2021-2022學年廣西浦北縣高一年級下冊學期期末模擬考試數學試題含答案

2021-2022學年廣西浦北縣高一下學期期末模擬考試數學試題

一、單選題

1.若角a的終邊經過點(1,-6)，則sina=()

A.--B.C.；D.—

2222

【答案】B

【分析】由三角函數定義可直接求得結果.

【詳解】角a的終邊經過點(1,-百)，-淅。=J+卜可==.

故選：B.

2.已知向量)=(-2,1),6=(%,4),若a_Lb,則優(yōu)=()

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】C

【分析】由向量數量積直接求解.

【詳解】由題意得-2"7+4=0,解得%=2.

故選：C

3.如圖，過球。的一條半徑OP的中點。一作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的半徑為G，則

球。的體積是()

C.32乃D.167r

【答案】A

【分析】利用勾股定理可構造方程求得球。的半徑R,由球的體積公式可求得結果.

【詳解】設球。的半徑為R,則=解得：R=2,

ArrQO

.?.球。的體積丫=竺*=三］.

33

故選：A.

4.若i(l-z)=l,則z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用復數的除法可求z,從而可求z+N.

【詳解】由題設有l(wèi)-z=l=J=-i,故z=l+i,故z+4=(l+i)+(l—i)=2,

11

故選：D

5.設a,￡是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，下列命題中正確的是()

A.若加〃則〃〃a

B.若,plija1/3

C.若加〃"，機,則a〃/?

D.若相_1_〃,《7_10:,〃_1_￡,則a〃/?

【答案】C

【分析】在正方體中通過線面關系，可舉出A,B,D的反例說明不正確，由線面垂直的性質

可判斷C正確.

【詳解】

對于A選項，當a為面4BC。，取"為直線8C,皿為直線G片,此時滿足機m//。，但不滿足

n//a,故A不正確；

對于B選項，當a為面A8C3,夕為面AgCQi時，取切為直線AB,〃為直線。田，此時滿足

機_L〃,/nuc,〃u￡,但不滿足a，/7,故B不正確；

對于C選項，由機//〃,機，4則〃，a,又n,/3,由線面垂直的性質定理可得a//〃，故C正確；

對于D選項，當a為面ABC。，夕為面BCC￡時，取根為直線8瓦，〃為直線AB,此時滿足

m_La,”_L/?,但不滿足a〃/，故D不正確.

故選：C.

【方法點睛】判斷線面關系正誤時，通常可以利用正方體這個模型進行判斷，很直觀.

6.若2a=2,則（）

1+sin2a

A.—1B.—C.—1或—D.—

333

【答案】B

【分析】利用二倍角公式以及弦化切可得出關于tan。的等式，即可解得tana的值.

【詳解】由已知1+sin2a=1+2sinacosa=（sina+cosa）-wO,則sina+cosawO,

、l-2sin2a_cos2a-sin2a_(cosa-sina)(cosa+sina)cosa-sina

"1+sin2al+2sinacos?(cosa+sina)2cosa+sina

1-tana~

-----------=2,解得tana=

1+tana3

故選：B.

7.已知某圓錐的高為3,底面半徑為0,則該圓錐的側面積為（）

A.近i兀B.2>/22^-C.2兀D.6%

【答案】A

【分析】由圓錐的側面展開圖是扇形，利用扇形的面積公式直接列式計算即可得出答案.

【詳解】解：由題意得，該圓錐的側面積為乃x0x序》=丘乃.

故選：A.

8.將函數y=cos（x-?J的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖

7T

像向左平移3個單位，得到的圖像對應的解析式為（）

1（\乃、

A.y=cos—xB.y=coslyx--IC.y=cos2xD.y=cosl2x+yI

【答案】B

【分析】由三角函數的平移變換即可得出答案.

【詳解】函數y=cos（x-2）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得

y=cos（；x-g）,再將所得的圖象向左平移?個單位可得用對^卜+（卜與卜時/一。.

故選：B.

二、多選題

9.設。，人是兩條不同的直線，d夕是兩個不同的平面，下列說法錯誤的是()

A.若“_1_8。_11,則b〃aB.若alla,bua,則a〃6

C.若aua,hu￡,a/〃?，則D.若a_La,al1/3,則aJ_77

【答案】ABC

【分析】根據空間中點線面的位置關系即可判斷A,B,C錯誤.

【詳解】當但。ua此時不能得至ljb〃e,所以A錯.若a//a]ua,a*的關系可以

有：a//b,或者異面關系，故B錯誤.若qua,bu￡,a///6的關系有：平行，異面(不垂

直)或者垂直.所以C錯誤.若a，a,al1/3,則故D正確.

故選：ABC

10.在二ABC中，角A、氏C所對應的邊分別為〃、瓦c,a2=h2+hc,則()

A.sin2A-sin2B=sinBsinCB.》=c(l+2cosA)

C.A=2BD.ABC不可能為銳角三角形

【答案】AC

【分析】由正弦定理即可判斷A選項；由余弦定理即可判斷B選項；由B選項得6(l+2cosA)=c,

再結合正弦定理及三角恒等變換即可判斷C選項；取特殊值說明存在銳角三角形即可判斷D選項.

【詳解】對于A,由正弦定理可得sin?A=sin28+sinBsinC,即sin?A-sin?B=sin3sinC，故A正

確；

對于B,c(l+2cosA)=cl+2."+：—a]=c(l+2."「二/=故B錯誤；

I2bcJI2bc)b

2

對于C,由上知：c(l+2cosA)=—,即以l+2cosA)=c,結合正弦定理可得

h

sin8(1+2cosA)=sinC=sin[)一(4+B)]=sin(A+8),整理得sin(A-8)=sin8,

則A—B=B或A—B+3=%,即A=23或從=乃(舍)，故C正確；

aTcab1+c2-a2h2+c2-b1-bec-hgrrr.~口,,.

對于D,cosA=-------------=------------------=------,取。=J10,/?=2,c=3,滿足。=Zr+〃c,

2bc2bc2b

此時角A最大，且cosA=J>0,即A為銳角，即A8C為銳角三角形，故D錯誤.

4

故選：AC.

11.設函數/(x)=sin2x+6cos2x,則下列結論錯誤的是()

A.f(x)的最小正周期為乃B..f(x)的圖像關于直線x=g對稱

6

c.f(x)的一個零點為x=qD.“X)的最大值為百+1

【答案】BD

【分析】先求出〃x）=2sin[2x+5J.即可求出最小正周期和最大值，可以判斷A、D；利用代入法

判斷選項B、C.

【詳解】函數/（工）=$皿2工+5/532%=25皿（2工+5）.

f（x）的最小正周期為江，故A正確；

?.?/（￡|=2sin（2x?+q）=G*±2,"（x）的圖像不關于直線x=?對稱，故B錯誤；

V/f-^=2sin^-2x^+^=0,.?.x=q是〃x）的一個零點，故C正確；

函數〃x）=2sin（2x+?）,.?./（X）的最大值為2,故D錯誤.

故答案為：BD

12.如圖所示，A8是半圓。的直徑，儂垂直于半圓。所在的平面，點C是圓周上不同于AB的任

意一點，M,N分別為E4,VC的中點，則下列結論正確的是（）

A.MN/平面A8C

B.平面VACJ_平面VBC

C.MN與8c所成的角為45

D.OCmVAC

【答案】AB

【分析】由中位線性質，可得〃4C,由線面平行的判定定理可判斷A,由線面垂直的性質可

得3，3C,據此可判斷8c1平面VAC,由此知MN與8c所成的角為90。，且OC不垂直平面VAC,

判斷CD,由面面垂直的判定知面%C,面VBC,判斷B即可.

【詳解】由〃,N分別為弘，VC的中點，則MN〃AC,又ACu平面ABC,MN<z平面ABC,，MN

平面ABC,故A正確；

又由題意得3c_LAC,因為小J■平面ABC,BCu平面ABC,所以VA_LBC.

因為ACcV<4=A,所以8c工平面儂C,所以MN與3c所成的角為90，故C錯誤；

因為BC1平面E4C,所以OC不垂直平面3c（否則8C7/OC,矛盾），故D錯誤；

因為BC人平面”IC,3Cu平面VBC,所以平面依C_L平面VBC,故B正確.

故選：AB

三、填空題

13.已知點P(-2,y)是角6終邊上一點，且疝0=-半，貝”=

【答案】-4南

1717

y2上

【分析】解方程1)=一可即得解.

【詳解】解：P(-2,y)是角。終邊上的一點，

P到原點的距離為“(/了+尸=，4+y2,

述

sin，=——-

7^丁

4y/34

.?.y=----------

17

故答案為：-土匣

17

14.已知非零向量a,b滿足同=2忖，且(。+8)，(“-36),則向量3,b夾角的余弦值為

【答案】"

【分析】利用向量數量積的運算律和向量的夾角公式計算即可.

【詳解】由題意得(a+方)-(a-36)=同2_2a/-3忖°=可力.-2a為一31(=}2a/=0,所以

綱,

所以cos(a,b\=":?=—~-=—

'1|心忖2時4

故答案為：1

15.若復數z=—1+后(i為虛數單位)，則吵=.

【答案】爭27r#會?

【分析】根據復數Z=-I+E，可知其實部和虛部，即可求得答案.

【詳解】因為復數z=-l+6i,其實部和虛部分別為-1,6,且在第二象限

故幅角的正切值-石，由于argz€（］,兀），則argz=,,

故答案為：個271

7

16.已知sina-cosa=—,則sin2a=.

24

【答案】

【分析】將條件等式兩邊平方，結合平方關系和二倍角正弦公式可求sin2a.

7

【詳解】因為sina-cosa=y,

）°49

所以sin2a-2sinocosa+cos2a=石，又siYa+cos2a=1,

.2424

所以2sinacosa=-----,故sin2a=------,

2525

24

故答案為：一石.

四、解答題

17.已知向量〃=（sina,cosa）,=

⑴若a與b共線，求。的值；

⑵若（a+砌_L（a-勸），求X的值.

【答案】（l）a=?JT

O

⑵，=土；

【分析】（1）利用向量共線的坐標形式可求a的值；

（2）利用向量垂直得到它們的數量積為0,從而可求兩個向量模的關系，從而可求2的值.

【詳解】（1）因為［與B共線，所以Ixcosa=>^sina即tana=3，

3

而故a=/

（2）因為（a+財）,（a-勸），故（a+訓（a-勸）=0即@=無，，

而卜卜Jsit?a+cos?a=1,%=2,故1=42?即2=±-.

18.如圖，在正方體ABC。—AgG。中，￡為棱。，上的點.

(1)證明：AA-，平面瓦；

(2)證明：平面E4c_L平面8。。內.

【答案】(1)證明見詳解

(2)證明見詳解

【分析】(1)由正方體性質和線面平行判定定理直接可證；

(2)根據面面垂直判定定理將問題轉化為AC，平面8DRM，然后由正方體性質可證.

【詳解】(1)由正方體性質可知，MBB、

又因為A41a平面8。。蜴，84<=平面8?！?gt;百，

所以AA，平面8。￡>百

(2)因為底面ABCD為正方形，

所以AC18。

因為8與J.平面ABC。，ACu平面ABC。，

所以

因為B81CB￡>=8,平面3￡>u平面8￡>￡>蜴，

所以AC,平面BDR用

又ACu平面ACE,

所以平面E4C_L平面8?？隍?/p>

19.函數〃x)=Asin?x+e)(A>0,a)>0,0<。<))的圖象如圖所示.

⑴求函數y=〃x）的解析式；

（2）當xe喉器時，求函數y=/（x）的值域.

【答案】（l）”x）=sin（2x+1

【分析】（1）利用函數圖象可求A,周期T,利用周期公式求。，由sin12xq+s>

0,結合0<。〈萬

可求化函數的解析式可得（2）根據x的范圍確定2x+?的范圍，進而根據正弦函數的性質求得函

數的值域

【詳解】（1）；由函數圖象可得：A=l,

周期（信-？吟，解得：-2,

又???點0）在函數圖象上，可得：sin（5+/=0,

二解得：(p=kn-q,keZ,結合°<0〈萬，可得夕=(,

"(x)=sin(2x+5).

c冗7t7/r

2.XH--G

366

/.sin2x+—G

I3j2

即函數〃x）的值域為:J

20.ABC中，sin2A—sin2B—sin2C=sinBsinC.

（1）求4；

（2）若BC=3,求一4?C周長的最大值.

【答案】（1）y;（2）3+2力.

【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出cosA的形式，進而求得A；

（2）方法一：利用余弦定理可得至lJ（AC+AB）2-ACAB=9,利用基本不等式可求得AC+A3的最

大值，進而得到結果.

【詳解】（1）由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB,

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：余弦+不等式

由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2ACABCOSA=AC2+AB2+ACAB=9,

即(AC+AB)2-AC-A3=9.

AC+A8

ACAB<（當且僅當AC=AB時取等號）,

--2

9=(AC+AB?-ACAB>(AC+AB)2=;(AC+A8)2,

解得：AC+AB<2y/3(當且僅當AC=A3時取等號)，

ABC周KL=AC+A8+BC43+2K，.'AB。周長的最大值為3+2抬.

［方法二］:正弦化角(通性通法)

設B=f+a,C=g-a,則根據正弦定理可知三=3=三=26,所以

6o66sinAsmnsinC

b+c=2^3(sinB+sinC)=2A/3sin("^+a)+sin［7—a］］=26cosa<2百，當且僅當a=0,即

3=C=m時，等號成立.此時ABC周長的最大值為3+26.

［方法三］:余弦與三角換元結合

在、ABC中，角A,B,。所對的邊分別為mb,c.由余弦定理得9=層+^+加，即

/?+—c=3sin/

/7+—c+-c2=9.令<20e

C=2A/3cos0

Z?+c=3sin0+V3cos0=2>/3sine+.卜26,易知當C=5時，0+^=2^,

6

所以ABC周長的最大值為3+26.

【整體點評】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三

角形周長最大值的求解問題；

方法一：求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求

得最值.

方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍進行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限

制條件的，則采用此法解決.

方法三巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦函數求最值問題.

21.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產“，我國

擁有世界上最深的海洋藍洞.為測得如圖所示的海洋藍洞口徑(圖中AB兩點間的距離)，現在珊瑚

群島上取兩點C和。，測得CD=45m,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=\50,ZACB=\20°.

(1)求4。兩點的距離；

(2)判斷此海洋藍洞的口徑是否超過100m.

【答案】(1)45m；(2)此海洋藍洞的口徑是超過

【分析】(1)由邊角關系得八4￡9為等腰三角形，進而求得答案;

(2)在△88中，利用正弦定理得B￡>=45>6(m),在△ABQ中，由余弦定理得AB=45石(m),進而

判斷即可.

【詳解】解：(1)在aACZ)中，ZADC=ZADB+ZBDC=150,

ZDCA=15°,

:.ZDAC=]5°,

.'ADC為等腰三角形，..40=8=45(0!),

A、。兩點的距離45m

(2)在△BCD中，ZBDC=15°,ZBCD=ZACB+ZACD=135,

:.ZCBD=30°,由正弦定理