最優(yōu)化導(dǎo)論課件

2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis1教學(xué)目的、內(nèi)容和形式目的:掌握數(shù)學(xué)建模及最優(yōu)化的基本理論；掌握幾類(lèi)最優(yōu)化問(wèn)題的算法；通過(guò)學(xué)習(xí)常用的一些建模的方法,培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.教材《數(shù)學(xué)建模與最優(yōu)化》，董文永,機(jī)械工業(yè)出版社，2009.參考書(shū):見(jiàn)后面的參考書(shū)目錄.學(xué)習(xí)形式:自學(xué)、講授相結(jié)合.成績(jī)構(gòu)成:平時(shí)(30%-40%)+期末(60%-70%).2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis2參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)趙靜但琦高等教育出版社

系統(tǒng)仿真導(dǎo)論，肖田元張燕云陳加棟，清華大學(xué)出版社計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)基礎(chǔ)，劉瑞葉任洪林李志民，電子工業(yè)出版社《自動(dòng)控制原理》除第4、8、10三章，龐國(guó)仲，中國(guó)科大出版社；計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)(吳旭光)，吳旭光，化學(xué)工業(yè)出版社系統(tǒng)仿真技術(shù)，彭曉源，北京航空航天大學(xué)出版社數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論陳理榮北京郵電大學(xué)出版社數(shù)學(xué)建模方法齊歡華中理工大學(xué)出版社數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)姜啟源高等教育出版社數(shù)學(xué)建模袁震東，洪淵，林武忠等華東師范大學(xué)出版社數(shù)學(xué)模型引論唐煥文大連理工大學(xué)出版社運(yùn)籌學(xué)錢(qián)頌迪等清華大學(xué)出版社現(xiàn)代優(yōu)化計(jì)算方法刑文訓(xùn)清華大學(xué)出版社最優(yōu)化原理與方法，薛嘉慶，冶金工業(yè)出版社，1986。最優(yōu)化計(jì)算方法，席少霖，趙鳳治，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983。非線(xiàn)性方程組解法與最優(yōu)化方法，王德人，高等教育出版社，1985。非線(xiàn)性規(guī)劃，胡毓達(dá)，高等教育出版社，19902023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis3MaincontentsPart1Optimization:TheoryandPracticeIntroduction:Concept,BackgroundandProgressLinearProgrammingNonlinearProgrammingSimulationOptimizationDynamicprogrammingandOptimizationControlNetworkOptimizationPart2TheTechnologyofMathematicModelingFuzzyModelingandDataAnalysisSystemIdentificationHierarchicalAnalysisAggregationAnalysisDifferentialModeling:TheoryandPracticePart3Meta-HeuristicOptimizationMethodsAntAlgorithmsITOAlgorithms2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis4數(shù)學(xué)家名人錄2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysisChapter1Introduction:Concept,History,ProgressandClassofMathematicModelingandOptimization2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis6ContentsofCH1引言:數(shù)學(xué)建模與最優(yōu)化的背景數(shù)學(xué)建模的進(jìn)展最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展數(shù)學(xué)建摸的基本概念與分類(lèi)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模舉例數(shù)學(xué)建模的過(guò)程最優(yōu)化的基本概念與分類(lèi)最優(yōu)化的基本概念最優(yōu)化技術(shù)分類(lèi)最優(yōu)化建模與求解示例數(shù)學(xué)建摸與最優(yōu)化的關(guān)系2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis71引言:數(shù)學(xué)建模與最優(yōu)化的背景1.1數(shù)學(xué)建模的歷史與意義1.2最優(yōu)化的歷史與意義2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis81.1數(shù)學(xué)建模的歷史與意義數(shù)學(xué)建模的歷史和數(shù)學(xué)的歷史基本上是一樣的；古埃及幾何學(xué)產(chǎn)生于尼羅河泛濫后土地的重新丈量；古印度幾何學(xué)的起源則與宗教密切相關(guān)中國(guó)的《周批算經(jīng)》是討論天文學(xué)測(cè)量的巨著；大約公元前５世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂(lè)稱(chēng)為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。17世紀(jì)出現(xiàn)了笛卡爾、牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家，奠定了微積分的基礎(chǔ)，其研究的對(duì)象包括行星運(yùn)動(dòng)、流體運(yùn)動(dòng)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)、植物生長(zhǎng)等均屬于數(shù)學(xué)建模的范疇；19世紀(jì)后期，數(shù)學(xué)成為了研究數(shù)與形、運(yùn)動(dòng)與變化的學(xué)問(wèn)；可以說(shuō)，數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀(guān)察到的結(jié)構(gòu)和對(duì)稱(chēng)性。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis91.2最優(yōu)化的歷史最優(yōu)化問(wèn)題有相當(dāng)長(zhǎng)的發(fā)展歷史，最一早可以追溯到牛頓、拉格朗日時(shí)代。由于牛頓等對(duì)微積分的重要貢獻(xiàn)，才使得差分方程法解決最優(yōu)化問(wèn)題成為可能。這其中的先鋒者包括貝諾利(Bemot)，歐拉(Eller)和拉格郎日等。Lagrange發(fā)明了有名的拉格郎日乘子法?？挛?Canchy)首先提出了最速下降法(解決無(wú)約束最小化問(wèn)題)。盡管有這些早期的成果，最優(yōu)化的發(fā)展相當(dāng)緩慢，直到50年代高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)。50年代后，最優(yōu)化的發(fā)展進(jìn)入旺盛期，出現(xiàn)了大量的新算法。Dantzig提出了解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的simplex方法，Bellman提出了動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)化最優(yōu)性原理，使得約束最優(yōu)化成為可能性。Kuhn和Tucher提出的最優(yōu)化規(guī)劃問(wèn)題的充分和必要條件開(kāi)創(chuàng)了非線(xiàn)性規(guī)劃優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ)。幾何規(guī)劃優(yōu)化由Zountijker和Rosen在60年代提出，Gomory同時(shí)提出了積分規(guī)劃技術(shù)。隨機(jī)(或統(tǒng)計(jì))規(guī)劃技術(shù)最早山Danzig和charnes提出，Cooper發(fā)展了該技術(shù)。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis10構(gòu)成現(xiàn)代優(yōu)化理論的相關(guān)技術(shù)是模擬退火SA、遺傳算法GA等現(xiàn)代啟發(fā)式最優(yōu)化算法，他們均是從60年代發(fā)展起來(lái)的。SA算法是一種組合優(yōu)化算法，足模擬材半l)Jl日一中的退火處理(Annealing)得名的優(yōu)化算法。退火是材料加工的一種處理方式，即首先將固體加工到融化狀態(tài)，再逐漸冷卻，直到材料達(dá)到結(jié)品狀態(tài)。在這個(gè)過(guò)程中，固體內(nèi)的自由能最終被降低到最小狀態(tài)。在實(shí)踐中，冷卻過(guò)程必須非常小心控制，以防止固體結(jié)晶到局部最小能量狀態(tài)，即局部最優(yōu)解，從而影響材料的強(qiáng)度等各種性能。模擬退火算法模擬這樣的物理過(guò)程，將組合最小化能量狀態(tài)模擬為最終晶體狀態(tài)，并設(shè)計(jì)一個(gè)類(lèi)似的處理過(guò)程，達(dá)到優(yōu)化的目的。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis111.2數(shù)學(xué)建摸的基本概念與分類(lèi)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模舉例數(shù)學(xué)建模的過(guò)程2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis121.2.1數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型模型是把對(duì)象實(shí)體通過(guò)適當(dāng)?shù)倪^(guò)濾,用適當(dāng)?shù)谋憩F(xiàn)規(guī)則描繪出的簡(jiǎn)潔的模仿品.通過(guò)這個(gè)模仿品,人們可以了解到所研究實(shí)體的本質(zhì),而且在形式上便于人們對(duì)實(shí)體進(jìn)行分析和處理。模型概念

模型是人們十分熟悉的東西，例如：玩具、照片及展覽會(huì)里的電站模型、火箭模型等實(shí)物模型；地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖等經(jīng)過(guò)一定抽象的符號(hào)模型；大型水箱中的艦艇模型、風(fēng)洞中的飛機(jī)模型等物理模型。

2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis13數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis14數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis15數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類(lèi)

生物數(shù)學(xué)模型

醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型地質(zhì)數(shù)學(xué)模型

數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis16數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)按是否考慮隨機(jī)因素分類(lèi) 確定性模型隨機(jī)性模型2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis17數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)(續(xù))按是否考慮模型的變化分類(lèi)

靜態(tài)模型

動(dòng)態(tài)模型按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類(lèi)

幾何模型

微分方程模型

圖論模型

規(guī)劃論模型

馬氏鏈模型按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法

離散模型

連續(xù)模型2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis18數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)(續(xù))按人們對(duì)事物發(fā)展過(guò)程的了解程度分類(lèi)

白箱模型：

指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問(wèn)題。

灰箱模型：

指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問(wèn)題。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。黑箱模型：

指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等方面的問(wèn)題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡(jiǎn)化為灰箱模型來(lái)研究。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis19數(shù)學(xué)建模示例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線(xiàn)呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis20模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)

椅子位置利用正方形(椅腳連線(xiàn))的對(duì)稱(chēng)性xBADCOD′C′B′A′用(對(duì)角線(xiàn)與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱(chēng)性2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis21用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對(duì)任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis22模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線(xiàn)AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis23商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis24模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過(guò)程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis25模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機(jī)

圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis26Demo2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis27

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀(guān)事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis28

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis29模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類(lèi)比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模的一般步驟2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis30模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的一般步驟2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis31數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis321.3最優(yōu)化的基本概念與分類(lèi)最優(yōu)化的基本概念最優(yōu)化技術(shù)分類(lèi)最優(yōu)化建模與求解示例2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis33

最優(yōu)化的基本概念最優(yōu)化技術(shù)是一門(mén)較新的學(xué)科分支。它是在本世紀(jì)五十年代初在電子計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的推動(dòng)下才得到迅速發(fā)展，并成為一門(mén)直到目前仍然十分活躍的新興學(xué)科。最優(yōu)化所研究的問(wèn)題是在眾多的可行方案中怎樣選擇最合理的一種以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)。將達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案稱(chēng)為最優(yōu)方案或最優(yōu)決策，搜尋最優(yōu)方案的方法稱(chēng)為最優(yōu)化方法，關(guān)于最優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)理論稱(chēng)為最優(yōu)化論。最優(yōu)化問(wèn)題至少有兩要素：一是可能的方案；二是要追求的目標(biāo)。后者是前者的函數(shù)。如果第一要素與時(shí)間無(wú)關(guān)就稱(chēng)為靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題，否則稱(chēng)為動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis34最優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用范圍十分廣泛，在我們?nèi)粘Ｉ钪校诠まr(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、國(guó)防、航空航天工業(yè)中處處可見(jiàn)其用途。比如我們自己所接觸過(guò)的課題有：結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計(jì)、電子器件最優(yōu)設(shè)計(jì)、光學(xué)儀器最優(yōu)設(shè)計(jì)、化工工程最優(yōu)設(shè)計(jì)、標(biāo)腔最優(yōu)配方、運(yùn)輸方案、機(jī)器最優(yōu)配備、油田開(kāi)發(fā)、水庫(kù)調(diào)度、飼料最優(yōu)配方、食品結(jié)構(gòu)優(yōu)化等等。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis35最優(yōu)化技術(shù)工作被分成兩個(gè)方面，一是由實(shí)際生產(chǎn)或科技問(wèn)題形成最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，二是對(duì)所形成的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)加工和求解。對(duì)于第二方面的工作，目前已有一些較系統(tǒng)成熟的資料，但對(duì)于第一方面工作即如何由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型，目前很少有系統(tǒng)的資料，而這一工作在應(yīng)用最優(yōu)化技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)是十分關(guān)鍵的基礎(chǔ)，沒(méi)有這一工作，最優(yōu)化技術(shù)將成為無(wú)水之源，難以健康發(fā)展。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis36

最優(yōu)化問(wèn)題舉例最優(yōu)化在物質(zhì)運(yùn)輸、自動(dòng)控制、機(jī)械設(shè)計(jì)、采礦冶金、經(jīng)濟(jì)管理等科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。下面舉幾個(gè)專(zhuān)業(yè)性不強(qiáng)的實(shí)例。例1.把半徑為1的實(shí)心金屬球熔化后，鑄成一個(gè)實(shí)心圓柱體，問(wèn)圓柱體取什么尺寸才能使它的表面積最?。拷猓簺Q定圓柱體表面積大小有兩個(gè)決策變量：圓柱體底面半徑r、高h(yuǎn)。問(wèn)題的約束條件是所鑄圓柱體重量與球重相等。即2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis37即即問(wèn)題追求的目標(biāo)是圓柱體表面積最小。即

min則得原問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：

s.t.Subjectto.固定.2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis38利用在高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的Lagrange乘子法可求解本問(wèn)題

分別對(duì)r.h.λ求偏導(dǎo)數(shù),并令其等于零.有:2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis39例2.多參數(shù)曲線(xiàn)擬合問(wèn)題已知兩個(gè)物理量x和y之間的依賴(lài)關(guān)系為:

其中和待定參數(shù),為確定這些參數(shù),對(duì)x.y測(cè)得m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn):試將確定參數(shù)的問(wèn)題表示成最優(yōu)化問(wèn)題.2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis40解:很顯然對(duì)參數(shù)和任意給定的一組數(shù)值,就由上式確定了y關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,在幾何上它對(duì)應(yīng)一條曲線(xiàn),這條曲線(xiàn)不一定通過(guò)那m個(gè)測(cè)量點(diǎn),而要產(chǎn)生“偏差”.將測(cè)量點(diǎn)沿垂線(xiàn)方向到曲線(xiàn)的距離的平方和作為這種“偏差”的度量.即顯然偏差S越小,曲線(xiàn)就擬合得越好,說(shuō)明參數(shù)值就選擇得越好，從而我們的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為5維無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。即：2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis41例3：兩桿桁架的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。由兩根空心圓桿組成對(duì)稱(chēng)的兩桿桁架，其頂點(diǎn)承受負(fù)載為2p，兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為B，桿的比重為ρ，彈性模量為E，屈吸強(qiáng)度為δ。求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度h及圓桿平均直徑d。

受力分析圖圓桿截面圖桁桿示意圖2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis42解：桁桿的截面積為：桁桿的總重量為：負(fù)載2p在每個(gè)桿上的分力為：于是桿截面的應(yīng)力為：此應(yīng)力要求小于材料的屈吸極限，即

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圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知：壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為由此得穩(wěn)定約束：2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis44

另外還要考慮到設(shè)計(jì)變量d和h有界。從而得到兩桿桁架最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis45例4.（混合飼料配合）以最低成本確定滿(mǎn)足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。下面舉一個(gè)簡(jiǎn)化了的例子予以說(shuō)明。設(shè)每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過(guò)1.2%的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營(yíng)養(yǎng)成分為：2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis46配料每磅配料中的營(yíng)養(yǎng)含量鈣蛋白質(zhì)纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.08

0.01640.04630.1250解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè)是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis472023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis48最優(yōu)化問(wèn)題的基本概念n維歐氏空間向量向量變量實(shí)值函數(shù)：無(wú)約束最優(yōu)問(wèn)題：2023/6/7AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis49最優(yōu)化問(wèn)題的基本概念向量變量向量值函數(shù)：其中