2022北京中考數(shù)學題型專練：新定義壓軸題

2022北京中考數(shù)學題型專練：新定義壓軸題

一、解答題

1．在平面直角坐標系xOy中，O的半徑為1，對于點A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點A旋轉(zhuǎn)可

以得到O的弦BC（B,C分別是B,C的對應點），則稱線段BC是O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．

（1）如圖，點A,B,C,B,C,B,C的橫縱坐標都是整數(shù)．在線段BC,BC,BC中，O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)

112233112233

線段”是______________；

（2）ABC是邊長為1的等邊三角形，點A0,t，其中t0．若BC是O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求t的

值；

（3）在ABC中，AB1,AC2．若BC是O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值和最大值，以

及相應的BC長．

2．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到

⊙O的弦AB（A,B分別為點A，B的對應點），線段AA長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．

（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長度為1的弦PP和PP，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點P,P,P,P中，

12341234

連接點A與點的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；

1/63

（2）若點A，B都在直線y3x23上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d，求d的最小值；

11

3

（3）若點A的坐標為2,，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d，直接寫出d的取值范圍．

222

3．在△ABC中，D，E分別是ABC兩邊的中點，如果DE上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱DE為△

ABC的中內(nèi)?。?，下圖中DE是△ABC的一條中內(nèi)弧．

（1）如圖，在Rt△ABC中，ABAC22，D，E分別是AB，AC的中點．畫出△ABC的最長的中內(nèi)弧

DE，并直接寫出此時DE的長；

（2）在平面直角坐標系中，已知點A0,2，B0,0，C4t,0t0，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的

中點．

1

①若t，求△ABC的中內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍；

2

②若在△ABC中存在一條中內(nèi)弧DE，使得DE所在圓的圓心P在△ABC的內(nèi)部或邊上，直接寫出t的取值范圍．

2/63

4．對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一

點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“閉距離”，記作d（M，N）．

已知點A（2，6），B（2，2），C（6，2）．

（1）求d（點O，ABC）；

（2）記函數(shù)ykx（1x1，k0）的圖象為圖形G，若d（G，ABC）1，直接寫出k的取值范圍；

（3）T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（T，ABC）1，直接寫出t的取值范圍．

5．如圖，平面上存在點P、點M與線段AB．若線段AB上存在一點Q，使得點M在以PQ為直徑的圓上，則稱點

M為點P與線段AB的共圓點．

已知點P（0，1），點A（﹣2，﹣1），點B（2，﹣1）．

（1）在點O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成為點P與線段AB的共圓點的是；

（）點為軸上一點，若點為點與線段的共圓點，請求出點橫坐標的取值范圍；

2KxKPABKxK

（3）已知點M（m，﹣1），若直線y＝1x+3上存在點P與線段AM的共圓點，請直接寫出m的取值范圍．

2

6．A，B是⊙C上的兩個點，點P在⊙C的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，特別

地，當圓心C在∠APB邊（含頂點）上時，稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠AMB是AB關(guān)于⊙C

的內(nèi)直角，∠ANB是AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標系xOy中．

（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點．

①已知（，），（，），（﹣，），在∠，∠，∠，中，是關(guān)于⊙的內(nèi)直角的

P110P203P321AP1BAP2BAP3BABO

是；

②若在直線y=2x+b上存在一點P，使得∠APB是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角，求b的取值范圍．

（2）點E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個動點，⊙T與x軸交于點D（點D在點T的右邊）．現(xiàn)有點

M（1，0），N（0，n），對于線段MN上每一點H，都存在點T，使∠DHE是DE關(guān)于⊙T的最佳內(nèi)直角，請直接

寫出n的最大值，以及n取得最大值時t的取值范圍．

3/63

．對于平面直角坐標系中的圖形和圖形．給出如下定義：在圖形上存在兩點，（點，可以

7xOyW1W2W1ABAB

重合），在圖形上存在兩點，，（點于點可以重合）使得，則稱圖形和圖形滿足限

W2MNMNAM=2BNW1W2

距關(guān)系

(1)如圖1，點C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，點P在線段DE上運動(點P可以與點D，E重合)，連接OP，CP．

①線段OP的最小值為_______，最大值為_______；線段CP的取值范直范圍是_____；

②在點O，點C中，點____________與線段DE滿足限距關(guān)系；

(2)如圖2，⊙O的半徑為1，直線y3xb(b>0)與x軸、y軸分別交于點F，G．若線段FG與⊙O滿足限距關(guān)

系，求b的取值范圍；

4/63

(3)⊙O的半徑為r(r>0)，點H，K是⊙O上的兩個點，分別以H，K為圓心，1為半徑作圓得到⊙H和K，若對于

任意點H，K，⊙H和⊙K都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍．

8．對于平面直角坐標系xOy中的線段PQ，給出如下定義：若存在PQR使得SPQ2，則稱PQR為線段PQ

PQR

的“等冪三角形”，點R稱為線段PQ的“等冪點”．

（1）已知A(3,0)．

①在點P(1,3),P(2,6),P(5,1),P(3,6)中，是線段OA的“等冪點”的是_____________；

1234

②若存在等腰OAB是線段OA的“等冪三角形”，求點B的坐標；

（2）已知點C的坐標為C(2,1)，點D在直線yx3上，記圖形M為以點T(1,0)為圓心，2為半徑的T位于x

軸上方的部分，若圖形M上存在點E，使得線段CD的“等冪三角形”△CDE為銳角三角形，直接寫出點D的橫坐標

x的取值范圍．

D

2222

A,0,B0,,C,0,D0,

9．在平面直角坐標系xOy中，已知正方形ABCD，其中，M，N為該

2222

正方形外兩點，MN1．給出如下定義：記線段MN的中點為P，平移線段MN得到線段MN，使點M,N分別

落在正方形ABCD的相鄰兩邊上，或線段MN與正方形的邊重合（M,N,P分別為點M，N，P的對應點），線段

PP長度的最小值稱為線段MN到正方形ABCD的“平移距離”．

（1）如下圖，平移線段MN，得到正方形ABCD內(nèi)兩條長度為1的線段MN,MN，則這兩條線段的位置關(guān)系是

1122

_______；若P,P分別為MN,MN的中點，在點P,P中，連接點P與點_______的線段的長度等于線段MN到正

12112212

方形ABCD的“平移距離”；

2

E1,0dd

（2）如圖，已知點，若M，N都在直線BE上，記線段MN到正方形ABCD的“平移距離”為，求

211

的最小值；

5/63

（3）若線段MN的中點P的坐標為(2，2)，記線段MN到正方形ABCD的“平移距離”為d，直接寫出d的取值范

22

圍．

10．對于平面直角坐標系xOy中的圖形M和點P，給出如下定義：將圖形M繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90得到圖形N，圖

形N稱為圖形M關(guān)于點P的“垂直圖形”．例如，圖1中點D為點C關(guān)于點P的“垂直圖形”．

（1）點A關(guān)于原點O的“垂直圖形”為點B．

①若點A的坐標為(0,2)，則點B的坐標為_______；

②若點B的坐標為(2,1)，則點A的坐標為_______．

（2）E(3,3),F(2,3),G(a,0)．線段EF關(guān)于點G的“垂直圖形”記為EF，點E的對應點為E，點F的對應點為

F．

①求點E的坐標（用含a的式子表示）；

②若O的半徑為2，EF上任意一點都在O內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的EE的長度的最大值．

6/63

11．在平面直角坐標系xOy中，對于兩個點P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點M，N（M，N可以重合）

使得PMQN，那么稱點P與點Q是圖形W的一對平衡點．

（1）如圖1，已知點A(0,3)，B(2,3)；

①設(shè)點O與線段AB上一點的距離為d，則d的最小值是，最大值是；

3

②在P,0，P(1,4)，P(3,0)這三個點中，與點O是線段AB的一對平衡點的是；

1223

（2）如圖2，已知O的半徑為1，點D的坐標為(5,0)．若點E(x,2)在第一象限，且點D與點E是O的一對平

衡點，求x的取值范圍；

（3）如圖3，已知點H(3,0)，以點O為圓心，OH長為半徑畫弧交x的正半軸于點K．點C(a,b)（其中b0）是

坐標平面內(nèi)一個動點，且OC5，C是以點C為圓心，半徑為2的圓，若HK上的任意兩個點都是C的一對平

衡點，直接寫出b的取值范圍．

12．在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB為一邊向△ABM的異側(cè)作正方形ABCD，以A為圓心，AM為半徑作⊙A，

我們稱正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的內(nèi)部（或圓上），我

們稱正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的絕對友好正方形”，例如，圖1中正方形ABCD是⊙A的“關(guān)于△ABM的

友好正方形”．

（1）圖2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在圖中畫出⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形ABCD”．

7/63

k

（2）若點A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）上，它的橫坐標是2，過點A作AB⊥y軸于B，若正方形ABCD為

x

⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對友好正方形”，求k的取值范圍．

（3）若點A是直線y＝﹣x+2上的一個動點，過點A作AB⊥y軸于B，若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕

對友好正方形”，求出點A的橫坐標m的取值范圍．

13．在△ABC中，以AB邊上的中線CD為直徑作圓，如果與邊AB有交點E（不與點D重合），那么稱DE為△

ABC的C﹣中線?。纾鐖D中DE是△ABC的C﹣中線?。谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，已知△ABC存在C﹣中

線弧，其中點A與坐標原點O重合，點B的坐標為（2t，0）（t＞0）．

（1）當t＝2時，

①在點（﹣，），（，），（，），（，）中，滿足條件的點是；

C132C2023C324C442C

②若在直線y＝kx（k＞0）上存在點P是△ABC的C﹣中線弧DE所在圓的圓心，其中CD＝4，求k的取值范圍；

（2）若△ABC的C﹣中線弧DE所在圓的圓心為定點P（2，2），直接寫出t的取值范圍．

8/63

14．在△ABC中，點P是∠BAC的角平分線AD上的一點，若以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與△ABC的交點不．

少于．．4個，點P稱為△ABC關(guān)于∠BAC的“勁度點”，線段PA的長度稱為△ABC關(guān)于∠BAC的“勁度距離”．

（1）如圖，在∠BAC平分線AD上的四個點P、P、P、P中，連接點A和點的線段長度是△ABC關(guān)于∠

1234

BAC的“勁度距離”．

（2）在平面直角坐標系中，已知點M（0，t），N（4，0）．

①當t=5時，求出△MON關(guān)于∠MON的“勁度距離”d的最大值．

1

②如果2d22內(nèi)至少有一個值是△MON關(guān)于∠MON的“勁度距離”，請直接寫出t的取值范圍．

．對于平面內(nèi)的圖形和圖形，記平面內(nèi)一點到圖形上各點的最短距離為，點到圖形上各點的

15G1G2PG1d1PG2

最短距離為，若＝，就稱點是圖形和圖形的一個等距點．在平面直角坐標系中，已知點

d2d1d2PG1G2“”xOyA

（6，0），B（0，23）．

（1）在C（4，0），D（2，0），E（1，3）三點中，點A和點B的等距點是；

（2）已知直線y=2．

①若點A和直線y=2的等距點在x軸上，則該等距點的坐標為；

②若直線y=b上存在點A和直線y＝2的等距點，求實數(shù)b的取值范圍；

9/63

3

（3）記直線AB為直線l，直線l：yx，以原點O為圓心作半徑為r的⊙O．若⊙O上有m個直線l和直

1231

線的等距點，以及個直線和軸的等距點（，），當時，求的取值范圍．

l2nl1ym≠0n≠0m≠nr

16．對于平面內(nèi)的點M，如果點P，點Q與點M所構(gòu)成的MPQ是邊長為1的等邊三角形，則稱點P，點Q為點

M的一對“關(guān)聯(lián)點”，進一步地，在MPQ中，若頂點M，P，Q按順時針排列，則稱點P，點Q為點M的一對“順

關(guān)聯(lián)點”；若頂點M，P，Q按逆時針排列，則稱點P，點Q為點M的一對“逆關(guān)聯(lián)點”．已知A(1,0)，

33

（1）在O(0,0),B(0,1),C(2,0),D,中，點A的一對關(guān)聯(lián)點是____，它們?yōu)辄cA的一對___關(guān)聯(lián)點（填“順”或

22

“逆”）；

（2）以原點O為圓心作半徑為1的圓，已知直線l:y3xb．

①若點P在⊙O上，點Q在直線l上，點P，點Q為點A的一對關(guān)聯(lián)點，求b的值；

②若在⊙O上存在點R，在直線l上存在兩點Tx,y和Sx,y，其中xx，且點T，點S為點R的一對順關(guān)聯(lián)

112212

點，求b的取值范圍．

17．在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點Mx,y,Nx,y，若xxyyk（k為常數(shù)且k0），則

11221212

稱點M為點N的k倍直角點．

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

（1）已知點A(1,1)

①若點B(2,3)是點A的k倍直角點，則k的值是___________；

②在點C(2,3),D(1,1),E(0,2),O(0,0)中是點A的2倍直角點的是_______；

③若直線y2xb上存在點A的2倍直角點，求b的取值范圍；

（2）T的圓心T的坐標為(1,0)，半徑為r，若T上存在點O的2倍直角點，直接寫出r的取值范圍．

18．在平面直角坐標系xOy中，任意兩點Px,y，Qx,y，定義線段PQ的“直角長度”為

1122

dxxyy．

PQ2121

（1）已知點A(3,2)．

①d________；

OA

②已知點B(m,0)，若d6，求m的值；

AB

10/63

（2）在三角形中，若存在兩條邊“直角長度”之和等于第三條邊的“直角長度”，則稱該三角形為“和距三角形”．已知

點M(3,3)．

①點D(0,d)(d0)．如果OMD為“和距三角形”，求d的取值范圍；

②在平面直角坐標系xOy中，點C為直線yx4上一點，點K是坐標系中的一點，且滿足CK1，當點C在直

線上運動時，點K均滿足使△OMK為“和距三角形”，請你直接寫出點C的橫坐標x的取值范圍．

C

19．如圖，直線l和直線l外一點P，過點P作PHl于點H任取直線l上點Q，點H關(guān)于直線PQ的對稱點為點

H，標點H為點P關(guān)于直線l的垂對點．在平面直角坐標系xOy中，

（1）已知點P(0,2)，則點O(0,0),A(2,2),B(0,4)中是點P關(guān)于x軸的垂對點的是_______；

4

（2）已知點M(0,m)，且m0，直線yx4上存在點M關(guān)于x軸的垂對點，求m的取值范圍；

3

（3）已知點N(n,2)，若直線yxn上存在兩個點N關(guān)于x軸的垂對點，直接寫出n的取值范圍，

20．在平面直角坐標系xOy中，對于圖形Q和∠P，給出如下定義：若圖形Q上的所有的點都在∠P的內(nèi)部或∠P

的邊上，則∠P的最小值稱為點P對圖形Q的可視度．如圖1，∠AOB的度數(shù)為點O對線段AB的可視度．

2

（1）已知點N（2，0），在點M(0,3)，M(1,3)，M(2,3)中，對線段ON的可視度為60o的點是______．

1323

（2）如圖2，已知點A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．

11/63

①直接寫出點E對四邊形ABCD的可視度為______°；

②已知點F（a，4），若點F對四邊形ABCD的可視度為45°，求a的值．

21．在平面直角坐標系xOy中，對于點A和線段MN，如果點A，O，M，N按逆時針方向排列構(gòu)成菱形AOMN，

且AOM，則稱線段MN是點A的“相關(guān)線段”．例如，圖1中線段MN是點A的“30-相關(guān)線段”．

（1）已知點A的坐標是(0,2)．

①在圖2中畫出點A的“30-相關(guān)線段”MN，并直接寫出點M和點N的坐標；

②若點A的“-相關(guān)線段”經(jīng)過點(3,1)，求的值；

（2）若存在,()使得點P的“-相關(guān)線段”和“-相關(guān)線段”都經(jīng)過點(0,4)，記POt，直接寫出t的取值

范圍．

12/63

參考答案

6

1．（1）BC；（2）t3；（3）當OA1時，此時BC3；當OA2時，此時BC．

22minmax2

【分析】

（1）以點A為圓心，分別以AB,AC,AB,AC,AB,AC為半徑畫圓，進而觀察是否與O有交點即可；

112233

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC是等邊三角形，且BC是O的弦，進而畫出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進

行求解；

（3）由BC是O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知B,C都在O上，且ABAB1,ACAC2，然后由

題意可根據(jù)圖象來進行求解即可．

【詳解】

解：（1）由題意得：

通過觀察圖象可得：線段BC能繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到O的“關(guān)聯(lián)線段”，BC,BC都不能繞點A進行旋轉(zhuǎn)得到；

221133

故答案為BC；

22

（2）由題意可得：當BC是O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時，則有△ABC是等邊三角形，且邊長也為1，當

點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：

13/63

設(shè)BC與y軸的交點為D，連接OB，易得BCy軸，

1

∴BDDC，

2

33

∴ODOB2BD2，ADAB2BD2，

22

∴OA3，

∴t3；

當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：

同理可得此時的OA3，

∴t3；

（3）由BC是O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知B,C都在O上，且ABAB1,ACAC2，則有當

以B為圓心，1為半徑作圓，然后以點A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點A的運動軌跡，如圖所示：

14/63

由運動軌跡可得當點A也在O上時為最小，最小值為1，此時AC為O的直徑，

∴ABC90，

∴ACB30，

∴BCBCACcos303；

由以上情況可知當點A,B,O三點共線時，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：

連接OC,BC，過點C作CPOA于點P，

∴OC1,ACOA2，

設(shè)OPx，則有AP2x，

∴由勾股定理可得：CP2AC2AP2OC2OP2，即222x21x2，

1

解得：x，

4

15/63

15

∴CP，

4

3

∴BPOBOP，

4

6

在RtBPC中，BCBP2CP2，

2

6

∴BC；

2

6

綜上所述：當OA1時，此時BC3；當OA2時，此時BC．

minmax2

【點睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、

三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3339

．（）平行，；（）；（）

21P323d

2222

【分析】

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及“平移距離”的定義填空即可；

（2）過點O作OE⊥AB于點E，交弦CD于點F，分別求出OE、OF的長，由dOEOF得到d的最小值；

11

3

（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點A2,為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長度

2

為1的弦即可．平移距離d的最大值即點A，B點的位置，由此得出d的取值范圍．

22

【詳解】

解：（）平行；；

1P3

（2）如圖，線段AB在直線y3x23上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD，CD∥AB，過點O作OE⊥AB

于點E，交弦CD于點F，OF⊥CD，令y0，直線與x軸交點為（-2，0），直線與x軸夾角為60°，∴

OE2sin603．

123

由垂徑定理得：OFOC2CD，

22

3

∴dOEOF；

12

16/63

3

（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點A2,為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長度

2

為1的弦即可；

325

點A到O的距離為AO22．

22

53

如圖，平移距離d的最小值即點A到⊙O的最小值：1；

222

平移距離d的最大值線段是下圖AB的情況，即當A,A關(guān)于OA對稱，且AB⊥AA且AB=1時.∠

212121212

，則∠

B2A2A1=60°OA2A1=30°,

3

∵OA=1,∴OM=1,AM=,

2222

17/63

3239

∴MA=3,AA=2,

23

22

339

∴d的取值范圍為：d．

2222

【點睛】

本題考查圓的基本性質(zhì)及與一次函數(shù)的綜合運用，熟練掌握圓的基本性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)

系是解題的關(guān)鍵．

1

3．（1）；（2）①P的縱坐標y1或y；②0t2.

pP2

【分析】

（1）由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE=2，最長中內(nèi)弧即以DE為直徑的半圓，DE的長即以DE為

直徑的圓周長的一半；

1

（2）根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，，①當t時，要注意圓心P在DE上方的中垂

2

線上均符合要求，在DE下方時必須AC與半徑PE的夾角∠AEP滿足90°≤∠AEP＜135°；②根據(jù)題意，t的最大值

即圓心P在AC上時求得的t值．

【詳解】

解：（1）如圖2，

18/63

以DE為直徑的半圓弧DE，就是△ABC的最長的中內(nèi)弧DE，連接DE，∵∠A=90°，AB=AC=22，D，E分別

AC2211

是AB，AC的中點，BC4,DEBC42，

sinBsin4522

1

∴弧DE2；

2

（2）如圖3，由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE，作DE垂直平分線FP，作EG⊥

AC交FP于G，

11

①當t時，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F(xiàn),1，

22

1

設(shè)P,m由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，∴m≥1，

2

∵OA=OC，∠AOC=90°

∴∠ACO=45°，

∵DE∥OC

∴∠AED=∠ACO=45°

作EG⊥AC交直線FP于G，F(xiàn)G=EF=1

2

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點G的下方（含點G）直線FP上時也符合要求；

1

m

2

1

綜上所述，m或m≥1．

2

19/63

②圖4，設(shè)圓心P在AC上，

∵P在DE中垂線上，

3

∴P為AE中點，作PM⊥OC于M，則PM=

2

3

Pt,，

2

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠AOB=90°，

AEAD2DE212(2t)24t21

∵PD=PE，

∴∠AED=∠PDE

∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，

∴∠DAE=∠ADP

1

APPDPEAE

2

由三角形中內(nèi)弧定義知，PD≤PM

13

AE，AE≤3，即4t213，解得：t2

22

t0

0t2

【點睛】

此題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長計算，直角三角形性質(zhì)等，給出了“三角形中內(nèi)弧”新定義，要求學

生能夠正確理解新概念，并應用新概念解題．

4．（1）2；（2）1k0或0k1；（3）t4或0≤t≤422或t422．

【詳解】

20/63

分析：（1）畫出圖形，根據(jù)“閉距離”的概念結(jié)合圖形進行求解即可.

（2）分k0和k0兩種情況，畫出示意圖，即可解決問題.

（3）畫出圖形，直接寫出t的取值范圍．

詳解：（1）如下圖所示：

∵B（2，2），C（6，2）

∴D（0，2）

∴d（O，ABC）OD2

（2）1k0或0k1

（3）t4或0t422或t422．

21/63

點睛：屬于新定義問題，考查點到直線的距離，圓的切線的性質(zhì)，認真分析材料，讀懂“閉距離”的概念是解題的關(guān)

鍵.

．（）；（）﹣﹣≤x﹣或﹣；（）﹣或．

51C212k≤1221≤xk≤1+23m≤3210m≥3+210

【分析】

（1）由題意可知當Q與A重合時，點C在以AP為直徑的圓上，所以可以成為點P與線段AB的共圓點的是C；

（）根據(jù)題意由兩點的距離公式可得，分別畫以和為直徑的圓交軸于個點：、、

2AP=BP=22APBPx4K1K2

、，結(jié)合圖形可得個點的坐標，從而得結(jié)論；

K3K424

（3）由題意先根據(jù)直線y=1x+3，當x=0和y=0計算與x軸和y軸的交點坐標，分兩種情況：M在A的左側(cè)和右

2

側(cè)，先計算圓E與直線y=1x+3相切時m的值，從而根據(jù)圖形可得結(jié)論．

2

【詳解】

解：（1）如圖1，可以成為點P與線段AB的共圓點的是C，

故答案為：C；

（2）∵P（0，1），點A（﹣2，﹣1），點B（2，﹣1）．

∴AP＝BP＝(20)2(11)2＝22，

如圖，分別以、為直徑作圓，交軸于點、、、，

2PAPBxK1K2K3K4

22/63

∵OP＝OG＝1，OE∥AB，

∴PE＝AE＝2，

∴OE＝1AG＝1，

2

∴（﹣﹣，），（﹣，），（﹣，），（，），

K1120k2120k3210k41+20

∵點K為點P與線段AB的共圓點，

∴﹣﹣≤x﹣或﹣；

12k≤1221≤xk≤1+2

（3）分兩種情況：

①如圖3，當M在點A的左側(cè)時，Q為線段AM上一動點，以PQ為直徑的圓E與直線y＝1x+3相切于點F，連

2

接EF，則EF⊥FH，

當x＝0時，y＝3，當y＝0時，y＝1x+3＝0，x＝﹣6，

2

∴ON＝3，OH＝6，

ONEF3

∵tan∠EHF＝＝＝1，

OHFH62

設(shè)EF＝a，則FH＝2a，EH＝5a，

23/63

∴OE＝6﹣5a，

Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，

由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，

∴a212(65a)2，

35223522

解得：a＝（舍去）或，

22

∴QG＝2OE＝2（6﹣5a）＝﹣3+210，

∴m≤3﹣210；

②如圖4，當M在點A的右側(cè)時，Q為線段AM上一動點，以PQ為直徑的圓E與直線y＝1x+3相切于點F，連

2

接EF，則EF⊥FH，

同理得QG＝3+210，

∴m≥3+210，

綜上，m的取值范圍是m≤3﹣210或m≥3+210．

【點睛】

本題屬于圓和一次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的應用，新定義：M為點P與線段AB的共圓點，圓的切線的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用圖象法解決問題，學會利用特殊點解決取值范圍問題.

．（）①∠，∠；②﹣＜；（）的最大值為；的取值范圍是﹣﹣＜

61AP2BAP3B5b≤52n2t51≤t5

【分析】

（）判斷點，，是否在以為直徑的圓弧上即可得出答案；

1P1P2P3AB

24/63

（2）求得直線AB的解析式，當直線y=2x+b與弧AB相切時為臨界情況，證明△OAH∽△BAD，可求出此時b=5，

則答案可求出；

（3）可知線段MN上任意一點（不包含點M）都必須在以TD為直徑的圓上，該圓的半徑為2，則當點N在該圓的

最高點時，n有最大值2，再分點H不與點M重合，點M與點H重合兩種情況求出臨界位置時的t值即可得解．

【詳解】

解：（1）如圖1，

P(1,0)，A(0,5)，B(4,3)，

1

AB428245，PA125226，PB323232，

11

P不在以AB為直徑的圓弧上，

1

故APB不是AB關(guān)于O的內(nèi)直角，

1

P(0,3)，A(0,5)，B(4,3)，

2

PA8，AB45，PB4，

22

PA2PB2AB2，

22

APB90，

2

APB是AB關(guān)于O的內(nèi)直角，

2

同理可得，PB2PA2AB2，

33

APB是AB關(guān)于O的內(nèi)直角，

3

故答案為：APB，APB；

23

（2）APB是AB關(guān)于O的內(nèi)直角，

25/63

APB90，且點P在O的內(nèi)部，

滿足條件的點P形成的圖形為如圖2中的半圓H（點A，B均不能取到），

過點B作BDy軸于點D，

A(0,5)，B(4,3)，

BD4，AD8，

并可求出直線AB的解析式為y2x5，

當直線y2xb過直徑AB時，b5，

連接OB，作直線OH交半圓于點E，過點E作直線EF//AB，交y軸于點F，

OAOB，AHBH，

EHAB，

EHEF，

EF是半圓H的切線．

OAHOAH，OHBBDA90，

OAH∽BAD，

OHBD41，

AHAD82

11

OHAHEH，

22

26/63

OHEO，

EOFAOH，F(xiàn)EOAHO90，

EOFHOA(ASA)，

OFOA5，

EF//AB，直線AB的解析式為y2x5，

直線EF的解析式為y2x5，此時b5，

b的取值范圍是5b5．

（3）對于線段MN上每一個點H，都存在點T，使DHE是DE關(guān)于T的最佳內(nèi)直角，

點T一定在DHE的邊上，

TD4，DHT90，線段MN上任意一點（不包含點M)都必須在以TD為直徑的圓上，該圓的半徑為2，

當點N在該圓的最高點時，n有最大值，

即n的最大值為2．

分兩種情況：

①若點H不與點M重合，那么點T必須在邊HE上，此時DHT90，

點H在以DT為直徑的圓上，

如圖3，當G與MN相切時，GHMN，

27/63

OM1，ON2，

MNON2OM25，

GMHOMN，GHMNOM，ONGH2，

GHMNOM(ASA)，

MNGM5，

OG51，

OT51，

當T與M重合時，t1，

此時t的取值范圍是51t1，

②若點H與點M重合時，臨界位置有兩個，一個是當點T與M重合時，t1，另一個是當TM4時，t5，

此時t的取值范圍是1t5，

綜合以上可得，t的取值范圍是51t5．

【點睛】

本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角

形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確理解最佳內(nèi)直角的意義是解本題的

關(guān)鍵．

31

7．（1）①，3，3CP2，②O；（2）b；（3）0＜r≤3．

23

【分析】

（1）①根據(jù)垂線段最短以及已知條件，確定OP，CP的最大值，最小值即可解決問題．②根據(jù)限距關(guān)系的定義判

斷即可．

（2）直線y3xb與x軸、y軸分別交于點F，G（0，b），分三種情形：①線段FG在⊙O內(nèi)部，②線段FG與

⊙O有交點，③線段FG與⊙O沒有交點，分別構(gòu)建不等式求解即可．

（3）如圖3中，不妨設(shè)⊙K，⊙H的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，根據(jù)⊙H和⊙K都滿足限距關(guān)系，構(gòu)建不等式

求解即可．

【詳解】

（1）①如圖1中，

28/63

∵D（-1，0），E(0，3)，

∴OD=1，OE3，

OE

∴tanEDO