線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總匯總

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總匯總#以二一-j二 打D（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不同解，則它的系數(shù)行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。2矩陣（一）矩陣的運(yùn)算1、矩陣乘法注意事項(xiàng)：（1）矩陣乘法要求前列后行一致；（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f（A）時(shí)，可以用交換律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（5條）（1）（A+B）t=At+Bt（2）（kA）T=kAT（3）（AB）t=BtAt（4）|A|t二|A|（5）（At）t=A（二）矩陣的逆3、逆的定義：AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1注：A可逆的充要條件是|A|W04、逆的性質(zhì)：（5條）（kA）-i=1/k?A-1（k/0）（AB）-1=B-1?A-1（3）|A-1|=|A|-1（At）-1=（A-1）t（A-1）-1=A

5、逆的求法：/(1)A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解(2)A為數(shù)字矩陣：(A|E)玲初等行變換玲(E|A-1)(三)矩陣的初等變換6、初等行(列)變換定義：(1)兩行(列)互換；(2)一行(列)乘非零常數(shù)c(3)一行(列)乘k加到另一行(列)7、初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：(1)初等行(列)變換相當(dāng)于左(右)乘相應(yīng)的初等矩陣(2)初等矩陣均為可逆矩陣，且Ei產(chǎn)Ej(i，j兩行互換)；Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c)Ej-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k力口到j(luò))★(四)矩陣的秩9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：(1)r(A)=0意味著所有元素為0,即A=Or(Anxn)=n(滿秩)G玲|A|^0G玲A可逆；r(A)<nG玲|A|=0G玲A不可逆；r(A)=r(r=1、2、…、n-1)G玲r階子式非零且所有r+1子式均為0。10、秩的性質(zhì)：(7條)A為mXn階矩陣，則r(A)Wmin(m,n)r(A±B)Wr(A)±(B)r(AB)Wmin{r(A),r(B)}r(kA)=r(A)(k=0)r(A)=r(AC)(C是一個(gè)可逆矩陣)r(A)=r(At)=r(AtA)=r(AAt)(7)設(shè)A是mXn階矩陣，B是nXs矩陣，AB=O,則r(A)+r(B)Wn11、秩的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2）A為數(shù)字矩陣：A玲初等行變換好階梯型（每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣12、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）（1）AA*=A*A=|A|E玲★a*=|A|A-i（2）（kA）*=kn-iA*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（At）*=（A*）t（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A|n-2-A★（8） r （A*） =n （r （A）=n）；r （A*） =1 （r （A）=n-1）；r （A*） =0 （r （A）＜n-1）（六）分塊矩陣13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。14、分塊矩陣求逆：botbot1_rOC]-O~O町1

CO]3向量（一）向量的概念及運(yùn)算1、向量的內(nèi)積（a,B）=atB=Bta2、2、長度定義：||a||二?/二曲二加+慶+Y3、正交定義：（a,B）=atB=Bta=a1bl+a2b2+…+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAt=E—A-1=At—AtA=E玲|A|=±1（二）線性組合和線性表示

5、線性表示的充要條件：非零列向量B可由a1,a2,…，as線性表示⑴G玲非齊次線性方程組(a1,a2,…，as)(x1,x2,…，xs)t=B有解?！?2)G玲r(a1,a2，…，as)=r(a1,a2，…，as,B)(系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗(yàn))6、線性表示的充分條件：(了解即可)若a1,a2，…，as線性無關(guān)，a1,a2，…，as,B線性相關(guān)，則B可由a1,a2,…，as線性表示。7、線性表示的求法：(大題第二步)設(shè)a1,a2,…，as線性無關(guān)，B可由其線性表示。(a1,a2,…，as|B)玲初等行變換玲(行最簡(jiǎn)形|系數(shù))行最簡(jiǎn)形：每行第一個(gè)非0的數(shù)為1,其余元素均為0(三)線性相關(guān)和線性無關(guān)8、線性相關(guān)注意事項(xiàng)：(1)a線性相關(guān)右玲a=0(2)a1,a2線性相關(guān)右玲a1,a2成比例9、線性相關(guān)的充要條件：向量組a1,a2,…，as線性相關(guān)G玲有個(gè)向量可由其余向量線性表示；G玲齊次方程(a1,a2,…，as)(x1,x2,…，xs)t=0有非零解；★(3)G玲r(a1,a2，…，as)<s即秩小于個(gè)數(shù)特別地，n個(gè)n維列向量a1,a2，...,an線性相關(guān)⑴一rJ,%,…，?)G玲1a1,a2,…，an|=0G玲(a1,a2,…，an)不可逆10、線性相關(guān)的充分條件：(1)向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)(2)部分相關(guān)，則整體相關(guān)(3)高維相關(guān)，則低維相關(guān)

(4)以少表多，多必相關(guān)★推論：n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)11、線性無關(guān)的充要條件向量組0/02,…，as線性無關(guān)(1)G玲任意向量均不能由其余向量線性表示；(2)G玲齊次方程(a1,a2,?…as)(x1,x2,?…xs)t=0只有零解(3)G玲r(a1,a2,…，as)=s特別地，n個(gè)n維向量a1,a2,...,an線性無關(guān)G玲r(a1,a2,…，an)=n6玲|a1,a2,…，an|=06玲矩陣可逆12、線性無關(guān)的充分條件：(1)整體無關(guān)，部分無關(guān)(2)低維無關(guān)，高維無關(guān)(3)正交的非零向量組線性無關(guān)(4)不同特征值的特征向量無關(guān)13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定(1)定義法(2)秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)【專業(yè)知識(shí)補(bǔ)充】(1)在矩陣左邊乘列滿秩矩陣(秩=列數(shù))，矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。(2)若n維列向量a1,a2,a3線性無關(guān)，B1,B2,B3可以由其線性表示，即(B1,62,63)=(a1,a2,a3)C,則r(B1,B2,B3)=r(C),從而線性無關(guān)。G玲r(61,62,63)=3—r(C)=3—|C|^0(四)極大線性無關(guān)組與向量組的秩14、極大線性無關(guān)組不唯一15、向量組的秩:極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩對(duì)比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)注:向量組a1,a2,…，as的秩與矩陣A=(a1,a2,…，as)的秩相等16、極大線性無關(guān)組的求法(1)a1,a2,...,as為抽象的：定義法

（2）a1,a2，…，as為數(shù)字的：（a1,a2,…，as）玲初等行變換好階梯型矩陣則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組（五）向量空間17、基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式：若a1,a2,…，an與B1,B2,…，Bn是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（B1,B2，…，Bn）=（a1,a2，...,an）Ln其中，C是從基a1,a2,…，an到B1,B2,…，Bn的過渡矩陣。C=（ai，a2，*^,an）-1（Bi，B2，，，，，Bn）18、坐標(biāo)變換公式：向量Y在基a1,a2,…，an與基B1,B2，…，Bn的坐標(biāo)分別為x=（x1,x2,…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T,,即Y=x1a1+x2a2+…+xnan=y1B1+y2B2+…+ynBn,則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C-ix。其中，C是從基a1,a2,?…an到B1，B2，…，Bn的過渡矩陣。C=（a1,a2,…，an）-i（B1,B2,…，B）n（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化設(shè)a1,a2,a3線性無關(guān)（1）正交化令6『ax=%―--= 7戶1一（%用）（A㈤（A/J（2）單位化4線性方程組（一）方程組的表達(dá)形與解向量

1、解的形式：，/⑴一般形式⑵矩陣形式：Ax=b；⑶向量形式：A=(a1,a2，…，an)2、解的定義：若n=(cjc2,…，cn)T滿足方程組Ax=b,即An=b,稱n是Ax=b的一個(gè)解(向量)(二)解的判定與性質(zhì)3、齊次方程組：(1)只有零解右玲r(A)=n(n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù))(2)有非零解右玲r(A)<n4、非齊次方程組：(1)無解<-->r(A)<r(A|b)<-->r(A)=r(A)-1(2)唯一解G玲r(A)=r(A|b)=n(3)無窮多解6玲r(A)=r(A|b)<n5、解的性質(zhì)：(1)若J,%是Ax=0的解，則勺%+勺％是Ax=0的解(2)若自是Ax=0的解，n是Ax=b的解，則自+、是Ax=b的解(3)若n1,n2是Ax=b的解，則n1-n2是Ax=0的解【推廣】(1)設(shè)n1,n2,…，ns是Ax=b的解，則k1nl+k2n2+…+ksns為「Ax=b的解(當(dāng)wki=1)-*■一Ax=0的解(當(dāng)Wki=0)(2)設(shè)n1,n2,…，ns是Ax=b的s個(gè)線性無關(guān)的解，則n2-n1,n3-n1,…，ns-n1為Ax=0的s-1個(gè)線性無關(guān)的解。變式:?n1-n2,n3-n2,^,ns-n2②n2—n1，n3—n2，…，ns-ns-1(三)基礎(chǔ)解系

6、基礎(chǔ)解系定義:（1）%,乙,…，鼠是Ax=0的解（2）%,%,…，仁線性相關(guān)（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示好基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組注：基礎(chǔ)解系不唯一。任意n-r（A）個(gè)線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。★7、重要結(jié)論：（證明也很重要）設(shè)A施mXn階矩陣，B是nXs階矩陣，AB=O（1）B的列向量均為方程Ax=0的解r（A）+r（B）Wn（第2章，秩）8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r（A）個(gè)線性無關(guān)的解A為數(shù)字的：A玲初等行變換好階梯型自由未知量分別取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系（四）解的結(jié)構(gòu)（通解）9、齊次線性方程組的通解（所有解）設(shè)r（A）=r,%,.…，&n-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解為k1nl+k2n2+…+kn-rnn-r（其中k1,k2,…，kn-r為任意常數(shù)）10、非齊次線性方程組的通解設(shè)r（A）=r,%,.…，&n-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，n為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為n+k1n1+k2n2+…+kn-rnn-r（其中k1,k2,…，kn-r為任意常數(shù)）（五）公共解與同解11、公共解定義：如果a既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱a為其公共解12、非零公共解的充要條件：方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解A] （A\.V=0 r<神一有非零解6玲<B

13、重要結(jié)論(需要掌握證明)(1)設(shè)A是mXn階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r(ATA)=r(A)(2)設(shè)A是mXn階矩陣，r(A)=n,B是nXs階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r(AB)=r(B)5特征值與特征向量(一)矩陣的特征值與特征向量1、特征值、特征向量的定義：設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)人及非零列向量a,使得Aa=、a,稱a是矩陣A屬于特征值人的特征向量。2、特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：DE-A|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式(入的n次多項(xiàng)式)。|人E-A|=0稱為矩陣A的特征方程(入的n次方程)。注:特征方程可以寫為|A-入E|=03、重要結(jié)論：(1)若a為齊次方程Ax=0的非零解，則Aa=0-a,即a為矩陣A特征值人=0的特征向量(2)A的各行元素和為k,則(1,1,…，1)t為特征值為k的特征向量。(3)上(下)三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素?！?、總結(jié)：特征值與特征向量的求法A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊A為數(shù)字的：由特征方程法求解5、特征方程法：(1)解特征方程|人E-A|=0,得矩陣A的n個(gè)特征值入1,入2，?…入n注：n次方程必須有n個(gè)根(可有多重根，寫作入1=入廣…=、s=實(shí)數(shù)，不能省略)(2)解齊次方程(入iE-A)=0,得屬于特征值%的線性無關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系(共n-r(人iE-A)個(gè)解)6、性質(zhì):(1)不同特征值的特征向量線性無關(guān)

(2)k重特征值最多k個(gè)線性無關(guān)的特征向量1Wn-r(邛-A)W?(3)設(shè)A的特征值為人1，入2，…，”，則|A|=n%,W入iCaii(4)當(dāng)r(A)=1,即A=aB＞其中a,B均為n維非零列向量，則A的特征入廣…二入n=0值為入1=waii=aTB=BTa,(5)設(shè)a是矩陣入廣…二入n=0Af(A)ATA-1A*P-1AP(相似)「f(入)r/入-1網(wǎng)入-1入(l a/aaP-1a(二)相似矩陣7、相似矩陣的定義：設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-iAP,稱A與B相似，記作A~B8、相似矩陣的性質(zhì)(1)若A與B相似，則f(A)與f(B)相似(2)若A與B相似，B與C相似，則A與C相似(3)相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、跡(即主對(duì)角線元素之和)【推廣】(4)若A與B相似，則AB與BA相似，At與Bt相似，A-i與B-i相似，A*與B*也相似(三)矩陣的相似對(duì)角化9、相似對(duì)角化定義：如果A與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣P,使得P-1AP=A=

稱A可相似對(duì)角化。注：八。『入尸］（。］/0,由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值看的特征向量10、相似對(duì)角化的充要條件（1）A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量（2）A的k重特征值有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量11、相似對(duì)角化的充分條件：（1）A有n個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)）（2）A為實(shí)對(duì)稱矩陣12、重要結(jié)論：（1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特征值的個(gè)數(shù)，n-r（A）為零特征值的個(gè)數(shù)（2）若A不可相似對(duì)角化，r（A）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)（四）實(shí)對(duì)稱矩陣13、性質(zhì)（1）特征值全為實(shí)數(shù)（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=A（4）A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ=A6二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1、二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）2、標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f（x1,x2，…，xn）=d1x12+d2x22+???+dnxn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：

通過可逆線性變換x=Cy(C可逆)，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過先配方再換元得到?！?2)正交變換法：通過正交變換x=Qy,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形入1y12+入2y22+-?+入nyn2其中，入1,入2,…，入n是A的n個(gè)特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，Yi與％對(duì)應(yīng)即可。(二)慣性定理及規(guī)范形4、定義：正