2012-2022十一年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編導(dǎo)數(shù)小題（教師版）

2012-2022十一年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)精編導(dǎo)數(shù)小題（精解精析）

一、選擇題

1.（2022年新高考I卷15題）若曲線y=（x+“）e,有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則”的取值范圍是—.

【答案】-4）U（0,+00）

【解析】y'=e*+（x+a）e*,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x（）,（Xo+a）e*。），.,.切線的斜率A=+（%+〃）*，

切線方程為y-（%+a）eM=（e*+（玉）+a）ex'1）（x-通），

2

乂?.?切線過(guò)原點(diǎn)，，-（為+a）e'°=（e"+（x（）+a）e%）（-x（））,整理得：x0+ox;；-?=0.

?.?切線存在兩條，.?.方程有兩個(gè)不等實(shí)根，.?.△=6+4a>0,解得或。>0,

即a的取值范圍是（YO,T）U（0,”），故答案為：（YO,-4）U（0,位）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題.

2.（2022年新高考H卷14題）曲線y=/〃|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

【答案】%-ey=0,x+ey=0

【解析】當(dāng)%>0時(shí)，y=lnx,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（飛,/%,），???y=4，.?.切線的斜率％=,，.?.切線方程為

1不

y='（工一人0），又「切線過(guò)原點(diǎn)，%）=一1，「?演）=?，「?切線方程為丫一1='（工一6）,即x-ey=0,

/e

當(dāng)xv0時(shí)，y=/〃（-x）,與y=/nr的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，，切線方程也關(guān)于y軸對(duì)稱，，切線方程為x+ey=。，

綜上所述，曲線y=/〃|x|經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為x-ey=0,x+ey=0,

故答案為：x-ey=0fx+ey=0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題.

3.（2022年新課標(biāo)乙卷16題理科）已知x=x和*分別是函數(shù)/。）=2相-42（〃>0且。工1）的極小值

點(diǎn)和極大值點(diǎn).若辦<工2，則〃的取值范圍是.

【答案】（0」）

e

【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)r（x）=2（〃7〃4-ex）,分析可知：r（x）在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

對(duì)其再求導(dǎo)可得：f'Xx）=2a\lna）2-2e,

當(dāng)a>l時(shí)，易期產(chǎn)（x）在尺上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在《使得"（%）=0,則/'（X）在（—,％）單調(diào)遞減，（%,”）

單調(diào)遞增，此時(shí)若函數(shù)/。）在工=%和*分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足不滿足題意；

當(dāng)0<avl時(shí),易知<"（x）在&上單調(diào)遞減,此時(shí)若存在/使得"（%）=0,

則/'（X）在（YO,%）單調(diào)遞增，（々,+<?）單調(diào)遞減，且不=log0（J?,

此時(shí)若函數(shù)f（x）在X=X］和x=x?分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且％<%2，故僅需滿足/（玉））>0,

即：-^―>elog°―=>abw<—=>lna,na>In-----7=>——Ina>1-In(lna)2,解得：0<a<一,

Ina(Ina)(Ina)(Ina)Inae

綜上所述：”的取值范圍是(0,3?

e

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

4.(2022年新課標(biāo)甲卷6題理科)當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)f(x)=a/nx+2取得最大值-2,則.廣⑵=()

X

A.-1B.--C.-D.1

22

【答案】B

【解析】由題意/⑴=6=-2,則/(x)=Hnr—2,則廣(?=0+2=竺￥，

XXX"X

???當(dāng)X=1時(shí)函數(shù)取得最值，可得X=1也是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，

:.f\l)=a+2=0,即a=—2.f\x)=~2x^2,易得函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

X

故x=l處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，則/(2)=0尹=-；.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)最值與極值的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

5.(2021年高考全國(guó)乙卷理科)設(shè)a00,若x為函數(shù)/(力=。(X一。)2(%-。)的極大值點(diǎn)，貝4()

\a<bB.a>bC.ab<a2D.ah>a2

【答案】D

解析：若a=b,則/(x)=a(x—a7為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故加b.

???/(X)有x=a和％=?兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在x=a左右附近是不變號(hào)，在％左右附近是變號(hào)的.依

題意，x=a為函數(shù)〃x)=a(x—〃宜》—力)的極大值點(diǎn)，，在左右附近都是小于零的.

當(dāng)a<0時(shí)，由%>/?,〃x)?0,畫(huà)出了(%)的圖象如下圖所示:

由圖可知。<a,a<0,故ah〉/.

當(dāng)a>0時(shí)，由時(shí)，/(x)>0,畫(huà)出/(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知b>a,a>0,故ab>a2.

綜上所述，出>>。2成立.故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.

6.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科)函數(shù)=2d的圖像在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為()

A.y=-2x-1B.y=-2x+lc.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【解析】?."(x)=%4-2d,.?/(力=4%3―6%2,.?"⑴=一1,/⑴=一2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2(x-l),即y=-2尤+1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

7.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科）若直線/與曲線產(chǎn)五和/+）［=；都相切，則/的方程為（）

A.y=2x+\B.y=2x+C.y=^x+\D.yx+

【答案】D

解析：設(shè)直線/在曲線曠=正上的切點(diǎn)為（工，后），則%>0，

L,1,

函數(shù)y=4的導(dǎo)數(shù)為y=焉，則直線/的斜率攵=

設(shè)直線/的方程為y一直=￡K（x—x°）,即x-2Ay+Xo=0,

由于直線/與圓x2+y2=一相切，則。

5Jl+4x°\I5

91

兩邊平方并整理得5片—4/一1=0,解得毛=1，%0=--（舍），

則宜線/的方程為x—2y+l=0,即丁=_1%+_1.故選：D.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)m卷理科）已知曲線y=ae'+xlnx在點(diǎn)（l,ae）處的切線方程為y=2x+b,貝ij

（）

A.a=e,b=-\B.a=e,b=\C.a-e~',b=lD.a-e~',b=-\

【答案】D

【解析】由y=a/+lnx+l,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義易得yL=ae+1=2,解得a=eT，從而得到

切點(diǎn)坐標(biāo)為（U）,將其代入切線方程y=2x+b,得2+0=1，解得人=_1，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】準(zhǔn)確求導(dǎo)是進(jìn)?步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.求

導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類(lèi)問(wèn)題的基本要求.另外對(duì)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義要注意給定的點(diǎn)是否為切

點(diǎn)，若為切點(diǎn)，牢記三條：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上。

9.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））設(shè)函數(shù)/（x）=d+（a—I）/+以若/⑴為奇函數(shù)，則曲線y=/Q）

在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為（）

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【答案】D

解析：函數(shù)/(x)=d+(a-l)x2+辦，若/(x)為奇函數(shù)，可得。=1,所以函數(shù)/(x)=d+x,可

得f(x)=3f+l,曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率為：1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的

切線方程為：y=x，故選D.

10.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科)若％=-2是函數(shù)/a)=，+辦—1)/」的極值點(diǎn)，則/(x)的極小值

為()

A.-1B.-2e'C.5e3D.1

【答案】A

【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的極值概念及其極大值與極小值判定條件，意在考查考生的運(yùn)

算求解能力.

【解析】解法一：常規(guī)解法

V/(x)=(x2+ox-l)ex-1導(dǎo)函數(shù)/'(*)=[院+(a+2)x+a-l]e*T

?//(-2)=0a=-\

.?.導(dǎo)函數(shù)/'(0=(丁+彳-2/1

令/'(x)=0,x,=-2,x,=1

當(dāng)x變化時(shí)，/(x),/'(X)隨變化情況如下表:

X(-00,-2-2(-24)1(1,+00

r(x)0-0+

“X)極大極小隹

從上表可知：極小值為/(1)=7.

【知識(shí)拓展】導(dǎo)數(shù)是高考重點(diǎn)考查的對(duì)象，極值點(diǎn)的問(wèn)題是非常重要考點(diǎn)之一，大題、小題都

會(huì)考查，屬于壓軸題，但難度在逐年降低.

【考點(diǎn)】函數(shù)的極值；函數(shù)的單調(diào)性

【名師點(diǎn)睛】(1)可導(dǎo)函數(shù)y=/U)在點(diǎn)xo處取得極值的充要條件是了(沖)=0,且在xo左側(cè)與右側(cè)〃尤)的

符號(hào)不同。

(2)若八x)在3,切內(nèi)有極值，那么/U)在(“，勿內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒(méi)有

極值。

II.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，

則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-8,-l)U(0,l)B.(-1,0)U(1,-HX))

c.y,-i)U(T,o)D.(O,1)U(1,+<?)

【答案】A

解析：記函數(shù)g(x)=以?，則g'(x)=.㈤W，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，V'W-fM<0,故當(dāng)x>0

XX"

時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(xeR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶

函數(shù),所以g(x)在(一*0)單調(diào)遞減，且g(-l)=g⑴=0.當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)>0,則，(尤)>0；

當(dāng)無(wú)<-1時(shí)，g(x)<0,則/(x)>0,綜上所述，使得/(x)>0成立的x的取值范圍是(-8,-1)U(0,l)，

故選A.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì).

12.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)函數(shù)/(x)=/(2x—l)-av+a,其中。<1,若存在唯一的整數(shù)小,使

得f(x0)V0,則。的取值范圍是()

r3,、r33、r33、3

A.,1)B.)C[—,—).D.f—r,1)

2e2e42e42e

【答案】D

解析：設(shè)g(x)=e、(2x-l),y=ax-a,由題知存在唯一的整數(shù)小,使得g(%)在直線y=ar—a的

下方.

因?yàn)間'(x)=e'(2x+l),所以當(dāng)x<—；時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>-g時(shí)，g'(x)>0,所以當(dāng)x=-g時(shí)，

[g(x)Lx=-2e2,

當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=-l,g(l)=3e>0,直線y=a恒過(guò)(1,0)斜率且a,故一a>g(0)=—1,且

3

g(-1)=-3e12—ci—a,解得Wav1,故選D.

小

考點(diǎn)：本題主要通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問(wèn)題

13.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科）設(shè)曲線y=ax-ln（x+l）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為y=2x,則a=

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

解析：因?yàn)閥'=a----,所以切線的斜率為。-1=2,解得。=3,選D

x+1

考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算；（2）導(dǎo)數(shù)的兒何意義。

難度：B

備注：?？碱}

14.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科）已知函數(shù)/（x）=a?—3/+1,若/（x）存在唯一的零點(diǎn)七,且為>0,則。的

取值范圍為()

A.(2,+oo)B.(-oo,-2)C.(1,+8)D.(-oo,-l)

【答案】B

2

解析1：由已知a。0J'(x)=3ax2-6x，令解(尤)=0.得％=0或%=一，

a

當(dāng)〃〉0時(shí),工￡(一8,0)"'(1)>0;xe(0,21,/'(x)<0;x￡(2,+8]"'(x)>0；

且/（o）=i>o,/u）有小于零的零點(diǎn),不符合題意.

當(dāng)〃<（）時(shí),X￡[-8,—<0；XG[2,o],r（幻>0;Xe（0,+8）"'（x）<0

2

要使/（X）有唯一的零點(diǎn)Xo且Xo>0,只需/（一）>0,即儲(chǔ)>4"v-2.選B

a

解析2：由已知a工0J（幻二加-3X2+1有唯一的正零點(diǎn),等價(jià)于?=3.------

XX'

有唯一的正零根，令t=L,則問(wèn)題又等價(jià)于a=-e+3t有唯一的正零根，即y=a與y=-r+3/有唯

X

的交點(diǎn)且交點(diǎn)在在y軸右側(cè)記f(t)=-t3+3t,/⑴=—3產(chǎn)+3,由/'。)=0,/=±1,

r—i),r(a<(vu),尸⑺>0；,

fe(1,,f'(t)<0,要使a=一尸+3f有唯一的正零根，只需a</(-I)=-2，選B

考點(diǎn):(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、方程的根

(3)分類(lèi)討論思想

難度:C

備注:一題多解

15.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知函數(shù)/(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.叫eR,/(x0)=0

B.函數(shù)y=/(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

C.若4是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-co,/)上單調(diào)遞減

D.若X。是/(x)的極值點(diǎn)，則八%)=0

【答案】C

解析：由三次函數(shù)的圖象可知，若X。是/(X)的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在X。的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間

(-00,%)單調(diào)遞減是錯(cuò)誤的，選C.

考點(diǎn)：(1)3.2.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值；(2)3.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

難度：B

備注：高頻考點(diǎn)

16.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知函數(shù)/(x)=「r+2x'x"0,若"。)|“工，則。的取值范圍是

ln(x+l),x>0

()

A.(-oo,0]B.(-oo,l]C.[-2,1]D.[-2,0]

【答案】D

2

.N,.,[JC-2x,x<0,?，口[xWO[x>0

解析：，，由I/O)巨nx得，\且<,

[ln(x+l),x〉O[x2-2x>ax[lnU+l)>ax

x<0

由《2可得aNx-2,則。2-2,排除A,B,

x-2x>ax

當(dāng)a=l時(shí)，易證ln(x+l)〈龍對(duì)x>0恒成立，故a=l不適合，排除C,故選D.

考點(diǎn)：(1)3.3.1利用導(dǎo)數(shù)研究“恒能恰”成立及參數(shù)求解問(wèn)題；(2)7.2.2一元二次不等式恒能恰

成立問(wèn)題.

難度：C

備注：高頻考點(diǎn)、易錯(cuò)題

二、填空題

2x-l

17.(2021年高考全國(guó)甲卷理科)曲線y=----在點(diǎn)(T-3)處的切線方程為

x+2

【答案】5x-y+2=0

解析：由題，當(dāng)了=—1時(shí)，n=一3,故點(diǎn)在曲線上.

2(x+2)-(2x-l)5

求導(dǎo)得:所以y'L=T=5.

(x+2『(X+2)2

故切線方程為5x-y+2=0.

故答案為：5x—y+2=0.

18.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科)曲線y=3(/+%)/在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

【答案】y=3x

解析：/(x)=3(尤2+X)",f'(x)=3(2x+l)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)ex,/'(0)=3,

所以曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3尤.

19.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)m卷(理))曲線y=(必+l)e■v在點(diǎn)(0,l)處的切線的斜率為-2,則a=

【答案】-3

解析:記〃％)=(ox+l)e",則/'(x)=e*(<zx+l+a)

f/(o)=i

依題意有|:(。)=-2解得a=—3.

20.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷(理)泄線y=21n(x+l)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

【答案】2x-y=0

7

解析：因?yàn)閥，==,所以4=2,切線方程為y=2x,即2x—y=0.

x+1

21.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I(理))已知函數(shù)/(x)=2sinx+sin2x,則/(x)的最小值是.

【答案】-半

解法一：先求/(x)的最大值，設(shè)sinx>0,cosx>0

/(x)=2sinx+2sinxcosx<

'?2asinx+2bsinx^-cosx<—(a2+sin2尤)+(b2sin2x+4rcos2x

abayMb2

即/(x)=2sinx+2sinxcosx<^■+6sin2x+\/3cos2x~，(x=

故根據(jù)/(-x)=-/(x)奇函數(shù)知，/(x)min=一￥

解法二：導(dǎo)數(shù)法+周期函數(shù)

f\x)=2cosx+2coslx-2(2cosx-1)(cosx+1)

當(dāng)xe(0,?1,/"(%)>0；xw[?,,)，r(x)<0；xe]|,2%)，r(x)>0

〃\_一5兀、_3百

-

一/(X)min=f(石)=-二

解法三：均值不等式法

/(x)=sinx+sin2x=2sinx(l+cosx)=4sin-^cos-^x2cos2

/2(x)=64sin2cos6=64/(17)'“=sin2G[0,1]^

f2(x)=64t(l-t)3=y3t.(l-f)3<.(3t+lT：—r+l-]=2^

i77

當(dāng)且僅當(dāng)，=1時(shí)，/2(X)M=W

此時(shí)sin2>；,s嗚=—；,/(x)min=

22.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科)如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5c加,該紙片上的等邊三角形ABC

的中心為旦尸為圓。上的點(diǎn),ADBC,AEC4,KAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角

形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC,CA,A