雙曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題

PAGE頁(yè)碼頁(yè)碼/NUMPAGES總頁(yè)數(shù)總頁(yè)數(shù)雙曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題1.雙曲線(xiàn)的定義雙曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題雙曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題數(shù),常數(shù)的絕對(duì)值小于兩定點(diǎn)間的距離,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支F1,F2為兩定點(diǎn),P為一動(dòng)點(diǎn),(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是②2a=|F1F2|則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是③2a=0則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(2)若|PF1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是②2a=|F1F2|則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是③2a=0則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是2.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程3.雙曲線(xiàn)的性質(zhì)（1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程x,y的范圍頂點(diǎn)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心實(shí)半軸的長(zhǎng)虛半軸的長(zhǎng)焦距離心率e=范圍e越大雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越e越小雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越準(zhǔn)線(xiàn)漸近線(xiàn)焦半徑公式|PF1|=|PF2|=(F1,F2分別為雙曲線(xiàn)的左右兩焦點(diǎn),P為橢圓上的一點(diǎn))焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程x,y的范圍頂點(diǎn)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心實(shí)半軸的長(zhǎng)虛半軸的長(zhǎng)焦距離心率e=范圍e越大雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越e越小雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越準(zhǔn)線(xiàn)漸近線(xiàn)焦半徑公式|PF1|=|PF2|=(F1,F2分別為雙曲線(xiàn)的下上兩焦點(diǎn),P為橢圓上的一點(diǎn))等軸雙曲線(xiàn)：特點(diǎn)①實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等②漸近線(xiàn)互相垂直③離心率為共軛雙曲線(xiàn)：以已知雙曲線(xiàn)的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線(xiàn)叫原雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)特點(diǎn)①有共同的漸近線(xiàn)②四焦點(diǎn)共圓雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)是6.雙曲線(xiàn)系共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程為(0<k<c2,c為半焦距)共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為例題在運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義時(shí),應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”,弄清是指整條雙曲線(xiàn),還是雙曲線(xiàn)的哪一支考點(diǎn)1、雙曲線(xiàn)定義例1、已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切,與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程【例2】若橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)F1,F2,P是兩條曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),則|PF1|·|PF2|的值是（）A.B.C.D.【例3】已知雙曲線(xiàn)與點(diǎn)M（5,3）,F為右焦點(diǎn),若雙曲線(xiàn)上有一點(diǎn)P,使最小,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為考點(diǎn)2、求雙曲線(xiàn)的方程求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1．定義法,根據(jù)題目的條件,若滿(mǎn)足定義,求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程．2．待定系數(shù)法(2)待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)方程的常用方法①與雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝t(t≠0)；②若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y＝±EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(b),a)x,則雙曲線(xiàn)的方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝t(t≠0)；③與雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1共焦點(diǎn)的方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2－k)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；④過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),m)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),n)＝1(mn＜0)；⑤與橢圓EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2－λ)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2－λ)＝1(b2＜λ＜a2)．例4、求下列條件下的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),9)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),16)＝1有共同的漸近線(xiàn),且過(guò)點(diǎn)(－3,2)；(2)與雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),16)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),4)＝1有公共焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(3,2)．1.在雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中,若x2的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在y軸上,且對(duì)于雙曲線(xiàn),a不一定大于b.2．若不能確定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：mx2＋ny2＝1(mn＜0),以避免分類(lèi)討論．考點(diǎn)3、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識(shí)聯(lián)系密切,解題時(shí)要深刻理解確定雙曲線(xiàn)的形狀、大小的幾個(gè)主要特征量,如a、b、c、e的幾何意義及它們的相互關(guān)系,充分利用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,簡(jiǎn)化解題過(guò)程例5、(12分)雙曲線(xiàn)C：EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的右頂點(diǎn)為A,x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0),若C上存在一點(diǎn)P,使EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(AP),→)·EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(PQ),→)＝0,求此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍．例6、【活學(xué)活用】3.(2012北京期末檢測(cè))若雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),且|PF1|＝3|PF2|,則該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是________．【例7】直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),斜率k=2.若與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上,則雙曲線(xiàn)的離心率e的范圍是（）A.e>B.1<e<C.1<e<D.e>【例8】設(shè)為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn),是該雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則的面積為（）A． B． C. D．【評(píng)注】解題中發(fā)現(xiàn)△PF1F2是直角三角形,是事前不曾想到的吧？可是,這一美妙的結(jié)果不是每個(gè)考生都能臨場(chǎng)發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過(guò)程之中以鑒別考生的思維能力,這正是命題人的高明之處.漸近線(xiàn)——雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)相約天涯對(duì)于二次曲線(xiàn),漸近線(xiàn)為雙曲線(xiàn)所獨(dú)有.雙曲線(xiàn)的許多特性圍繞著漸近線(xiàn)而展開(kāi).雙曲線(xiàn)的左、右兩支都無(wú)限接近其漸近線(xiàn)而又不能與其相交,這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線(xiàn)的范圍.由于處理直線(xiàn)問(wèn)題比處理曲線(xiàn)問(wèn)題容易得多,所以這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于有關(guān)解題之中.【例9】過(guò)點(diǎn)（1,3）且漸近線(xiàn)為的雙曲線(xiàn)方程是【評(píng)注】在雙曲線(xiàn)中,令即為其漸近線(xiàn).根據(jù)這一點(diǎn),可以簡(jiǎn)潔地設(shè)待求雙曲線(xiàn)為,而無(wú)須考慮其實(shí)、虛軸的位置.共軛雙曲線(xiàn)——虛、實(shí)易位的孿生弟兄將雙曲線(xiàn)的實(shí)、虛軸互易,所得雙曲線(xiàn)方程為：.這兩個(gè)雙曲線(xiàn)就是互相共軛的雙曲線(xiàn).它們有相同的焦距而焦點(diǎn)的位置不同；它們又有共同的漸近線(xiàn)而為漸近線(xiàn)所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質(zhì)在解題中都有廣泛的應(yīng)用.【例10】?jī)晒曹楇p曲線(xiàn)的離心率分別為,證明：=1.設(shè)而不求——與借舟棄舟同理減少解析幾何計(jì)算量的有效方法之一便是設(shè)而不求.請(qǐng)看下例：【例11】雙曲線(xiàn)的一弦中點(diǎn)為（2,1）,則此弦所在的直線(xiàn)方程為（）A.B.C.D.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過(guò)某個(gè)步驟,只要有可能,可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是,“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問(wèn)條件是否成熟就濫用,也會(huì)出漏子.請(qǐng)看：【例12】在雙曲線(xiàn)上,是否存在被點(diǎn)M（1,1）平分的弦？如果存在,求弦所在的直線(xiàn)方程；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.如果不問(wèn)情由地利用“設(shè)而不求”的手段,會(huì)有如下解法：練習(xí)1．(2011安徽高考)雙曲線(xiàn)2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()A．2 B．2C．4 D．42．(2011山東高考)已知雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的兩條漸近線(xiàn)均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切,且雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,則該雙曲線(xiàn)的方程為()A.－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),4)＝1B.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),4)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),5)＝1C.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),3)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),6)＝1 D.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),6)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),3)＝13.(2012嘉興測(cè)試)如圖,P是雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),4)－y2＝1右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點(diǎn),A1,A2分別是左、右頂點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)PA1,PO,PA2的斜率分別為k1,k2,k3,則斜率之積k1k2k3的取值范圍是()A．(0,1)B．(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),8))C．(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),4)) D．(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),2))4．(金榜預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)和C(5,0),頂點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),16)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),9)＝1上,則EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(sinB),|sinA－sinC|)為()A.B.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2),3)C.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(5),4) D.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(4),5)5．P為雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),9)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),16)＝1的右支上一點(diǎn),M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn),則|PM|－|PN|的最大值為()A．6B．7C．8 D．96．(2012南寧模擬)已知點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為該曲線(xiàn)上一點(diǎn),若△PF1F2為等腰直角三角形,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A.＋1 B.＋1C．2 D．27．方程EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),2－m)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),|m|－3)＝1表示雙曲線(xiàn)．那么m的取值范圍是________．8．(2012大連測(cè)試)在雙曲線(xiàn)4x2－y2＝1的兩條漸近線(xiàn)上分別取點(diǎn)A和B,使得|OA|·|OB|＝15,其中O為雙曲線(xiàn)的中心,則AB中點(diǎn)的軌跡方程是________．9．雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的離心率是2,則EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(b2＋1),3a)的最小值是________．10(2012肇慶模擬)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－3,0),一條漸近線(xiàn)的方程是x－2y＝0.(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)若以k(k≠0)為斜率的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,且線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(81),2),求k的取值范圍．11．(文用)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(,0)．(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)若直線(xiàn)：y＝kx＋m(k≠0,m≠0)與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M、N,且線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(0,－1),求實(shí)數(shù)m的取值范圍．12已知中心在原點(diǎn),頂點(diǎn)A1、A2在x軸上,離心率e=的雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(6,6)(1)求雙曲線(xiàn)方程(2)動(dòng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)△A1PA2的重心G,與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)M、N,問(wèn)是否存在直線(xiàn)l,使G平分線(xiàn)段MN,證明你的結(jié)論13．已知雙曲線(xiàn),問(wèn)過(guò)點(diǎn)A（1,1）能否作直線(xiàn),使與雙曲線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn),并且A為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)？若存在,求出直線(xiàn)的方程,若不存在,說(shuō)明理由。14已知點(diǎn)N（1,2）,過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn),且（1）求直線(xiàn)AB的方程；（2）若過(guò)N的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于C、D兩點(diǎn),且,那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？（二）雙曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)及鞏固復(fù)習(xí)1.雙曲線(xiàn)的定義如果平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于正的常數(shù)（小于兩定點(diǎn)間的距離）,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差等于一個(gè)常數(shù),常數(shù)的絕對(duì)值小于兩定點(diǎn)間的距離,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支F1,F2為兩定點(diǎn),P為一動(dòng)點(diǎn),(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是②2a=|F1F2|則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是③2a=0則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(2)若|PF1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是②2a=|F1F2|則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是③2a=0則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是2.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程3.雙曲線(xiàn)的性質(zhì)（1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程x,y的范圍頂點(diǎn)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心實(shí)半軸的長(zhǎng)虛半軸的長(zhǎng)焦距離心率e=范圍e越大雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越e越小雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越準(zhǔn)線(xiàn)漸近線(xiàn)焦半徑公式|PF1|=|PF2|=(F1,F2分別為雙曲線(xiàn)的左右兩焦點(diǎn),P為橢圓上的一點(diǎn))焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程x,y的范圍頂點(diǎn)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心實(shí)半軸的長(zhǎng)虛半軸的長(zhǎng)焦距離心率e=范圍e越大雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越e越小雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越準(zhǔn)線(xiàn)漸近線(xiàn)焦半徑公式|PF1|=|PF2|=(F1,F2分別為雙曲線(xiàn)的下上兩焦點(diǎn),P為橢圓上的一點(diǎn))等軸雙曲線(xiàn)：特點(diǎn)①實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等②漸近線(xiàn)互相垂直③離心率為共軛雙曲線(xiàn)：以已知雙曲線(xiàn)的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線(xiàn)叫原雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)特點(diǎn)①有共同的漸近線(xiàn)②四焦點(diǎn)共圓雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)是6.雙曲線(xiàn)系共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程為(0<k<c2,c為半焦距)共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為考點(diǎn)1。雙曲線(xiàn)的定義及應(yīng)用在運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義時(shí),應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”,弄清是指整條雙曲線(xiàn),還是雙曲線(xiàn)的哪一支考點(diǎn)1、雙曲線(xiàn)定義例1、已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切,與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程【自主解答】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,則由已知|MC1|＝r＋,|MC2|＝r－,∴|MC1|－|MC2|＝2.又C1(－4,0),C2(4,0),∴|C1C2|＝8,∴2＜|C1C2|.根據(jù)雙曲線(xiàn)定義知,點(diǎn)M的軌跡是以C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支．∵a＝,c＝4,∴b2＝c2－a2＝14,∴點(diǎn)M的軌跡方程是：EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),14)＝1(x≥)．【例1】若橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)F1,F2,P是兩條曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),則|PF1|·|PF2|的值是（）A.B.C.D.【解析】橢圓的長(zhǎng)半軸為雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸為,故選A.【評(píng)注】嚴(yán)格區(qū)分橢圓與雙曲線(xiàn)的第一定義,是破解本題的關(guān)鍵.【例2】已知雙曲線(xiàn)與點(diǎn)M（5,3）,F為右焦點(diǎn),若雙曲線(xiàn)上有一點(diǎn)P,使最小,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】待求式中的是什么？是雙曲線(xiàn)離心率的倒數(shù).由此可知,解本題須用雙曲線(xiàn)的第二定義.【解析】雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F（6,0）,離心率右準(zhǔn)線(xiàn)為.作于N,交雙曲線(xiàn)右支于P,連FP,則.此時(shí)為最小.在中,令,得取.所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為.考點(diǎn)2、求雙曲線(xiàn)的方程求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1．定義法,根據(jù)題目的條件,若滿(mǎn)足定義,求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程．2．待定系數(shù)法(2)待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)方程的常用方法①與雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝t(t≠0)；②若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y＝±EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(b),a)x,則雙曲線(xiàn)的方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝t(t≠0)；③與雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1共焦點(diǎn)的方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2－k)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；④過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),m)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),n)＝1(mn＜0)；⑤與橢圓EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可表示為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2－λ)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2－λ)＝1(b2＜λ＜a2)．例2、求下列條件下的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),9)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),16)＝1有共同的漸近線(xiàn),且過(guò)點(diǎn)(－3,2)；(2)與雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),16)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),4)＝1有公共焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(3,2)．【自主解答】(1)解法一：經(jīng)檢驗(yàn)知雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上,故設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1,由題意,得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(),＝1,)解得a2＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(9),4),b2＝4,所以雙曲線(xiàn)的方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(9),4)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),4)＝1.(2)解法一：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1,由題意易求c＝2,又雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(3,2),∴EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(4),b2)＝1.又∵a2＋b2＝(2)2,∴a2＝12,b2＝8.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),12)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),8)＝1.解法二：設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),9)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),16)＝λ(λ≠0),將點(diǎn)(－3,2)代入得λ＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),4).所以雙曲線(xiàn)方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),9)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),16)＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),4),即EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(9),4)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),4)＝1.解法二：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),16－k)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),4＋k)＝1,且16－k＞0,4＋k＞0.將點(diǎn)(3,2)代入得k＝4,且滿(mǎn)足上面的不等式,所以雙曲線(xiàn)方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),12)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),8)＝1.1.在雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中,若x2的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在y軸上,且對(duì)于雙曲線(xiàn),a不一定大于b.2．若不能確定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：mx2＋ny2＝1(mn＜0),以避免分類(lèi)討論．考點(diǎn)3、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識(shí)聯(lián)系密切,解題時(shí)要深刻理解確定雙曲線(xiàn)的形狀、大小的幾個(gè)主要特征量,如a、b、c、e的幾何意義及它們的相互關(guān)系,充分利用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,簡(jiǎn)化解題過(guò)程例3、(12分)雙曲線(xiàn)C：EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的右頂點(diǎn)為A,x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0),若C上存在一點(diǎn)P,使EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(AP),→)·EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(PQ),→)＝0,求此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍．【規(guī)范解答】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則由EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(AP),→)·EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(PQ),→)＝0,得AP⊥PQ,即P點(diǎn)在以AQ為直徑的圓上,∴(x－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3a),2))2＋y2＝(EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(a),2))2.①又P點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1.②(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0.即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.6分當(dāng)x＝a時(shí),P與A重合,不符合題意,舍去當(dāng)x＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2a3－ab2),a2＋b2)時(shí),滿(mǎn)足題意的P點(diǎn)存在,需x＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2a3－ab2),a2＋b2)＞a,化簡(jiǎn)得a2＞2b2,即3a2＞2c2,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(c),a)＜EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(6),2).10分∴離心率e＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(c),a)∈(1,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(6),2)).12分例4、【活學(xué)活用】3.(2012北京期末檢測(cè))若雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),且|PF1|＝3|PF2|,則該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是________．解析：依題意得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(|PF1|＝3|PF2|),|PF1|－|PF2|＝2a),由此解得|PF2|＝a≥c－a,即c≤2a,e＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(c),a)≤2,即該雙曲線(xiàn)的離心率不超過(guò)2.又雙曲線(xiàn)的離心率大于1,因此該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是(1,2]．【例5】直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),斜率k=2.若與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上,則雙曲線(xiàn)的離心率e的范圍是（）A.e>B.1<e<C.1<e<D.e>【分析】就題論題的去解這道題,確實(shí)難以下手,那就考慮轉(zhuǎn)換吧.其一,直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的兩支都有交點(diǎn)不好掌握,但是和兩條漸近線(xiàn)都有交點(diǎn)卻很好掌握.其二,因?yàn)橐阎本€(xiàn)的斜率為2,所以雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)中,傾斜角為鈍角的漸近線(xiàn)肯定與之相交,只須考慮傾斜角為銳角的漸近線(xiàn)也與之相交.故有如下妙解.【解析】如圖設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為α,雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的傾斜角為β.顯然。當(dāng)β＞α?xí)r直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上.由.∵雙曲線(xiàn)中,故取e>.選D.【例6】設(shè)為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn),是該雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則的面積為（）A． B． C. D．【解析】雙曲線(xiàn)的實(shí)、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)；于是,故知△PF1F2是直角三角形,∠F1PF2=90°.∴.選B.【評(píng)注】解題中發(fā)現(xiàn)△PF1F2是直角三角形,是事前不曾想到的吧？可是,這一美妙的結(jié)果不是每個(gè)考生都能臨場(chǎng)發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過(guò)程之中以鑒別考生的思維能力,這正是命題人的高明之處.漸近線(xiàn)——雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)相約天涯對(duì)于二次曲線(xiàn),漸近線(xiàn)為雙曲線(xiàn)所獨(dú)有.雙曲線(xiàn)的許多特性圍繞著漸近線(xiàn)而展開(kāi).雙曲線(xiàn)的左、右兩支都無(wú)限接近其漸近線(xiàn)而又不能與其相交,這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線(xiàn)的范圍.由于處理直線(xiàn)問(wèn)題比處理曲線(xiàn)問(wèn)題容易得多,所以這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于有關(guān)解題之中.【例7】過(guò)點(diǎn)（1,3）且漸近線(xiàn)為的雙曲線(xiàn)方程是【解析】設(shè)所求雙曲線(xiàn)為點(diǎn)（1,3）代入：.代入（1）：即為所求.【評(píng)注】在雙曲線(xiàn)中,令即為其漸近線(xiàn).根據(jù)這一點(diǎn),可以簡(jiǎn)潔地設(shè)待求雙曲線(xiàn)為,而無(wú)須考慮其實(shí)、虛軸的位置.共軛雙曲線(xiàn)——虛、實(shí)易位的孿生弟兄將雙曲線(xiàn)的實(shí)、虛軸互易,所得雙曲線(xiàn)方程為：.這兩個(gè)雙曲線(xiàn)就是互相共軛的雙曲線(xiàn).它們有相同的焦距而焦點(diǎn)的位置不同；它們又有共同的漸近線(xiàn)而為漸近線(xiàn)所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質(zhì)在解題中都有廣泛的應(yīng)用.【例8】?jī)晒曹楇p曲線(xiàn)的離心率分別為,證明：=1.【證明】雙曲線(xiàn)的離心率；雙曲線(xiàn)的離心率.∴.考點(diǎn)5、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系設(shè)而不求——與借舟棄舟同理減少解析幾何計(jì)算量的有效方法之一便是設(shè)而不求.請(qǐng)看下例：【例9】雙曲線(xiàn)的一弦中點(diǎn)為（2,1）,則此弦所在的直線(xiàn)方程為（）A.B.C.D.【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.∵弦中點(diǎn)為（2,1）,∴.故直線(xiàn)的斜率.則所求直線(xiàn)方程為：,故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過(guò)某個(gè)步驟,只要有可能,可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是,“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問(wèn)條件是否成熟就濫用,也會(huì)出漏子.請(qǐng)看：【例10】在雙曲線(xiàn)上,是否存在被點(diǎn)M（1,1）平分的弦？如果存在,求弦所在的直線(xiàn)方程；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.如果不問(wèn)情由地利用“設(shè)而不求”的手段,會(huì)有如下解法：【錯(cuò)解】假定存在符合條件的弦AB,其兩端分別為：A（x1,y1）,B（x2,y2）.那么：.∵M(jìn)（1,1）為弦AB的中點(diǎn),∴故存在符合條件的直線(xiàn)AB,其方程為：.這個(gè)結(jié)論對(duì)不對(duì)呢？我們只須注意如下兩點(diǎn)就夠了：其一：將點(diǎn)M（1,1）代入方程,發(fā)現(xiàn)左式=1-＜1,故點(diǎn)M（1,1）在雙曲線(xiàn)的外部；其二：所求直線(xiàn)AB的斜率,而雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為.這里,說(shuō)明所求直線(xiàn)不可能與雙曲線(xiàn)相交,當(dāng)然所得結(jié)論也是荒唐的.問(wèn)題出在解題過(guò)程中忽視了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有公共點(diǎn)的條件.【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗(yàn)證.由這里,故方程（2）無(wú)實(shí)根,也就是所求直線(xiàn)不合條件.此外,上述解法還疏忽了一點(diǎn)：只有當(dāng)時(shí)才可能求出k=2.若.說(shuō)明這時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn),仍不符合題設(shè)條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線(xiàn).練習(xí)1．(2011安徽高考)雙曲線(xiàn)2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()A．2 B．2C．4 D．4解析：2x2－y2＝8化為標(biāo)準(zhǔn)形式：EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),4)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),8)＝1,∴a2＝4.∴a＝2.∴實(shí)軸長(zhǎng)2a＝4.2．(2011山東高考)已知雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的兩條漸近線(xiàn)均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切,且雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,則該雙曲線(xiàn)的方程為()A.－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),4)＝1B.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),4)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),5)＝1C.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),3)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),6)＝1 D.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),6)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),3)＝1解析：由題意得,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的兩條漸近線(xiàn)方程為y＝±EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(b),a)x,即bx±ay＝0,又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－3)2＋y2＝4,半徑為2,圓心坐標(biāo)為(3,0)．∴a2＋b2＝32＝9,且EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(|3b|),a2＋b2)＝2,解得a2＝5,b2＝4.∴該雙曲線(xiàn)的方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),5)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),4)＝1.3.(2012嘉興測(cè)試)如圖,P是雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),4)－y2＝1右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點(diǎn),A1,A2分別是左、右頂點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)PA1,PO,PA2的斜率分別為k1,k2,k3,則斜率之積k1k2k3的取值范圍是()A．(0,1)B．(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),8))C．(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),4)) D．(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),2))解析：設(shè)P(x,y),則EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y),x)∈(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),2)),且x2－4＝4y2(x＞0,y＞0),∴k1k2k3＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y3),x(x2－4)＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y),4x)∈(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),8))．4．(金榜預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)和C(5,0),頂點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),16)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),9)＝1上,則EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(sinB),|sinA－sinC|)為()A.B.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2),3)C.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(5),4) D.EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(4),5)解析：由題意得a＝4,b＝3,c＝5.A、C為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),∴||BC|－|BA||＝8,|AC|＝10.由正弦定理得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(sinB),|sinA－sinC|)＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(|AC|),||BC|－|BA||)＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(10),8)＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(5),4).5．P為雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),9)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),16)＝1的右支上一點(diǎn),M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn),則|PM|－|PN|的最大值為()A．6B．7C．8 D．9解析：易知兩圓圓心為F1(－5,0),F2(5,0)．由雙曲線(xiàn)方程知a＝3,b＝4,則c＝5,故兩圓心恰好為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)．|PM|－|PN|的最大值為如圖所示的情況,即|PM|－|PN|≤|PF1|＋|F1M|－(|PF2|－|NF2|)＝|PF1|＋2－|PF2|＋1＝2a＋3＝2×3＋3＝9.6．(2012南寧模擬)已知點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為該曲線(xiàn)上一點(diǎn),若△PF1F2為等腰直角三角形,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A.＋1 B.＋1C．2 D．2解析：不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上,則|PF1|－|PF2|＝2a.∵△PF1F2是等腰直角三角形,∴只能是∠PF2F1＝90°,∴|PF2|＝|F1F2|＝2c,∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c,∴(2a＋2c)2＝2·(2c)2,即c2－2ac－a2＝0,兩邊同除以a2,得e2－2e－1＝0.∵e＞1,∴e＝＋1.7．方程EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),2－m)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),|m|－3)＝1表示雙曲線(xiàn)．那么m的取值范圍是________．解析：注意分兩種情況．一是實(shí)軸在x軸上,二是實(shí)軸在y軸上．依題意有EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2－m＞0,),|m|－3＜0,)或EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2－m＜0,),|m|－3＞0,)得m＞3或－3＜m＜2.8．(2012大連測(cè)試)在雙曲線(xiàn)4x2－y2＝1的兩條漸近線(xiàn)上分別取點(diǎn)A和B,使得|OA|·|OB|＝15,其中O為雙曲線(xiàn)的中心,則AB中點(diǎn)的軌跡方程是________．解析：雙曲線(xiàn)4x2－y2＝1的兩條漸近線(xiàn)方程為2x±y＝0,設(shè)A(m,2m),B(n,－2n),AB中點(diǎn)M(x,y),則EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2m－2n),,)即EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(,),y＝m－n,)所以4x2－y2＝4mn.由|OA|·|OB|＝×＝|m|×|n|＝15,得|mn|＝3,所以AB中點(diǎn)的軌跡方程是4x2－y2＝±12,即EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),3)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),12)＝±1.9．雙曲線(xiàn)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0)的離心率是2,則EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(b2＋1),3a)的最小值是________．解析：EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(c),a)＝2?EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(c2),a2)＝4?a2＋b2＝4a2?3a2＝b2,則EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(b2＋1),3a)＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3a2＋1),3a)＝a＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),3a)≥2EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),3)＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3),3),當(dāng)a＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),3a),即a＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3),3)時(shí)取最小值EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3),3).10(2012肇慶模擬)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－3,0),一條漸近線(xiàn)的方程是x－2y＝0.(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)若以k(k≠0)為斜率的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,且線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(81),2),求k的取值范圍．解：(1)設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),a2)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),b2)＝1(a＞0,b＞0),由題設(shè)得5解得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(a2＝4,),b2＝5.)所以雙曲線(xiàn)C的方程為：(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為：EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),4)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),5)＝1.y＝kx＋m(k≠0),則點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(y2),＝1,②)得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x2),4)－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9((kx＋m),5)＝1,整理得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝0.此方程有兩個(gè)不等實(shí)根,于是5－4k2≠0,且Δ＝(－8km)2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＞0,整理得m2＋5－4k2＞0.③由根與系數(shù)的關(guān)系可知線(xiàn)段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)滿(mǎn)足x0＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(x1＋x2),2)＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(4km),5－4k2),y0＝kx0＋m＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(5m),5－4k2),從而線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)的方程為y－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(5m),5－4k2)＝－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),k)(x－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(4km),5－4k2))．此直線(xiàn)與x軸,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(9km),5－4k2),0),(0,EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(9m),5－4k2)),由題設(shè)可得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(1),2)|EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(9km),5－4k2)|·|EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(9m),5－4k2)|＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(81),2),整理得m2＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9((5－4k2),|k|),k≠0.將上式代入③式得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9((5－4k2),|k|)＋5－4k2＞0,整理得(4k2－5)(4k2－|k|－5)＞0,k≠0,解得0＜|k|＜EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(5),2)或|k|＞EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(5),4).所以k的取值范圍是(－∞