自動(dòng)控制原理4課件

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法1§1.緒論部分

由第三章可知，閉環(huán)極點(diǎn)完全決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)則決定了系統(tǒng)的品質(zhì)。所以，如能確定閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上的位置，則對(duì)控制系統(tǒng)的性能分析則意義重大。由于閉環(huán)極點(diǎn)是特征方程的根，隨著特征方程階數(shù)的增大，求解困難（試探求法）。而開環(huán)傳函由簡(jiǎn)單環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，零極點(diǎn)易確定，若能用開環(huán)極零點(diǎn)確定閉環(huán)極點(diǎn)在S平面的位置，并通過(guò)調(diào)節(jié)開環(huán)極零點(diǎn)位置改善閉環(huán)極零點(diǎn)位置，將使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單。該方法為：

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法2

根軌跡法：根據(jù)開環(huán)極零點(diǎn)分布，當(dāng)系統(tǒng)某參數(shù)由零變到無(wú)窮大，繪制出閉環(huán)特根在S平面上的相應(yīng)的變化軌跡，由此來(lái)分析，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，參數(shù)對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響，以及系統(tǒng)的綜合與校正。這是一種圖解方法。2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法3§2.根軌跡法的基本概念與繪制條件

基本概念

根軌跡的繪制條件

根軌跡的分類

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法4一、基本概念特征方程：s2+2s+k*=0特征根：例1：?jiǎn)挝环答伓A系統(tǒng)2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法5

欠阻尼-1-jK*-1-1+jK*-1（1，+∞）↑臨界阻尼-1-11過(guò)阻尼S2右移〈0S1左移〈0（0，1）↑-200響應(yīng)閉開S2S1K*2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法6結(jié)論：

1、開環(huán)傳函參數(shù)K*影響著閉環(huán)極點(diǎn)的分布。

2、隨著K*的增大，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)歷著過(guò)阻尼、等阻尼、欠阻尼。

3、K*與閉環(huán)極點(diǎn)，一一對(duì)應(yīng)，進(jìn)而可分析系統(tǒng)穩(wěn)定性及其它各項(xiàng)性能指標(biāo)。2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法7二、根軌跡的繪制條件

特征方程：１＋Ｗk(s)=0

根軌跡方程：Ｗk(s)=-1（＊）凡滿足（＊）式的s都是根軌跡上的點(diǎn)，反之，根軌跡上的點(diǎn)也都滿足（＊）式。（曲線與方程一一對(duì)應(yīng)關(guān)系）則繪制其根軌跡條件應(yīng)為：

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法8

代入（＊）式根：s=δ+jω則有

若用１、幅值條件：２、相角條件：注意：2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法9

S

L3l1L2L1

β3α1β2β1-P2-Z1-P1P0

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法10

根軌跡以根軌跡放大系數(shù)Kg繪制p110,例4--1或Ⅱ若則根軌道放大倍數(shù)與開環(huán)放大倍數(shù)的關(guān)系為：2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法11

主根軌跡：0<=Kg<∞的根軌跡（180°根軌跡）輔根軌跡：-∞<=Kg<0的根軌跡廣義根軌跡：以除Kg外的某一其它系統(tǒng)參數(shù)繪制的根軌跡零度根軌跡：幅角條件是±360的根軌跡根軌跡族：幾個(gè)系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)變化構(gòu)成的的根軌跡§3.根軌跡的繪制法則一、根軌跡分類：2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法12二、繪制根軌跡的一般法則(*)1根軌跡的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)2根軌跡數(shù)和它的對(duì)稱數(shù)3實(shí)軸上的根軌跡4分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)5根軌跡的漸近線

6根軌跡出射角和入射角7根軌跡與虛軸交點(diǎn)8根軌跡的走向9放大系數(shù)求取值10分離角與會(huì)合角

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法131.根軌跡的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)

起點(diǎn)

Kg=0，由根軌跡方程(↓)可知起點(diǎn)應(yīng)從開環(huán)極點(diǎn)（或s=-pj）開始

終點(diǎn)

Kg=∞，同理，終點(diǎn)應(yīng)在s=-zi（開環(huán)零點(diǎn)處），有多少個(gè)開環(huán)極點(diǎn)就有多少個(gè)起點(diǎn)，零點(diǎn)也一樣，只不過(guò)由于n-m＞0，所以零點(diǎn)將有n-m個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處．2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法14２.根軌跡數(shù)（分支數(shù)）和它的對(duì)稱數(shù)分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n（特征方程階數(shù)）．由實(shí)系數(shù)特征方程知，特征根不是實(shí)根，就是共軛復(fù)根，故根軌跡一定對(duì)稱于實(shí)軸．2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法15

３.實(shí)軸上的根軌跡由軸上某個(gè)區(qū)段，若它的右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)，則該區(qū)段為一根軌跡分支由輻角條件可知：特征根S左側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)開環(huán)傳函的幅角沒(méi)有貢獻(xiàn)P112，而右側(cè)的每個(gè)開環(huán)零極點(diǎn)都引起180°的輻角變化，所以右側(cè)零極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)恰好能滿足輻角條件。2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法16

4.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)：由實(shí)軸分離進(jìn)入復(fù)平面的點(diǎn)。兩極點(diǎn)間會(huì)合點(diǎn)：復(fù)平面匯合進(jìn)入實(shí)軸上的點(diǎn)。兩零點(diǎn)間這時(shí)的特征方程出現(xiàn)重根。重根即代表了分離點(diǎn)，會(huì)合點(diǎn)的位置(1)解析法設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：法1

，其根為；若有重根將使2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法17由此可知代入特征方程有：可求出重根：法2實(shí)根中的對(duì)應(yīng)的是從零到中最大的，故也可通過(guò)對(duì)求導(dǎo)求得分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。（求后驗(yàn)證）。2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法18

驗(yàn)證：由于不存在根軌跡，故不是分離點(diǎn)。而不僅屬于[-1，0]且能使，使注：此方法對(duì)求復(fù)平面上的分離，會(huì)合點(diǎn)也有效。例2.試求實(shí)軸上的分離點(diǎn)。根軌跡方程即求得2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法19(2)圖解法：[-p2,-p3]中有一分離點(diǎn)d，滿足相角條件：設(shè)三階系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖如下圖-z2-p3-p2-z1-p1s1jwS1為靠近d軌跡上一點(diǎn)，滿足相角條件：2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法20二式比較得：如上例有更一般的：驗(yàn)證后，d1為真2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法21

5、根軌跡的漸近線

時(shí)系統(tǒng)有n-m條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，成為一條直線，即根軌跡漸近線。（1）傾角：開環(huán)有限零極點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)特征根矢量輻角都相等，即由幅角條件

只有n-m個(gè)，以后重復(fù)出現(xiàn)（2）與實(shí)軸交點(diǎn)：開環(huán)有限零極點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)處的特征，根Sk的矢量長(zhǎng)度相等，對(duì)Sk而言開環(huán)零極點(diǎn)匯集成一點(diǎn),即2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法22根軌跡漸近線方程為：Wk(s)=1證明:s→∞時(shí)原式趨近于其中即整理上式為：2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法23

令S=σ+jω代入得于是記為令ω=0則有2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法24

起終點(diǎn):0,-1,-2,-∞實(shí)軸分支：[-1,0][-2,-∞]分離點(diǎn)：σd=-0.422漸近線：σa=(0+(-1)+(-2)-0)/(3-0)=-1,θa=(2k+1)π/(3-0)=60°,180°,300°,-60°例32023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法25

出射角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點(diǎn)的切線方向與實(shí)軸正向夾角。入射角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)零點(diǎn)的切線方向與實(shí)軸正向夾角。6、根軌跡出射角和入射角（1）定義2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法26

開環(huán)(零)極點(diǎn)-pl,(-zl)附近的根軌跡上取一點(diǎn)s1，則當(dāng)s1→-pl時(shí)，s1與-pl所構(gòu)成的矢量相角就是-pl的出射角βsc，對(duì)應(yīng)零點(diǎn)為入射角αsr。由相角條件:（2）計(jì)算并用代替則

出射角2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法27

-zl入射角例4、繪制根軌跡2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法28

法一：有特征方程:1+Wk(s)=0有Re(1+Wk(s))=0Im(1+Wk(s))=0若令s=jω代入上二式便可求解ω,Kg.如例2,特征方程為7、根軌跡與虛軸交點(diǎn)：令s=jω代入得2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法29

法二：由勞斯表中知，若有根為純虛根，表中某行全為零。令由輔助方程得:8.根軌跡的走向

當(dāng)特征方程階次n-m>=2時(shí)，根軌跡呈現(xiàn)發(fā)散性質(zhì)，一些分支右行時(shí)，另一些分支必左行，偏向S平面右半部分。這一點(diǎn)可由根的特性說(shuō)明：2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法30

9.放大系數(shù)求取值由幅值條件，根軌跡上某點(diǎn)放大系數(shù)為：特征方程它與開環(huán)放大系數(shù)的關(guān)系為各特征根之和為常數(shù)！2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法31

108°36°

-180°-108-36°

10、分離角與匯合角分離角：根軌跡離開分離點(diǎn)的切線方向與實(shí)軸正向夾角。匯合角：根軌跡進(jìn)入?yún)R合點(diǎn)的切線方向與實(shí)軸正向夾角。為分離點(diǎn)根軌跡數(shù)。例52023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法32解：（1）分支數(shù)：4個(gè)(2)起點(diǎn)：-p1=0,-p2=-1+j,-p3=-1-j,-p4=-3

終點(diǎn)：全在無(wú)窮遠(yuǎn)處。

(3)實(shí)軸上根軌跡：[-3，0]

（4）漸近線例6

繪制根軌跡2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法33matlab繪制根軌跡圖2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法34

(5)分離點(diǎn)1/d+1/(d+3)+1/(d+1-j)=0試探得

:(6)出射角

(7)與虛軸交點(diǎn):由特征方程s(s+3)(s2+2s+2)+k=0代入s=jω得(8)走向(9)放大系數(shù)(10)分離角:±90°2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法35

例7

繪制右圖以Kp為參變量的根軌跡

解：KP(1+0.6s)R(s)Y(s)令Kg=0.6Kp

開環(huán)（1）起點(diǎn)，-0.25,-1

終點(diǎn)：-1.67,-∞（2）分支數(shù):2（3）實(shí)軸根軌跡:[-1,-0.25],[-∞,-1.67]（4）漸近線:(2k-1)π/(2-1)=180°jw2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法36（5）實(shí)軸交點(diǎn):（6）走向：復(fù)平面根軌跡是一以開環(huán)零點(diǎn)-1.67為圓心，以-1.67為分離點(diǎn)-0.695的距離為半徑的圓證：用s=σ+jω代入特征方程由相角條件:整理后得(σ+1.67)2+ω2=0.9514結(jié)論；任意帶一開環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，若復(fù)平面存在根軌跡，則它一定是一個(gè)以開環(huán)零點(diǎn)為圓心的圓或圓的一部分。2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法37二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)具有復(fù)極點(diǎn)的四階系統(tǒng)延遲環(huán)節(jié)（時(shí)滯環(huán)節(jié)）系統(tǒng)三、典型自控系統(tǒng)根軌跡

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法381.二階系統(tǒng)

其中Kg=Kk/T

標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng):(1)起終點(diǎn)(2)實(shí)軸(3)分離點(diǎn):-1/2T

(4)漸近線：±90°，-1/2T由(2)式知二階系統(tǒng)特征根在S平面的位置

WK2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法39

由幅值條件2.開環(huán)具有零點(diǎn)二階系統(tǒng)復(fù)平面根軌跡可由幅角條件證明是個(gè)圓，這樣增加零點(diǎn)改變了系統(tǒng)品質(zhì)。等ξ線等頻線對(duì)(1)式若要工程最佳2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法402023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法41

3.三階系統(tǒng)

二階系統(tǒng)再加一個(gè)極點(diǎn)

(1)起終點(diǎn)

(2)分支數(shù)

(3)實(shí)軸上

(4)分離點(diǎn)a=4時(shí)

(5)漸近線a=4時(shí)

(6)與虛軸交點(diǎn)

結(jié)論；二階系統(tǒng)附加極點(diǎn)Kg↑根軌跡將穿過(guò)虛軸系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法422023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法43

(1)起終點(diǎn)，分支數(shù)，實(shí)軸(2)漸近線:±90°(3)取τd=4T,ξ=1/2作ξ=1/2的阻尼線

與根軌跡交點(diǎn):

由代數(shù)方程:R1+R2+R3=p1=1/T得-R3=-1/(2T)4.開環(huán)具有零點(diǎn)三階系統(tǒng)：

二階加一極點(diǎn)一零點(diǎn)其中Kg=K/TiT

z1=1/τdp1=1/T2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法44線漸進(jìn)線三階工程最佳（4）2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法45(1)起終點(diǎn)，分支數(shù)，實(shí)軸上(2)漸近線φ=-60°，180°，-σk=-1

(3)出射角βsc1=-26.6°(4)與虛軸交點(diǎn)s=±j1.61,(5)由根與系數(shù)關(guān)系:5.具有復(fù)極點(diǎn)的四階系統(tǒng)2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法46

對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性不利

(τ!=0滯后時(shí)間常數(shù))

根軌跡方程特征根幅值條件:

輻角條件:

特點(diǎn)：特征根無(wú)限多個(gè)，根軌跡分支數(shù)無(wú)限多條。6.延遲環(huán)節(jié)（時(shí)滯環(huán)節(jié)）系統(tǒng)2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法47（1）當(dāng)|τs|很小時(shí)

繪制方法同前（2）當(dāng)|τs|較大時(shí)

①起點(diǎn):–pi,-∞,終點(diǎn);-zi,+∞

②分支數(shù):無(wú)窮多條，對(duì)稱性：對(duì)稱于實(shí)軸。③實(shí)軸上；由ω=0可知繪制規(guī)則不變④分離匯合點(diǎn)；仍可按dKg/ds=0計(jì)算⑤漸近線：當(dāng)Kg→∞時(shí)σ→∞，所有有限開環(huán)零極點(diǎn)到σ的矢量幅角都等于0，故漸近線為水平線。由幅角條件知（2k+1）π-τω=0與虛軸交于ω=(2k+1)π/τ2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法48⑥出射角與入射角

⑦與虛軸交點(diǎn)：令s=jω由幅角條件求得ωl

當(dāng)Kg=0時(shí)σ→-∞所有有限開環(huán)零極點(diǎn)到σ矢量幅角都等于π，故漸近線仍為水平線只是交點(diǎn)由

(2k+1)π-τω=(m-n)π，,|m-n|為奇數(shù),|m-n|為偶數(shù)2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法49

⑧復(fù)平面上的根軌跡（作圖法）；

ⅰk=0時(shí)如一階系統(tǒng)jw-1/T或取ω=ω1時(shí)，從-1/T點(diǎn)做一傾角為斜線，交于水平線，交點(diǎn)為一特征根，取全ω>0區(qū)間得一組特征根并畫出一支根軌跡，對(duì)稱實(shí)軸畫出另一支2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法50ⅱk=1時(shí)，漸近線不同2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法51四、零度根軌跡1，概念：

非最小相位系統(tǒng)：凡是在S平面右半平面有開環(huán)零極點(diǎn)的系統(tǒng)，與之相反稱為最小相位系統(tǒng)。產(chǎn)生零度根軌跡原因:①非最小相位系統(tǒng)中包含有最高次冪的系數(shù)為負(fù)的環(huán)節(jié)②系統(tǒng)中有正反饋內(nèi)環(huán)。幅角條件滿足2kπ(k屬于Z)的根軌跡稱為零度根軌跡。其幅值條件不變。2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法52繪制規(guī)則（與常規(guī)根軌跡相比）

①實(shí)軸上根軌跡只能出現(xiàn)在其右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)總數(shù)為偶數(shù)的區(qū)段上

②漸近線θ=2kπ/(n-m)k=1,2,…,n-m-1③出射角

入射角2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法53④分離角

其他規(guī)則不變，例8匯合角WkR(s)Y(s)2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法54例92023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法55五、廣義根軌跡它是指以某非Kg作為系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)得到的根軌跡。具體的做法為：由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式KgN(s)+D(s)=1整理出研究的參數(shù)根軌跡方程式

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法56

關(guān)于Ta的根軌跡方程為

則新的開環(huán)傳函應(yīng)為5(1+TaS)1/s(5s+1)例10

閉環(huán)極點(diǎn)保持不變而零點(diǎn)變了。Ta↑閉環(huán)極點(diǎn)左移2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法57例112023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法58§4.用根軌跡方法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

在根軌跡上確定特征根用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

在根軌跡上由性能指標(biāo)確定調(diào)整參數(shù)2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法59一、在根軌跡上確定特征根試探法：已知Kg，先找一試點(diǎn)So求得它的Kgˊ=(L1L2…Ln)/(L1L2…lm)，使Kgˊ=kg,便定出So。

n-m<=3系統(tǒng),先找到實(shí)根(實(shí)軸上),再用韋達(dá)定理去求復(fù)根.實(shí)根仍要用作圖法.

2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法60二、用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

1,閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn):暫態(tài)過(guò)程主要決定于離虛軸較近的極點(diǎn),當(dāng)極點(diǎn)實(shí)部相差5倍以上時(shí),遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)可被忽略.(對(duì)零點(diǎn)也適合)2,閉環(huán)極點(diǎn)位置變化時(shí)對(duì)暫態(tài)過(guò)程的影響(P135①-p1,-p2負(fù)實(shí)閉環(huán)極點(diǎn)②一對(duì)復(fù)極點(diǎn),ωn不變?chǔ)巫?ξ不變?chǔ)也蛔儲(chǔ)豱變)2023/6/7自動(dòng)控制原理--根軌跡法61②θ不變,ωn↑,極點(diǎn)沿失徑延伸,|-ξωn|↑加快系統(tǒng)響應(yīng)速度