超導(dǎo)電性課件

超導(dǎo)電性1.超導(dǎo)電性的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象2.超導(dǎo)轉(zhuǎn)變熱力學(xué)3.超導(dǎo)電現(xiàn)象的唯象理論4.超導(dǎo)電性的微觀理論5.隧道效應(yīng)和約瑟夫遜效應(yīng)6.高臨界溫度超導(dǎo)體本講主要闡明：SuperConductivity

超導(dǎo)電性

超導(dǎo)電性自1911年以來，由于它奇特的現(xiàn)象和誘人的應(yīng)用前景，一直是固體物理學(xué)最活躍的領(lǐng)域之一。經(jīng)過科學(xué)家們80多年的努力，無論是在超導(dǎo)材料的研制還是在超導(dǎo)機(jī)制的理論探索上，都取得了長足的進(jìn)展，但是至今人們對超導(dǎo)電性的認(rèn)識仍不完善，對超導(dǎo)電性的認(rèn)識過程遠(yuǎn)未完結(jié)。1.超導(dǎo)電性的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象1.1零電阻1911年，荷蘭物理學(xué)家K.奧涅斯（H.K.Onnes）在研究各種金屬在低溫下電阻率的變化時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)汞的溫度降低到4.2K左右時(shí)，汞的電阻陡然下降；低于這個(gè)溫度時(shí)，汞的電阻完全消失。從開始下降到完全消失是在0.05K的溫度間隔內(nèi)完成的，如圖1.1（a）所示。1.1（a）汞在低溫下的電阻這種在低溫下發(fā)生的零電阻現(xiàn)象，被稱為物質(zhì)的超導(dǎo)電性，具有超導(dǎo)電性的材料稱為超導(dǎo)體。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，這種現(xiàn)象是可逆的，即當(dāng)溫度回升到4.2K以上時(shí)，汞的電阻又恢復(fù)為正常值。即電阻僅是溫度的函數(shù)，與過程無關(guān)。奧涅斯認(rèn)為：在一定溫度下電阻消失，表明材料進(jìn)入了一種新的狀態(tài)，稱之為超導(dǎo)態(tài)。發(fā)生電阻消失的溫度，稱為超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度或臨界溫度。溫度高于臨界溫度時(shí)，材料處于人們所熟悉的正常態(tài)；而低于臨界溫度時(shí)，材料進(jìn)入一種新的完全不同的狀態(tài)，可把這種轉(zhuǎn)變看成是一種相變。臨界溫度TC是物質(zhì)常數(shù)，同一種材料在相同的條件下有確定的值

例如汞的，鉛的，與材料的雜質(zhì)無關(guān)。但雜質(zhì)的存在將使轉(zhuǎn)變溫度區(qū)域增寬，如圖1.1（b）所示。1.1（b）錫的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變

常用的觀察超導(dǎo)電現(xiàn)象的方法

在用超導(dǎo)材料制成的環(huán)形回路里激發(fā)一電流，并通過測量電流的磁場以確定電流的變化。正常情況下，電流將在10-12s內(nèi)衰減掉。但在超導(dǎo)態(tài)，電流可以長期持續(xù)下去而無衰減。最長的實(shí)踐持續(xù)了3年，尚未發(fā)現(xiàn)電流的任何衰減。由此可求得電阻率的上限小于10-26Ω·cm，所以實(shí)際上可看成是零電阻。很自然可把超導(dǎo)體看成是電導(dǎo)率無限大的理想導(dǎo)體，其內(nèi)部電場為零，是一個(gè)等勢體。1.2完全抗磁體——邁斯納效應(yīng)

邁斯納(Meissner)和奧斯費(fèi)爾德(Ochsenfeld)1933年在研究處于超導(dǎo)態(tài)樣品體內(nèi)的磁場時(shí)發(fā)現(xiàn)；無論是先降溫使樣品進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)再加外磁場，還是先加磁場再降溫，當(dāng)樣品處于超導(dǎo)態(tài)時(shí)，體內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B均為零，磁感應(yīng)線完全被排出體外。超導(dǎo)體總有或者

(1.1)也就是說超導(dǎo)體具有完全抗磁體，其磁化率這稱之為邁納斯效應(yīng)，如圖1.2所示。圖1.2邁斯納效應(yīng)

由邁納斯效應(yīng)，可對超導(dǎo)電現(xiàn)象得出兩個(gè)有意義的結(jié)論：（1）由于超導(dǎo)態(tài)的完全抗磁性與怎樣進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)的歷程無關(guān)，因而超導(dǎo)態(tài)是一熱力學(xué)平衡態(tài)。（2）超導(dǎo)態(tài)的完全抗磁性是獨(dú)立于零電阻特性的另一特性，不可能從零電阻特性派生出完全抗磁性。這是因?yàn)槿舭殉瑢?dǎo)態(tài)看成理想導(dǎo)體，其電導(dǎo)率，由歐姆定律，要保持電流密度j為有限制，必須有，根據(jù)麥克斯韋方程

(1.2)

可知，在超導(dǎo)體內(nèi)應(yīng)有

(1.3)

即不隨時(shí)間變化，取決于初始狀態(tài)，也就是說，“理想導(dǎo)體”在磁場中由正常態(tài)變成超導(dǎo)態(tài)后，體內(nèi)應(yīng)繼續(xù)保持磁場不變。但邁斯納效應(yīng)否定了這一推斷，因此超導(dǎo)態(tài)不是普通意義下的理想導(dǎo)體。完全抗磁體和零電阻是超導(dǎo)態(tài)兩個(gè)相互獨(dú)立的基本特征。

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，超導(dǎo)電現(xiàn)象除了臨界溫度參量外，還有兩個(gè)臨界參量:

1.臨界磁場

實(shí)驗(yàn)表明，磁場可以破壞超導(dǎo)電性。把處于超導(dǎo)態(tài)

的樣品置于磁場中，當(dāng)磁場大于某一臨界值時(shí)，樣品將恢復(fù)到正常態(tài)。稱這個(gè)保持超導(dǎo)態(tài)的最小磁場

為臨界磁場。

在磁場中要保持超導(dǎo)態(tài)，必須同時(shí)滿足及1.3臨界參量。實(shí)驗(yàn)表明與溫度有關(guān)，其函數(shù)關(guān)系可由如下經(jīng)驗(yàn)公式描述：（1.4）其中是時(shí)臨界磁場，顯然有。圖1.3給出了值隨溫度的變化曲線。（a）第一類超導(dǎo)體的HC-T曲線（b）第二類超導(dǎo)體的HC-T曲線圖1.3表9.1部分超導(dǎo)元素的元素元素Al99Pb803Cd30Ta830Ga51Sn306In276W1.2Ir16Zn5320120524按照臨界磁場的數(shù)目，可把超導(dǎo)體分為兩類：

①只有一個(gè)臨界磁場的，稱為第一類超導(dǎo)體。第一類超導(dǎo)體在超導(dǎo)態(tài)具有完全抗磁性和零電阻性。②有兩個(gè)臨界磁場的，稱為第二類超導(dǎo)體。對第二類超導(dǎo)體，當(dāng)時(shí)，處于超導(dǎo)態(tài)，當(dāng)時(shí)，處于正常態(tài)；當(dāng)時(shí)，處于一種混合狀態(tài)，在此態(tài)中具有零電阻特性，但不具備完全抗磁性，如圖1.3（b）所示。由于第二類超導(dǎo)體有較高的，故有更高的實(shí)用價(jià)值。

2.臨界電流

臨界磁場并不要求一定是外加磁場。超導(dǎo)電流本身產(chǎn)生的磁場也會(huì)破壞超導(dǎo)電態(tài)。當(dāng)超導(dǎo)電流足夠大，以致它所產(chǎn)生的磁場超過時(shí)，也要導(dǎo)致體系回到正常態(tài)。因此超導(dǎo)體中的允許電流也是有一個(gè)極限，稱之為臨界電流

，其溫度的關(guān)系是（1.5）

與材料的組成、形狀和大小有關(guān)。3.臨界溫度的同位素效應(yīng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：同一種超導(dǎo)元素的各種同位素的各不相同，與同位素相對原子質(zhì)量之間存在下述關(guān)系：（1.6）

稱為同位素效應(yīng)。圖1.4汞的同位素效應(yīng)當(dāng)時(shí)，，即無超導(dǎo)電性。原子的質(zhì)量趨于無窮大，晶格原子就不可能運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然也不會(huì)晶格振動(dòng)，且晶格振動(dòng)頻率有下述關(guān)系：同位素效應(yīng)告訴我們:

電子、聲子之間的相互作用也許是超導(dǎo)電性的根源。當(dāng)時(shí)，，即無超導(dǎo)電性。原子的質(zhì)量趨于無窮大，晶格原子就不可能運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然也不會(huì)晶格振動(dòng)，且晶格振動(dòng)頻率有下述關(guān)系：同位素效應(yīng)告訴我們:

電子、聲子之間的相互作用也許是超導(dǎo)電性的根源。1.4比熱容突變與能隙

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在沒有磁場的情況下，樣品在臨界溫度進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)時(shí)，沒有潛熱的吸收和放出，但樣品的比熱容發(fā)生突變。在處，超導(dǎo)態(tài)比熱容大于正常比熱容

圖1.5（a）1摩爾的超導(dǎo)態(tài)錫在不同溫度下的比熵（b）錫的電子比熱容隨溫度的變化

(a)(b)，如圖1.5（b）所示。金屬的比熱容包括晶格比熱容和電子比熱容兩部分。當(dāng)金屬有正常態(tài)進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)時(shí)，由射線衍射發(fā)現(xiàn)晶體結(jié)構(gòu)并無變化。所以，超導(dǎo)態(tài)的晶體比熱容仍與正常態(tài)一樣，超導(dǎo)態(tài)和正常態(tài)比熱容之差主要是來自電子比熱容的變化。由比熱容公式可知:在處，表明，在處超導(dǎo)態(tài)電子的熵比它處在正常態(tài)隨溫度降低而更迅速地下降。所以，超導(dǎo)態(tài)電子比正常態(tài)有序度更高(圖1.5(a))。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在超導(dǎo)態(tài)溫度區(qū)域，電子比熱容按指數(shù)形式隨溫度變化（此時(shí)晶格的比熱容）：指數(shù)行為意味著超導(dǎo)電子的能譜中存在能隙，此能隙位于費(fèi)米能級處（圖1.6）圖1.6超導(dǎo)態(tài)密度g(E)與E的關(guān)系曲線陰影線區(qū)域表示在T=0K時(shí)電子填充區(qū)域，△為位于費(fèi)米能級處的超導(dǎo)能隙它使電子不易被激發(fā)，導(dǎo)致非常小的比熱容。只要那些獲得能量的電子，才能進(jìn)入激發(fā)態(tài)而對比熱容有按波爾茲曼統(tǒng)計(jì)，這種電子的數(shù)目正是正比于能隙的寬度約為量級，這是因?yàn)闇囟壬仙砸粋€(gè)典型值計(jì)算，比正常電子的帶隙小得多。正因?yàn)槿绱?，金屬的超?dǎo)電性只能在極低溫度下出現(xiàn)。貢獻(xiàn)。時(shí)，電子進(jìn)入正常態(tài)。到1.5磁通量凍結(jié)及其量子化把環(huán)形超導(dǎo)樣品在的溫度下放入垂直于其平面的磁場中，如圖1.7所示。圖1.7超導(dǎo)環(huán)中的磁通線然后冷卻到以下，使之處于超導(dǎo)態(tài)。再后撤銷磁場。此時(shí)超導(dǎo)環(huán)所圍面積的磁通量依然不變，它由超導(dǎo)環(huán)表面的超導(dǎo)電流維持著。這種現(xiàn)象稱為磁通量凍結(jié)。凍結(jié)磁通量的取值是量子化的：n=0,1,2,…

(1.7)其中最小單位除了上述的幾種有關(guān)超導(dǎo)電態(tài)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象外，還有一些其它現(xiàn)象，例如超導(dǎo)態(tài)溫差電勢為零等，這里不一一例舉。這些現(xiàn)象是研究超導(dǎo)電性的出發(fā)點(diǎn)，是建立超導(dǎo)理論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。2超導(dǎo)轉(zhuǎn)變熱力學(xué)邁斯納效應(yīng)以及其他實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象都表明超導(dǎo)電性是一個(gè)熱力學(xué)平衡態(tài)。有正常態(tài)進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)或者相反過程都可以看成是一個(gè)相變過程。如圖1.3（a）所示，曲線把圖劃分成超導(dǎo)態(tài)和正常態(tài)兩個(gè)區(qū)域，曲線上兩相平衡共存，體系跨越線時(shí)將發(fā)生正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)的可逆相變。本節(jié)從相變角度，用熱力學(xué)的方法討論超導(dǎo)轉(zhuǎn)變。目的在于把超導(dǎo)的一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象聯(lián)系起來，為認(rèn)識超導(dǎo)轉(zhuǎn)變的本質(zhì)提供某些有啟發(fā)性的線索。2.1超導(dǎo)態(tài)的凝聚能密度像在通常情況下的固體熱力學(xué)一樣，可認(rèn)為超導(dǎo)轉(zhuǎn)變是在恒定壓力下是進(jìn)行的。因此，選擇吉布斯自由能作為熱力學(xué)特性函數(shù)。由于在超導(dǎo)轉(zhuǎn)變中，體積的變化其中強(qiáng)度，H為磁場強(qiáng)度，其微，可忽略不計(jì)，但必須考慮外磁場對超導(dǎo)體磁化所做的功，因此熱力學(xué)參變量可選為其吉布斯自由能密度為（2.1）是內(nèi)能密度，是熵密度，M為磁化為真空磁導(dǎo)率。其微分形式為（2.2）用gN(T,H)表示正常態(tài)的自由能密度，因超導(dǎo)材料都不是鐵磁體，在通常情況下M=0,所以正常態(tài)的自由能可認(rèn)為與磁場無關(guān)，即gN(T,H)=gN(T,0)=gN(T)

（2.3）對超導(dǎo)態(tài)，若用

(T,0)表示無磁場時(shí)的自由能密度，

由式（2.2），有所以，有磁場時(shí)超導(dǎo)態(tài)自由能密度gS(T,H)

可表示為（2.4）由邁斯納效應(yīng)，有M=-H，代入上式，得（2.5）在H=HC(T)

相變線上，兩相的自由能相等：（2.6）圖2.1

時(shí)超導(dǎo)態(tài)和正常態(tài)的自由能與外磁場的關(guān)系T<TC圖2.1給出了T<TC時(shí)，超導(dǎo)態(tài)和正常態(tài)的吉布斯自由能密度與外磁場的關(guān)系。比較式（2.3）、（2.5）和（2.6），可以看出在給定溫度T<TC情況下，存在著以下3種情況：(1)如果H<HC，則gN(T)>gS(T,H)，超導(dǎo)態(tài)自由能小于正常態(tài)自由能，體系處于超導(dǎo)態(tài)。(2)如果H>HC，則gN(T)<gS(T,H)，體系處于正常態(tài)。(3)如果H=HC，則gN(T)=gS(T,H)，體系處于兩相共存與轉(zhuǎn)變過程。定義在相同溫度下正常態(tài)與零磁場下超導(dǎo)態(tài)的吉布斯自由能之差（2.7）為超導(dǎo)態(tài)的凝聚能密度?？煽闯墒前殉瑢?dǎo)體等溫地從磁場為零處移到磁場為處，變?yōu)檎B(tài)過程中，外磁場對單位體積超導(dǎo)所做的功。當(dāng)時(shí)若取典型值，則這表明超導(dǎo)態(tài)的自由能比正常態(tài)的低，超導(dǎo)電子以某種方式更緊密地聚集在一起。超導(dǎo)態(tài)的密度很小以金屬鋁為例:在臨界場中每個(gè)電子的平均凝聚能為而電子之間的庫侖相互作用能為，由此看來，電子之間的庫侖作用能不可能成為金屬超導(dǎo)電性的根源。2.2熵變與比熱容根據(jù)熱力學(xué)，單位體積的熵可由求得。把式（8.2.3）、（8.2.5）代入上式，可求得正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)的熵密度之差（2.8）當(dāng)時(shí)，（式（1.4）），所以當(dāng)時(shí)，，所以也有當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故有在時(shí)，因而在時(shí)，因而；在這兩種情況下超導(dǎo)轉(zhuǎn)變是一個(gè)二級相變。由此可知，超導(dǎo)態(tài)的熵總不會(huì)大于正常態(tài)的熵，這表明超導(dǎo)態(tài)比正常態(tài)更加有序。單位樣品由超導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檎B(tài)所吸收的熱量——相變潛熱可表示為（2.9）由此可知:在范圍內(nèi)，，從超導(dǎo)態(tài)到正常態(tài)是吸熱的；從正常態(tài)到超導(dǎo)態(tài)是放熱的。這是一級相變。根據(jù)熱力學(xué)，體系的比熱容為把式（2.8）代入上式，可得正常態(tài)與超導(dǎo)態(tài)比熱容的差（2.10）把，代入上式，可得在臨界溫度下的比熱容差（2.11）時(shí)，所以在相變中，比熱容有一個(gè)突變。這與其前面所述的實(shí)驗(yàn)事實(shí)一致，說明把超導(dǎo)轉(zhuǎn)變看做熱力學(xué)平衡相變是合理的。3

超導(dǎo)電現(xiàn)象的唯象理論為了解釋超導(dǎo)電性的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，除了上述熱力學(xué)方法外，曾經(jīng)提出許多進(jìn)一步的假定和模型，稱之為超導(dǎo)電現(xiàn)象的唯象理論。其中最富有成果的是二流體模型、倫敦（London）方程、朗道—金茲勃格（Ladau-Ginzburg）方程等。簡要介紹如下。201205293.1二流體模型二流體模型是超導(dǎo)電現(xiàn)象最簡單的圖像，該模型假定：(1)在超導(dǎo)狀態(tài)下，超導(dǎo)體內(nèi)有兩種傳導(dǎo)電子，一種為正常電子，濃度為；另一種為超導(dǎo)電子，濃度為傳導(dǎo)電子的總濃度在超導(dǎo)體內(nèi)兩類電子共存，但互相獨(dú)立地運(yùn)動(dòng)。超導(dǎo)電子具有與正常電子不同的特殊性質(zhì)：它們不(2)受晶格散射，處于一種特殊的狀態(tài)，都被凍結(jié)在一最低能態(tài)上，因而有無限大的電導(dǎo)率和等于零的熵。超導(dǎo)電子有很大的相干長度，約為數(shù)量級，相干長度可以看做超導(dǎo)電子波函數(shù)的空間分布范圍。(3)超導(dǎo)電子數(shù)目與溫度有關(guān)，為了與實(shí)驗(yàn)擬合，假設(shè)超導(dǎo)電子濃度（3.1）時(shí)，，全部都是超導(dǎo)電子；隨著溫度的升高，超導(dǎo)電子減少；時(shí)，全部為正常電子。很容易利用而流體模型說明前面提到的能隙，把一個(gè)超導(dǎo)電子轉(zhuǎn)變?yōu)檎ｋ娮?，相?dāng)于把它從凍結(jié)能級激發(fā)到正常能級，需要吸收額外的能量（凝聚能），這個(gè)能量就是能隙。二流體模型對零電阻現(xiàn)象的解釋:時(shí)，超導(dǎo)體內(nèi)存在有超導(dǎo)電子，其電導(dǎo)率為無窮大，由于它們的短路作用，使整個(gè)超導(dǎo)體的電阻變?yōu)榱?。根?jù)超導(dǎo)電子的模型，若超導(dǎo)電子的有效電荷為有效質(zhì)量為，在電場其運(yùn)動(dòng)方程為作用下，由于無散射作用，（3.2）超導(dǎo)電子的電流密度為（3.3）得到顯示零電阻特性的方程（3.4）上式取旋度，代入麥克斯韋方程式（3.5）（3.6）中，并利用為矢勢，得至此，二流體模型并未能說明邁斯納效應(yīng)。3.2倫敦方程為了說明邁斯納效應(yīng)，倫敦認(rèn)為持續(xù)不衰的超導(dǎo)電流是一種宏觀量子效應(yīng)，就像原子中電子繞原子核運(yùn)動(dòng)的永恒電流一樣。由于超導(dǎo)電子都處在同一狀態(tài)，故可用相同的波函數(shù)描述。假定超導(dǎo)電子濃度（3.7）由此可把超導(dǎo)電子波函數(shù)寫成（3.8）為相因子。按照量子力學(xué)，超導(dǎo)電流密度（3.9）把（3.8）代入上式，并假定是均勻的，得（3.10）上式兩邊取旋度，并注意到，得（3.11）倫敦把上式和表示零電阻特性的式（3.4）一起作為決定超導(dǎo)態(tài)電磁性質(zhì)的基本方程。人們稱之為倫敦方程。把麥克斯韋方程（3.12）兩邊取旋度，得到（3.13）（3.14）考慮到矢量微分公式以及磁場的無散性并把式（3.11）代入式（3.13），得稱為超導(dǎo)體的穿透深度。對于大多數(shù)具有超導(dǎo)電性的金屬元素，約為。式（3.14）是超導(dǎo)態(tài)樣品體內(nèi)磁場分布所滿足的方程。以一維情況為例說明由此方程所能得到的重要結(jié)果。圖3.1磁場的穿透設(shè)一半無限超導(dǎo)體，位于的空間，并設(shè)磁場沿y方向，即，如圖3.1所示。

此時(shí)方程（3.14）變?yōu)椋?.15）其解為（3.16）是超導(dǎo)體表面處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。上式表明，超導(dǎo)體內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度以指數(shù)規(guī)律迅速衰減。當(dāng)時(shí)，；在時(shí)，超導(dǎo)體內(nèi)有較強(qiáng)的磁場。由此，可得到以下兩個(gè)重要的結(jié)果：(1)

磁場將投入超導(dǎo)體內(nèi)，投入體內(nèi)的深度為（3.17）為T=0K時(shí)的穿透深度。取適當(dāng)?shù)闹悼捎?jì)算的量級，所以磁場穿透深度很小。在超導(dǎo)體內(nèi)部

實(shí)際為0，呈完全抗磁性。

因此倫敦理論不僅解釋了邁斯納效應(yīng)，還預(yù)言了穿透深度，此預(yù)言后來被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，它是倫敦理論的一個(gè)巨大成就。(2)

在超導(dǎo)體表面有超導(dǎo)電流。把式（3.16）代入麥克斯韋方程得（3.18）表明在表面很薄一層內(nèi)產(chǎn)生沿方向的表面電流。這個(gè)表面電流的磁場抵消了外磁場，使超導(dǎo)體內(nèi)的。因而也稱之為抗磁電流或屏蔽電流。不能把處于超導(dǎo)態(tài)的超導(dǎo)體看做正常的理想導(dǎo)體。結(jié)論:3.3磁通量子化現(xiàn)象下面說明磁通量的量子化現(xiàn)象，以式（3.8）為討論的出發(fā)點(diǎn)。根據(jù)倫敦理論的結(jié)論，超導(dǎo)體內(nèi)的和都為零。由式（3.10）可得（3.19）上式兩邊沿超導(dǎo)環(huán)體內(nèi)圍繞磁場任一閉合曲線積分，（3.20）（3.21）是可觀測量，因此必須是單值的，即利用斯托克斯定理（3.22）由式（3.21）、（3.22）及（3.20），得（）（3.23）（3.24）把式（3.23）與實(shí)驗(yàn)公式（1.9）比較，只需認(rèn)為超導(dǎo)電子的有效電量，兩者就完全一致。重要啟示：

超導(dǎo)電子并不是普通電子，由于它的有電質(zhì)量為2e，因而可看成是由某方程結(jié)合在一起的電子對。這成為后面將要闡述的BCS理論的基礎(chǔ)。3.4朗道—金茲勃格理論

朗道—金茲勃格理論也是以二流體模型為基礎(chǔ)的，其超導(dǎo)電子濃度及超導(dǎo)電子波函數(shù)仍為式（3.7）和（3.8）所描述。但認(rèn)為電子波函數(shù)不是直接由薛定諤方程決定的，而是由熱力學(xué)平衡條件，即吉布斯自由能取極小值來確定所滿足的方程決定的。1.超導(dǎo)體的吉布斯自由能密度

在臨界溫度附近，外磁場中的超導(dǎo)體吉布斯自由能密度應(yīng)由三部分組成：無外磁場的自由能密度，磁場能量密度以及超導(dǎo)電子的動(dòng)能能密度

即（3.25）上式中的第三項(xiàng)可寫成，為超導(dǎo)電子的機(jī)械動(dòng)量。若磁場的矢勢為，則

，則變上式為算符形式所以（3.26）上式已用到超導(dǎo)體在無外磁場情況下的吉布斯自由能密度

可在臨界溫度附近用展開，即（3.27）式中是正常態(tài)的自由能密度，為展開系數(shù)，可從經(jīng)驗(yàn)考慮予以確定。很小，上式中高次項(xiàng)已經(jīng)略去。把式（3.26）和（3.27）代入式（3.25）中，得（3.28）2.朗道——金茲勃格方程由式（3.28）看出，是和的函數(shù)。由于

是否為0是正常態(tài)與超導(dǎo)態(tài)的判別標(biāo)準(zhǔn)，稱為超導(dǎo)態(tài)的序參量，朗道—金茲勃格理論認(rèn)為本身就是序參量，因此可認(rèn)為直接是的函數(shù)。在熱力學(xué)平衡態(tài)，應(yīng)取極小值，即須滿足（3.29）及

把式（3.28）代入上式，可得

（3.30）（3.31）以上兩式稱為朗道——金茲勃格方程。這兩個(gè)方程是相互耦合的非線性方程，要嚴(yán)格求解是相當(dāng)困難的。下面僅就一些簡單情形，說明從朗道——金茲勃格方程所能得到的重要結(jié)果。3.相干長度對磁場和的梯度很小的情形，可略去式（3.30）中的第一項(xiàng)，即由此得（3.32）（3.33）這說明在若磁場條件下，“有效波函數(shù)”所表示的不隨變化，稱之為是剛性的。式（3.31）簡化成為倫敦方程與麥克斯韋方程聯(lián)立求解，得到倫敦磁場穿透深度序參量隨空間的變化不可忽略，但無外磁場的情況，一維問題的式（3.30）可寫為（3.34）令并注意到可得關(guān)于的微分方程（3.35）令（3.36）（3.37）得上式描述了“有效波函數(shù)”隨空間變化的那一部分。顯然超導(dǎo)電子濃度有顯著變化的范圍約為，這個(gè)范圍就是相干長度，通常大于穿透濃度。

4.上臨界磁場第二類超導(dǎo)體在的情況下，對于位于的半無限大超導(dǎo)體，若在下述條件下：

，且令則式（3.34）可寫成（3.38）由數(shù)理方程得知，此方程僅當(dāng)滿足條件

（3.39）時(shí)才有解。否則當(dāng)時(shí)，

將發(fā)散。由式（3.39）可看出，當(dāng)時(shí)，超導(dǎo)體內(nèi)的磁場將超過臨界磁場。外磁場的最大允許值（n=0所對應(yīng)的值），就是上臨界磁場具有上臨界磁場的材料就是前面講過的第二類超導(dǎo)材料，這是朗道——金茲勃格超導(dǎo)理論的重要成果之一。4超導(dǎo)電性的微觀理論1超導(dǎo)理論的提出

前述的宏觀唯象理論雖可以解釋超導(dǎo)電性的一些現(xiàn)象，但有局限性，不能說明超導(dǎo)電性的本質(zhì)起因，1975年由巴丁（Bardeen）\庫柏(Cooper)和施里弗(Schriffer)提出的，稱BCS理論，從微觀本質(zhì)上說明超導(dǎo)電性，被人們所接受。

二流體模型認(rèn)為超導(dǎo)態(tài)中存在一種特殊載流子——超導(dǎo)電子。由磁通量量子化的倫敦理論可知，超導(dǎo)電子的有效電量是正常電子的2倍。

BCS理論以這個(gè)事實(shí)作為其實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，認(rèn)為材料處于超導(dǎo)態(tài)時(shí)，電子處在一種特殊的狀態(tài)：費(fèi)米面附近的電子形式電子配對，每個(gè)電子對的能量比兩個(gè)獨(dú)立電子的能量和小，并把這種電子對狀態(tài)稱為庫柏對，它是BCS理論的基礎(chǔ)。2BCS理論基礎(chǔ)3BCS理論的內(nèi)容電子是通過晶格振動(dòng)，或者說通過交換聲子克服庫侖排斥力，產(chǎn)生相互作用吸引，結(jié)合成超導(dǎo)電子對—庫柏對的．理解：設(shè)想處在費(fèi)米面附近的兩個(gè)電子1和2，在某一時(shí)刻相距很近，由于電子1對處于格點(diǎn)位置的正離子有吸引作用，使得它周圍的正電子向它靠攏，從而電子1周圍在某一瞬間呈現(xiàn)正電子性，從而對電子2產(chǎn)生吸引作用。這就表現(xiàn)為電子1通過晶格離子的偏移而間接地吸引電子2。由于晶格離子的偏移必然引起格波，所以也可以說電子1和2之間的相互吸引是通過交換聲子實(shí)現(xiàn)的。波矢為k1的電子與晶格作用發(fā)射矢波為q的聲子而躍遷到波矢k1，=k1-q態(tài)，波矢為k2的電子吸引這個(gè)聲子躍遷到k2，=k2+q，這個(gè)過程如圖4.1所示。若這個(gè)兩個(gè)電子的能量分別為E(k1)和E(k2)，根據(jù)量子力學(xué)躍遷理論的計(jì)算分析表明，當(dāng)滿足條件

（a）由聲子傳遞的電子-電子相互作用示意圖（b）形成總的波矢量為的電子對的示意圖

（圖4.1）

|E（k1）-E(K2)|<?ωq

（4.1）時(shí)，兩個(gè)電子通過交換聲子將產(chǎn)生凈吸引，這就是電子——聲子相互作用產(chǎn)生庫柏對的微觀機(jī)制。b.庫柏對所處的狀態(tài)由于泡利不相容原理，費(fèi)米面能級以下的深能態(tài)已被電子所填滿，它們難以通過吸收或發(fā)射聲子與其它能級相近的電子發(fā)生作用，只有費(fèi)米面附近約±?ωD范圍內(nèi)的電子才有可能產(chǎn)生間接相互吸引作用。如前所述，費(fèi)米面附近兩電子通過交換聲子躍遷，如圖4.2（a）所示，并形成庫柏對。在這個(gè)過程①滿足動(dòng)量守恒

k1+k2=k,1,+k,2=k

（4.2）②k1,k2,k,1和k,2還必須在kF外厚度為△k=mωD/(?kF)的球殼內(nèi)。這可用圖4.2(b）形象地表示出來。圖中兩個(gè)球的半徑均為kF

，兩球心距離為k1+k2=k。由圖可知，只有在兩個(gè)球殼相交的陰影區(qū)內(nèi)的兩個(gè)電子才能同時(shí)滿足式（4.1）和（4.2）所表示的條件。顯然，此體積越大，參與交換聲子的電子越多，產(chǎn)生凈吸引可能性越大。當(dāng)然體系的能量也就越低。當(dāng)k=0時(shí)，兩球殼重合，產(chǎn)生凈吸引可能性最大，體系的能量也最低。此時(shí)，形成庫柏對的兩個(gè)電子的波矢k1=-k2，即兩個(gè)電子的動(dòng)量之和為零。由泡利不相容原理知，這兩個(gè)電子自旋相反。因此，庫柏對內(nèi)最可能出現(xiàn)的電子狀態(tài)是：兩個(gè)電子波矢相反，自旋相反，可用(k1↑,-k2↓)表示。因此庫柏對是一個(gè)動(dòng)量為零，自旋為零的玻色子。(a)雙電子模型圖.4.2(b)總波長矢為K時(shí)電子對的吸引區(qū)4.BCS理論要點(diǎn)（1）超導(dǎo)電子就是那些庫柏電子對。在T=0，所有費(fèi)米面附近的電子都形成庫柏對：每個(gè)庫柏對可看成是遵守玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)的復(fù)合粒子；并且所有的庫柏對都處在具有相同能量的同一量子態(tài)中，可用同一波函數(shù)進(jìn)行描述。并稱這種狀態(tài)為超導(dǎo)基態(tài)。（2）超導(dǎo)能譜中存在能隙。在T≠0時(shí)，晶格的熱振動(dòng)可以把一些庫柏對拆開變成正常電子。溫度越高，庫柏對越少，正常電子越多。當(dāng)T=Tc時(shí)，所有的庫柏對都變成正常電子。破壞庫柏對需要一定的能量，這表明在超導(dǎo)能譜中存在能隙，它把超導(dǎo)基態(tài)與激發(fā)態(tài)分開。能隙與溫度有關(guān)。在T=0時(shí)，BCS理論求得能隙?(0)為

?(0)=2?ωDe-1/[g(EF)v]

（4.3）式中ωD是德拜頻率，g(EF)是正常金屬在費(fèi)米能級處的能態(tài)密度，V為電子之間的有效相互作用矩陣元，它是代表電子—聲子耦合強(qiáng)弱的系數(shù)。隨著溫度升高，能隙?(T)將減小，在T=Tc時(shí)，能隙消失。BCS理論得出，能隙與溫度之間的關(guān)系可表示為?(T)=1.74?(0)(1-T/Tc)1/2

（4.4）（3）臨界溫度及其上限。BCS理論導(dǎo)出臨界溫度可表示成

kBTc=1.13?ωDe-1/[g(EF)v]

（4.5）上式可說明同位素效應(yīng)。另外式（4.5）表明g(EF)v越大，Tc越高。這意味著電子.聲子耦合作用越強(qiáng)，越容易形成超導(dǎo)態(tài)。但V大也意味著在正常態(tài)下的金屬的電阻大，所以不良導(dǎo)體更容易出現(xiàn)超導(dǎo)態(tài)。由式（4.3）和（4.5）可得

2?(0)=3.53kBTc

（4.6）上式表明，Tc有一上限。在聲子機(jī)制框架內(nèi)，認(rèn)為是40K。（4）超導(dǎo)電流是靠庫柏對傳輸?shù)?。在超?dǎo)基態(tài)，所有庫柏對的動(dòng)量為零，沒有電流。當(dāng)超導(dǎo)體處于載流超導(dǎo)態(tài)時(shí)，每個(gè)庫柏對的總動(dòng)量不再為零，所有的庫柏對都獲得一附加動(dòng)量p=?k，表示成[(ki+k/2)↑,(-ki+k/2)↓]，即在載流態(tài)，超導(dǎo)體中的電子在k空間分布整體地移動(dòng)了k/2。在時(shí)0K<T<Tc，作為載流子的庫柏對也會(huì)不斷的受到晶格振動(dòng)的散射。但由于庫柏對集合在運(yùn)動(dòng)中的高度相關(guān)性，且各庫柏對的能量相等，散射作用只能使一個(gè)庫柏對[(ki+k/2)↑,(-ki+k/2)↓]變成另一個(gè)庫柏對[(kj+k/2)↑,(-kj+k/2)↓]

，整個(gè)集合并無變化，集合總動(dòng)量保持不變，所以電流沒有變化。這就是零電阻現(xiàn)象。若散射破壞了庫柏對，就會(huì)使電流減少，不過這種破壞庫柏對的散射過程所需能量至少為2?(T)

，因此常將超導(dǎo)態(tài)的能隙寫成Eg=2?(T)

。在電流密度很低時(shí)，電流本身無法給庫柏對提供這樣多的能量，但這也意味著存在臨界電流密度Ic，超過Ic就會(huì)出現(xiàn)電阻。5隧道效應(yīng)和約瑟夫遜效應(yīng)5.1單電子隧道效應(yīng)

當(dāng)金屬被一極薄的絕緣層隔開，構(gòu)成金屬——絕緣——金屬的結(jié)型結(jié)構(gòu)時(shí)，電子可以一定的幾率穿透絕緣層而進(jìn)入另一邊金屬的現(xiàn)象，成為隧道效應(yīng)。根據(jù)泡利不相容原理，電子能過穿越絕緣層進(jìn)入對面金屬的條件是：進(jìn)入金屬中有與離出金屬電子能級相同的空態(tài)（空穴）。

a.N-I-N結(jié)(a)當(dāng)不加外電壓時(shí)，兩金屬的費(fèi)米能級相等，結(jié)中無電流通過，即I=0。(b)當(dāng)加上外電壓時(shí)，兩層金屬費(fèi)米能級相差–ev，形成凈電流。(c)電流I與V成正比。

b.S-I-N結(jié)①S-I-N結(jié)的電子分布根據(jù)BCS理論，超導(dǎo)態(tài)單電子能態(tài)密度為由右圖可知，在超導(dǎo)態(tài)時(shí)在費(fèi)米能級附近2?能隙之內(nèi)不存在電子態(tài)。當(dāng)T=0時(shí)，在2?能隙之下全部填滿電子，在2?能隙之上全部為空態(tài)。當(dāng)T≠0時(shí)，出現(xiàn)電子的激發(fā)，即在2?能隙之上出現(xiàn)少量電子，與此對應(yīng)，在能隙之下出現(xiàn)少量空態(tài)。圖中陰影線代表有電子占據(jù)。圖5.3②S-I-N結(jié)的隧道電流（a）沒有外加偏壓（b）有外加偏壓（a）在零偏壓下，由于在超導(dǎo)態(tài)對應(yīng)能量無空的能態(tài)，因而結(jié)中無電流。（b）有外加偏壓時(shí)，外加電壓使正常態(tài)電子能量增加、超導(dǎo)態(tài)電子能量下降。只有當(dāng)V≥?/e時(shí)，才有與正常態(tài)電子能量相應(yīng)的超導(dǎo)態(tài)電子空態(tài)，才能產(chǎn)生隧道電流。③下圖為S-I-N結(jié)的I-V關(guān)系（c）單粒子隧道效應(yīng)的電流-電壓關(guān)系①VB≤?/e,無電流；②VB=?/e時(shí)，由于超導(dǎo)態(tài)的態(tài)密度很大，故電流I急劇上升；③當(dāng)V的數(shù)值超過?/e一段之后，由于|E|>>?時(shí)，gs(E)≈gN(E)，因此我們得到I-V曲線與N-I-N結(jié)的結(jié)果一致。這就是（c）中S-I-N結(jié)的所示的結(jié)果。

c.S-I-S結(jié)

①同金屬(a)v=0，兩側(cè)互相穿透的幾率相等，因而結(jié)中無凈電流.(b)ｖ≠０時(shí)，假設(shè)左側(cè)電位高于右側(cè)，則左側(cè)能級相對右側(cè)將下降ev

．在

范圍內(nèi)，處在激發(fā)態(tài)的少數(shù)正常電子就會(huì)從右向左穿透，形成很小的凈隧道電流，且電流隨電而增加。①在T=0K情況下，由于激發(fā)態(tài)無電子，在0<V<2?/e內(nèi)，I=0。②當(dāng)V≥2?/e時(shí)，無論是T=0K還是T>0K，都會(huì)產(chǎn)生較強(qiáng)的隧道電流。特別是在V≈2?/e時(shí)，右側(cè)超導(dǎo)態(tài)的電子密度很高，左側(cè)空態(tài)密度也很高，隧道電流將急劇增大。③當(dāng)V的數(shù)值增大到V>>2?/e時(shí)，由于|E|>>?時(shí)，gs(E)≈gN（E），故電流I隨V的變化與N-I-N結(jié)的情況相同，所以相同金屬構(gòu)成的S-I-S結(jié)隧道電流的I-V關(guān)系曲線，即右圖（c）（c）同金屬S-I-S結(jié)的I-V關(guān)系（c）電流-電壓關(guān)系思考：不同金屬S-I-S結(jié)

（a）沒有外加偏壓（b）有外加偏壓答案：下圖是I-V關(guān)系5.2約瑟夫遜效應(yīng)

當(dāng)S-I-S結(jié)的絕緣層小于1.5~2nm時(shí)，除了有前面所述的正常電子的隧道電流外，還存在有一種與庫柏對相聯(lián)系的隧道電流，這種庫柏對穿越勢壘后，仍保持其配對的形式。這種不同于單電子隧道效應(yīng)的新現(xiàn)象，稱為約瑟夫遜效應(yīng)。（5.2）

如果絕緣層太厚，則兩側(cè)波函數(shù)相互獨(dú)立，在各自區(qū)域分別滿足

（5.3）

絕緣層厚度足夠小時(shí)，由于超導(dǎo)電子對的長程相關(guān)性，兩側(cè)波就數(shù)就不再相互獨(dú)立了。此時(shí)ψ1、ψ2

滿足的薛定諤方程應(yīng)為（5.4）1.約瑟夫遜方程設(shè)絕緣層兩側(cè)的庫柏對的波函數(shù)分別為

,由式（5.5）的前二式看出，?ns1/?t=-?ns2/?t，其物理意義是一側(cè)失去庫柏對的速率正好等于另一側(cè)庫柏增加的速率,于

(5-5)把式（5.2）代入式（5.4），并將實(shí)部和虛部分開，得(5-6)是約瑟夫遜電流密度由式（8.5-5）的后兩式，可得式中V為約瑟夫式遜結(jié)兩側(cè)的電位差。方程（5.6）和（5.7）（5.7）是約瑟夫遜效應(yīng)的基本方程。圖5.7直流約瑟夫效應(yīng)的電流-電壓關(guān)系假定結(jié)是由理想電流源供電，只要電流不超過臨界電流j0s，結(jié)兩端就沒有電壓降（曲線a）。當(dāng)電流大于j0s時(shí)，結(jié)兩端就出現(xiàn)直流電壓V=2?/e，此時(shí)電子所獲得的能量足以拆散庫柏對，將形成正常電子隧道電流（曲線c）。此后若降低電壓，電流將按正常電子隧道效應(yīng)的曲線b下降。當(dāng)結(jié)兩側(cè)的電壓V=0時(shí)，由式（5.7）可知(ψ2-ψ1)是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。這表明在流過結(jié)的超導(dǎo)電流小于j0s時(shí)，在絕緣層上無電壓降，絕緣層好像也具有超導(dǎo)性，整個(gè)結(jié)好像一個(gè)完整的超導(dǎo)體。這個(gè)現(xiàn)象稱為直流約瑟夫遜效應(yīng)。2.直流約瑟夫遜效應(yīng)驗(yàn)證:如果把直流電壓加到結(jié)上，由式（5.7）有

3.交流約瑟夫遜效應(yīng)把式（5.9）代入式（5.6），得到通過結(jié)的電流密度

上式表明，把直流偏壓V加到結(jié)兩側(cè)時(shí)得到的是頻率為ω=2eV/?為的交流電，這個(gè)現(xiàn)象叫交流約瑟夫遜效應(yīng)。（5.8）

（5.9）（5.10）其解為5.3超導(dǎo)量子干涉效應(yīng)把兩個(gè)相同的約瑟夫遜結(jié)a,b用超導(dǎo)通路并聯(lián)起來，形成如下圖所示的環(huán)狀結(jié)構(gòu)。圖實(shí)現(xiàn)量子干涉效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)裝置1.實(shí)驗(yàn)20120605若用ψa

，ψb分別表示結(jié)a和結(jié)b

兩側(cè)的相位差:ψa=ψa2-ψa1；ψb=ψb2-ψb1。當(dāng)外磁場為零時(shí)，ψa=ψb=ψ，并聯(lián)通路中的電流為兩結(jié)電流的并聯(lián):若用外磁場不為零時(shí)，由于穿過超導(dǎo)環(huán)所圍面積的磁通量為由式（3.22）和（3.23）可知，磁場的存在會(huì)沿環(huán)路方向產(chǎn)生一位相差（5.15）

設(shè)

其中Φ0=?/(2e)為磁通量子。此時(shí)，ψa與ψb將不再相等,它們的差值就是磁場產(chǎn)生的ΨH。考慮到位相差可相差2π

（5.16）