部分不定積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1/1第四部分不定積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、內(nèi)容提要(一)不定積分的概念與性質(zhì)若對(duì)于某區(qū)間上的任意一點(diǎn)x均有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx原函數(shù)存在定理(充分條件)：若f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間上f(x)的原函數(shù)F(x)一定存在。由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，故初等函數(shù)在其定義區(qū)間上一定存在原(1)設(shè)C是一個(gè)任意常數(shù)，函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則函數(shù)族一個(gè)原函數(shù)F(x)，則它一定有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。(2)函數(shù)f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之差是一個(gè)常數(shù)。函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作jf(x)dx。表示f(x)的全體原函數(shù)．因此分的定義，求不定積分jf(x)dx，只需求出函數(shù)f(x)的任(2)jkf(x)dx=kjf(x)dx(k是常數(shù)，k豐0)。(二)基本積分法若被積函數(shù)為f[Q(x)]Q'(x)的形式，或可以化為這種形式，且函數(shù)u=Q(x)可導(dǎo)，f(u)具有原函數(shù)F(u)，則有第一類換元積分公式：xvttv-1(x)，如果或juv'dx=uv-ju'vdx。(三)幾種特殊類型函數(shù)的積分兩個(gè)多項(xiàng)式的商稱為有理函數(shù)或有理分式。如果有理分式=01nP(x)axn+axn1=01nQ(x)bxm+bxm1+…+b01n先把真分式分解為形如AAMx+NMx+N三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函u=tanx2則sinxucosx=1u2dx=2du如果被積函數(shù)中含有根式nax+b或ncx+dnaxbnaxbun=u二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)aa1．在學(xué)習(xí)關(guān)于原函數(shù)概念時(shí)，首先要注意：若函數(shù)0(x)與F(x)在某區(qū)aa2．基本積分表內(nèi)所列的十五個(gè)基本積分公式是計(jì)算不定積分的基礎(chǔ)，學(xué)生3．運(yùn)用第一類換元積分法，除了必須熟悉基本積分公式外，還要熟悉一些11(2)xdx=d(x2)=d(ax2+(3)x(3)x2dx=d(x3)=d(ax3+b)；1xx(5)exdx=d(ex)；x成”微分，使被積表達(dá)式成為f[(x)]d[(x)]的形式，從而找出應(yīng)取的代換 (1)jf(ax2+b)xdx=1jf(ax2+b)d(ax2+b)，可作代換2a (3)jf(lnx)1dx=jf(lnx)d(lnx),(x>0)，可作代換x1+x21+x2，，2222sinmxcosnxsinmnxsinm+n)x]。24．在應(yīng)用第一類換元積分法時(shí)，學(xué)生常犯的一種錯(cuò)誤是如下的作法： 2222，然后才可利用公式(2)得到225．使用第二類換元積分法的關(guān)鍵也是在于根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)尋找一個(gè)適有55計(jì)算不定積分的過(guò)程中，有時(shí)需要限制變量的變化區(qū)在變量的相應(yīng)區(qū)間內(nèi)才成立?，F(xiàn)再舉個(gè)例子來(lái)看。jdx。xx2112121xxxxxxxxxxx21xxx2xx2x112=xx2x221=xx2x22xx21x2aaaxuarctanxxuarctanxdvxndxdnxn當(dāng)m為奇數(shù)(或n為偶數(shù))時(shí)，可用換元積分法計(jì)算，但是，若m為偶數(shù)且n248．在什么情形下應(yīng)該用分部積分法？在什么情形下應(yīng)該用換元積分法？在9．求有理分式的積分時(shí)，第一件事情是要注意被積函數(shù)是真分式還是假分。。44。sin2x=(1cos2x)=22222224424，22222222442444241jx3dx=j(t1)3dt=jt33t2+3t1dt(x+1)4t4