把，代入中，化簡得，解得，所以存在兩個，不符合題意；選擇條件②：因為，，所以，由正弦定理知，，所以，因為，所以的面積．選擇條件③：因為的周長為，且，所以，又，所以，解得，所以的面積.20．無數(shù)次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年?建黨百年天安門廣場三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀(jì)念日”向人民英雄敬獻(xiàn)花籃儀式的凝重莊嚴(yán)金帆合唱團(tuán)，這絕不是一個抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星璀璨！這是開學(xué)典禮中，我校金帆合唱團(tuán)的頒獎詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺（圖3），正六棱柱的側(cè)棱交的延長線于點(diǎn)，經(jīng)測量，且圖1圖2圖3(1)寫出三條正六棱臺的結(jié)構(gòu)特征.(2)“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設(shè)排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，估算金帆排練廳對應(yīng)幾何體體積.（棱臺體積公式：）(3)“小迷糊”站在“六角樓”下，陶醉在歌聲里.“大聰明”走過來說：“數(shù)學(xué)是理性的音樂，音樂是感性的數(shù)學(xué).學(xué)好數(shù)學(xué)方能更好的欣賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個復(fù)合音就可以表示為函數(shù)，你看這多美妙!”...............”親愛的同學(xué)們，快來幫“小迷糊”求一下的最大值吧.注：可以參考（不限于）下面公式：①元均值不等式：②琴生不等式：若函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，且為上任意個實(shí)數(shù)，則注：在是“凸函數(shù)”③柯西不等式：注：其二元形式為【答案】(1)答案見解析(2)(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)正六棱臺性質(zhì)即可;（2）找出棱臺的高，代入體積公式即可;（3）分別配湊出各類不等式的使用條件，代入各種不等式即可求得答案.【詳解】（1）類似于上下底面平行，相似，都是正六邊形，側(cè)棱等長，側(cè)棱延長交于一點(diǎn)，側(cè)面都是等腰梯形，等等.（2）在中，可求，所以排練廳上底面為