隨機(jī)變量的期望與方差(二)課件

§261隨機(jī)變量的期望與方差(二)一、期望與方差的求法：二、實(shí)際應(yīng)用：1.定義法2.性質(zhì)公式法3.圖象估算法4.作用估算法1.期望：將隨機(jī)事件“虛擬”成一確定事件體現(xiàn)了總體的平均水平(聚中性)2.方差：體現(xiàn)了總體的穩(wěn)定性(波動(dòng)性)方差越大穩(wěn)定性越差隨機(jī)事件分布列期望方差確定化④細(xì)化數(shù)化分布列①六大分布公式化③一選二算三列表②隨機(jī)變量及其分布列概述

求分布列的總思路繁(大)事件簡(jiǎn)(小)事件分類：互斥事件加法公式分步：獨(dú)立事件乘法公式六大分布套公式陌生事件三步法③④①A+B=A∪B②AB=A∩B⑤=AB+ABA·BA·B=A+BA+B=A·B·CA+B+CA·B·C=A+B+CA、B中至少有一個(gè)發(fā)生A、B要同時(shí)發(fā)生A、B中恰好有一個(gè)發(fā)生A、B都不發(fā)生A、B不都發(fā)生A、B、C都不發(fā)生A、B、C不都發(fā)生常見事件的字母表示

求分布列的三大步驟：一選二算三列表一選：根據(jù)題意靈活的選取隨機(jī)變量所有可能的取值二算：根據(jù)題意靈活的計(jì)算各隨機(jī)變量相應(yīng)的概率化繁為簡(jiǎn)以小代大定義法復(fù)雜事件的概率簡(jiǎn)單事件的概率模擬試驗(yàn)法性質(zhì)公式法古典概型幾何概型統(tǒng)計(jì)定義計(jì)算概率常用的方法常用的概率公式法②乘法公式①加法公式③和積互補(bǔ)公式④對(duì)偶律注：若A，B互斥，則有注：若A，B獨(dú)立，則有注：若A，B對(duì)立，則有，反之則不然隨機(jī)變量千千萬六大分布最常見

均勻分布平等化兩點(diǎn)分布論成敗多次成敗伯努利二項(xiàng)連續(xù)是正態(tài)成分兩類超幾何幾何分布破天荒均勻分布

Xx1x2x3x4…

xn

p

…形如的分布列，稱為均勻分布注：均勻分布是平等化概型

隨機(jī)變量千千萬六大分布最常見

均勻分布平等化兩點(diǎn)分布論成敗多次成敗伯努利二項(xiàng)連續(xù)是正態(tài)成分兩類超幾何幾何分布破天荒兩點(diǎn)分布(0-1分布)

ξ

0

1

P1-p

p又稱0-1分布稱p為成功概率，稱隨機(jī)變量ξ服從兩點(diǎn)分布注：兩點(diǎn)分布是結(jié)果“一分為二(成敗,非黑即白)”概型形如的分布列稱為兩點(diǎn)分布列隨機(jī)變量千千萬六大分布最常見

均勻分布平等化兩點(diǎn)分布論成敗多次成敗伯努利二項(xiàng)連續(xù)是正態(tài)成分兩類超幾何幾何分布破天荒幾何分布如果事件A每次發(fā)生的概率均為p，則事件A在第k次首次發(fā)生的概率為P(ξ＝k)＝(1－p)

k-1p(k＝1,2,3，…)則稱ξ服從幾何分布，并記ξ～

G(p)注2：幾何分布是“破天荒”概型注1：幾何分布的模型是放回抽樣隨機(jī)變量千千萬六大分布最常見

均勻分布平等化兩點(diǎn)分布論成敗多次成敗伯努利二項(xiàng)連續(xù)是正態(tài)成分兩類超幾何

幾何分布破天荒超幾何分布則即稱該分布列稱為超幾何分布稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.并記X～

H(n,M,N)在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品數(shù)①超幾何分布是“結(jié)構(gòu)一分為二(成分兩大類)”概型②超幾何分布的模型是不放回抽樣注：元素屬性兩大類質(zhì)量抽檢是范例大N總數(shù)抽小n次品M含小k②①二項(xiàng)分布——獨(dú)立重復(fù)n次，恰好發(fā)生k次的概率一、定義：參課本P：57

二、常用的公式：①若，則②③注1：互不影響為獨(dú)立概率相等即重復(fù)重復(fù)n

次恰好k通項(xiàng)公式后項(xiàng)p注2：頻率代概率總數(shù)一大批抽取要放回二項(xiàng)分布也隨機(jī)變量千千萬六大分布最常見

均勻分布平等化兩點(diǎn)分布論成敗多次成敗伯努利二項(xiàng)連續(xù)是正態(tài)成分兩類超幾何幾何分布破天荒事件的獨(dú)立性1.定義：3.判定：2.性質(zhì)：若,則稱事件A與事B相互獨(dú)立A與B獨(dú)立不能同時(shí)為互斥互斥特例為對(duì)立互不影響為獨(dú)立一對(duì)獨(dú)立全獨(dú)立互斥獨(dú)立不相干概率相等即重復(fù)若事件A與B相互獨(dú)立，則事件也相互獨(dú)立條件概率1.定義：3.求法：2.性質(zhì)：②縮小樣本空間法②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，那么①①定義法在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為條件概率并記為P(B|A).讀作：A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率§261隨機(jī)變量的期望與方差(二)一、期望與方差的求法：二、實(shí)際應(yīng)用：1.定義法2.性質(zhì)公式法3.圖象估算法4.作用估算法1.期望：將隨機(jī)事件“虛擬”成一確定事件體現(xiàn)了總體的平均水平(聚中性)2.方差：體現(xiàn)了總體的穩(wěn)定性(波動(dòng)性)方差越大穩(wěn)定性越差⑥若,則期望與方差常用的公式及性質(zhì)①②③④⑤⑦若,則⑧若,則⑨若,則⑩若ξ,η相互獨(dú)立，則§261隨機(jī)變量的期望與方差(二)一、期望與方差的求法：二、實(shí)際應(yīng)用：1.定義法2.性質(zhì)公式法3.圖象估算法4.作用估算法1.期望：將隨機(jī)事件“虛擬”成一確定事件體現(xiàn)了總體的平均水平(聚中性)2.方差：體現(xiàn)了總體的穩(wěn)定性(波動(dòng)性)方差越大穩(wěn)定性越差期望與方差的概念ξx1x2x3…

xnpp1p2p3…pn若ξ的分布列為①則稱為ξ的數(shù)學(xué)期望或均值，簡(jiǎn)稱為期望.②則稱為ξ的方差，稱為ξ的標(biāo)準(zhǔn)差期望與方差的作用1.期望：將隨機(jī)事件“虛擬”成一確定事件體現(xiàn)了總體的平均水平(聚中性)2.方差：體現(xiàn)了總體的穩(wěn)定性(波動(dòng)性)方差越大穩(wěn)定性越差⑥若,則期望與方差常用的公式及性質(zhì)①②③④⑤⑦若,則⑧若,則⑨若,則⑩若ξ,η相互獨(dú)立，則求：①E(X)；②若Y=2X-3，求E(Y)(1)已知隨機(jī)變量X的分布列為:解①：∵∴②

(2)已知X的分布列為:解：∵∴若Y=aX+3，E(Y)=，則a=_____又∵引申②：若引申①：若你愿意選擇哪家單位？你愿意選擇哪家單位？(3)課本P：68例5(4)一射手對(duì)靶射擊，直到第一次中靶為止.他每次射擊中靶的概率是0.9，他共有3顆子彈，射擊結(jié)束后尚余子彈數(shù)目ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=______析:由題意得ξ=0，1，2；則P(ξ=2)=0.9P(ξ=0)=0.1×0.1=0.01；P(ξ=1)=0.1×0.9=0.09故E(ξ)=2×0.9+1×0.09=1.98(6)課本P：69B組Ex2析:設(shè)這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可獲利X萬元,則X=-1,0,2.5,5故即一周內(nèi)可獲利的均值是3.764015萬元(5)課本P：63例3析1:概率相等即重復(fù)析3:由題意得故(7)(2010年新課標(biāo))某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為A.100B.200C.300D.400等價(jià)于將1粒種子連續(xù)播種了1000次析2:設(shè)需補(bǔ)種的種子數(shù)為X設(shè)1000粒種子中不發(fā)芽的種子數(shù)為Y而.故常見的題型雙變量單變量多變量(8)某公司規(guī)定，如果員工在一個(gè)季度里有1個(gè)月完成生產(chǎn)任務(wù)，可得獎(jiǎng)金120元；如果里有2個(gè)月完成生產(chǎn)任務(wù)，可得獎(jiǎng)金300元；如果有3個(gè)月完成生產(chǎn)任務(wù)，可得獎(jiǎng)金560元；如果員工三個(gè)月都未完成任務(wù)，則沒有獎(jiǎng)金.假設(shè)某員工每月完成任務(wù)與否是等可能的，求該員工在一個(gè)季度里所獲獎(jiǎng)金的期望。解:設(shè)該員工一季度內(nèi)有ξ個(gè)月完成任務(wù),則又設(shè)該員工在一個(gè)季度里所獲的獎(jiǎng)金為η元,則故雙變量的變式(9)(2009年重慶)某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲,乙兩種大樹各2株.設(shè)甲,乙兩種大樹移栽的成活率分別為

和

且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中①兩種大樹各成活1株的概率②成活的株數(shù)ξ的分布列與期望析:設(shè)甲,乙兩種大樹移栽的成活數(shù)分別為η和μ由題意得①所求概率為(9)(2009年重慶)某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲,乙兩種大樹各2株.設(shè)甲,乙兩種大樹移栽的成活率分別為

和

且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中②成活的株數(shù)ξ的分布列與期望析:設(shè)甲,乙兩種大樹移栽的成活數(shù)分別為η和μ由題意得