信號(hào)與系統(tǒng)4教學(xué)課件

SIGNALSANDSYSTEMS信號(hào)與系統(tǒng)第四章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院2015.11連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析概述傅里葉變換（頻域）分析法在信號(hào)分析和處理方面十分有效：分析諧波成分、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、波形失真、取樣、濾波等要求信號(hào)滿足狄里赫勒條件只能求零狀態(tài)響應(yīng)反變換有時(shí)不太容易拉普拉斯變換（復(fù)頻域）分析法在連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的分析方面十分有效可以看作廣義的傅里葉變換變換式簡(jiǎn)單擴(kuò)大了變換的范圍為分析系統(tǒng)響應(yīng)提供了規(guī)范的方法第四章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析概述4.1拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3拉普拉斯反變換4.4連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.5系統(tǒng)函數(shù)4.6連續(xù)系統(tǒng)的模擬4.1拉普拉斯變換4.1.1定義——從傅里葉變換到拉普拉斯變換信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件的原因是：

只要取得合適，很多函數(shù)(幾乎所有常用的函數(shù))都可以滿足絕對(duì)可積的條件。一.引進(jìn)廣義函數(shù)(傅氏變換)二.拉氏變換(無需引進(jìn)廣義函數(shù))

若

f(t)

不滿足狄里赫勒條件，我們?yōu)榱四塬@得變換域中的函數(shù)，人為地用一個(gè)實(shí)指數(shù)函數(shù)e-t

去乘f(t)

。稱

為衰減因子；e-t

為收斂因子。解決的方法：取

f(t)e-t

的傅里葉變換：其傅里葉反變換為雙邊拉普拉斯正變換雙邊拉普拉斯反變換上兩式稱為雙邊拉普拉斯變換對(duì)，可以表示為拉氏變換擴(kuò)大了信號(hào)的變換范圍。變換域的內(nèi)在聯(lián)系時(shí)域函數(shù)頻域函數(shù)時(shí)域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù)單邊拉普拉斯變換考慮到：1.

實(shí)際信號(hào)都是有始信號(hào)，即2.

我們觀察問題總有一個(gè)起點(diǎn)，或者說只需考慮的部分。此時(shí)拉普拉斯正變換可以改寫為

正變換的積分下限用0-

的目的是：把t=0

時(shí)出現(xiàn)的沖激包含進(jìn)去。這樣，利用拉氏變換求解微分方程時(shí)，可以直接引用已知的初始狀態(tài)f(0-)。但反變換的積分限并不改變。以后只討論單邊拉氏變換：

（1）f(t)

和f(t)u(t)

的拉氏正變換F(s)

是一樣的。

（2）反之，當(dāng)已知F(s)

，求原函數(shù)時(shí)，也無法得到t<0

時(shí)的f(t)

表達(dá)式。

例如，常數(shù)1和u

(t)

的（單邊）拉普拉斯變換是一樣的。單邊拉氏變換的優(yōu)點(diǎn)：(1)不僅可以求解零狀態(tài)響應(yīng)，而且可以求解零輸入響應(yīng)或全響應(yīng)。(2)單邊拉氏變換自動(dòng)將初始條件包含在其中，而且只需要了解t=0-

時(shí)的情況就可以了。(3)時(shí)間變量

t

的取值范圍為0~

，復(fù)頻域變量s

的取值范圍為復(fù)平面(S平面)的一部分。S

平面當(dāng)

>0

時(shí)，

f(t)e-t

絕對(duì)收斂。(4)任何可以進(jìn)行拉氏變換的信號(hào)，其拉氏變換F(s)

中一定沒有沖激函數(shù)。4.1.2（單邊）拉氏變換的收斂域

信號(hào)

f(t)

乘以收斂因子后，有可能滿足絕對(duì)可積的條件。是否一定滿足，還要看f(t)

的性質(zhì)與的相對(duì)關(guān)系。通常把使f(t)e-t

滿足絕對(duì)可積條件的值的范圍稱為拉氏變換的收斂域。

滿足上述條件的最低限度的

值，稱為0

(絕對(duì)收斂橫坐標(biāo))。如：有始有終的能量信號(hào)0=-功率信號(hào)0=0按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的信號(hào)：如

et，0=

凡是增長(zhǎng)速度不超過指數(shù)函數(shù)的函數(shù)，統(tǒng)稱為指數(shù)階函數(shù)。指數(shù)階函數(shù)均可以用乘以e-t

的方法將其分散性壓下去。結(jié)論：凡指數(shù)階函數(shù)都有拉氏變換。比指數(shù)信號(hào)增長(zhǎng)的更快的信號(hào)：如找不到0

，則此類信號(hào)不存在拉氏變換。

單邊拉氏變換的收斂域是：復(fù)平面(s平面)內(nèi)，Re(s)=σ＞σ0

的區(qū)域，比較容易確定。一般情況下，不再加注其收斂域。1.傅里葉級(jí)數(shù)：

實(shí)際上是把周期信號(hào)分解為一系列等幅振蕩的正弦分量之和。

復(fù)振幅：（可以用復(fù)平面虛軸上的離散頻譜表示）變換域之間的內(nèi)在聯(lián)系單元信號(hào):角頻率:（在虛軸上離散取值）2.傅里葉變換頻譜密度：（可以用復(fù)平面虛軸上的連續(xù)頻譜表示）單元信號(hào):角頻率:（在虛軸上連續(xù)取值）

復(fù)振幅：（為無窮小量）

實(shí)際上是把非周期信號(hào)分解為無窮多等幅振蕩的正弦分量之和。3.拉普拉斯變換象函數(shù)：（可以用s右半平面上的連續(xù)頻譜表示）單元信號(hào):復(fù)頻率:（在s右半平面上連續(xù)取值）

復(fù)系數(shù)：（為無窮小量）

實(shí)際上是把非周期信號(hào)分解為無窮多變幅（按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)或衰減）或等幅振蕩的正弦分量之和。1.單位沖激信號(hào)根據(jù)沖激函數(shù)作為廣義函數(shù)的定義：故即4.1.3常用信號(hào)的拉普拉斯變換由此，可以導(dǎo)出一些常用函數(shù)的拉氏變換。2.指數(shù)信號(hào)

e-tu(t)(這里

無任何限制)單位階躍信號(hào)u(t)拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系例如增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào)：：只有拉氏變換而無傅氏變換：拉氏變換、傅氏變換都存在，且例如衰減的指數(shù)信號(hào)：例如單位階躍信號(hào)：u

(t)：拉氏變換、傅氏變換都存在，但傅氏變換中含有沖激函數(shù)4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

在實(shí)際應(yīng)用中，通常不是利用定義式計(jì)算拉氏變換，而是巧妙地利用拉氏變換的一些基本性質(zhì)來求取。拉氏變換的有些性質(zhì)與傅氏變換性質(zhì)極為相似，只要把傅氏變換中的jω

用s

替代即可。但是傅氏變換是雙邊的，而我們這里討論的拉氏變換是單邊的，所以某些性質(zhì)又有差別。1.線性例：求單邊正弦信號(hào)和單邊余弦信號(hào)的拉氏變換。解：2.時(shí)移性例

求圖示鋸齒波f(t)

的拉氏變換解：根據(jù)時(shí)移性，有所以：利用時(shí)移性可以求單邊周期信號(hào)的拉氏變換設(shè)f1(t)

表示第一個(gè)周期的函數(shù)，則

說明周期信號(hào)的拉氏變換等于它第一個(gè)周期波形的拉氏變換F1(s)

乘以因子周期函數(shù)可以是廣義的，例如臺(tái)階函數(shù)例

求半波正弦函數(shù)的拉氏變換3.尺度變換（比例性）再應(yīng)用比例性，得解法一：先應(yīng)用時(shí)移性，可得例解法二：先應(yīng)用比例性，可得再應(yīng)用時(shí)移性，得4.頻移性與傅氏變換比較：這里，s0

可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)或復(fù)數(shù)。例5.時(shí)域微分主要用于研究具有初始條件的微分方程證明：根據(jù)定義例由于f(0-)不同，所求導(dǎo)數(shù)的拉氏變換不同。6.時(shí)域積分證明：由定義若積分下限由-

開始所以例7.復(fù)頻域微分與積分基本公式復(fù)頻域積分性質(zhì)時(shí)域積分性質(zhì)8.初值定理證明：利用時(shí)域微分性質(zhì)注意：例：已知，試求初值。實(shí)際上：如果不加以分析而直接套用公式，將會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)果。9.終值定理兩邊取s

趨于零的極限，得證明:根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)，有條件是：存在

這相當(dāng)于F(s)

的極點(diǎn)都在S平面的左半平面，并且如果在虛軸上有極點(diǎn)的話，只能在原點(diǎn)處有單極點(diǎn)。否則會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)果。其極點(diǎn)s=

在s平面的右半平面，不能用終值定理。例：已知，試求f(t)

的終值。解：因?yàn)镕(s)

的極點(diǎn)為s1=0，s2=-1

和s3=

-2，滿足終值定理的條件。所以有其它性質(zhì)：時(shí)域卷積定理復(fù)頻域卷積定理(無對(duì)稱性)例求下列函數(shù)的拉氏變換有下列公式例：求圖示函數(shù)f

(t)

的拉氏變換。解法一：按定義式求積分解法二：利用線性和時(shí)移定理解法三：利用時(shí)域微分性質(zhì)例求下列函數(shù)的單邊拉氏變換：解：4.3拉普拉斯反變換簡(jiǎn)單的拉普拉斯反變換：直接應(yīng)用典型信號(hào)的拉氏變換對(duì)及拉氏變換的性質(zhì)得到。例:例:例：解：例:解：頻域微分

部分分式展開法

常見的拉氏變換式是s的多項(xiàng)式之比，一般形式為如果N(s)

的階次高于D(s)的階次,可以用長(zhǎng)除法將F(s)化成多項(xiàng)式與真分式之和，例如多項(xiàng)式部分的拉氏反變換是沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，可以直接求得，例如所以只需討論真分式部分的拉氏反變換。1.D(s)

=0

的根都是實(shí)根且無重根其中例:解：遮擋法2.D(s)=0

的根有復(fù)根且無重根的反變換可以用配方法（或部分分式展開法.略）

上式右邊第二項(xiàng)仍用前述方法展開為部分分式，再利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等的方法即可求得

k1

和k2

。例：遮擋法配方法對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等法3.D(s)=0

的根有重根

k1p…k11可以通過對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等或代數(shù)恒等式法得到。例：用遮擋法，得代數(shù)恒等式法例:求下列函數(shù)的拉氏反變換：解：根據(jù)時(shí)移性質(zhì)，有解：（配方法）（長(zhǎng)除法）例:求下列函數(shù)的拉氏反變換：解：例:4.4連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

拉普拉斯變換分析法(復(fù)頻域分析法)是分析線性連續(xù)系統(tǒng)的有力工具：

1.它將時(shí)域中描述系統(tǒng)的微分方程變換為

s

域中的代數(shù)方程，便于運(yùn)算和求解；

2.由于變換時(shí)引入了初始狀態(tài)，所以能夠分別求解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，或者直接求解系統(tǒng)的全響應(yīng)。

3.不僅可以分析穩(wěn)定系統(tǒng)，也可以分析不穩(wěn)定系統(tǒng)。

4.不僅可以從微分方程求解系統(tǒng)的全響應(yīng)，也可以直接從電路求解。4.4.1求解系統(tǒng)微分方程以二階常系數(shù)線性微分方程為例：設(shè)激勵(lì)為有始信號(hào)，即對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換，利用時(shí)域微分性質(zhì)，有整理成例系統(tǒng)的微分方程為解：對(duì)微分方程取拉氏變換，得4.4.2分析電路

已知電路時(shí)，可根據(jù)復(fù)頻域電路模型，直接列寫求解復(fù)頻域響應(yīng)的代數(shù)方程。1.電阻元件電路元件的復(fù)頻域模型2.電容元件3.電感元件注意：（1）內(nèi)電源的方向；（2）串聯(lián)模型中，元件上的電壓為復(fù)頻阻抗上的電壓與內(nèi)電壓源的電壓之和。用電路的復(fù)頻域模型求解響應(yīng)的步驟1.電路中的每個(gè)元件都用其復(fù)頻域模型代替（初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的內(nèi)電源）；

2.信號(hào)源及各變量用其拉氏變換式代替；

3.畫出電路的復(fù)頻域模型；

4.

應(yīng)用電路分析的各種方法和定理求解響應(yīng)的變換式。

5.反變換得響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式。例：解：畫出復(fù)頻域模型如圖所示，其中由KVL得零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)全響應(yīng)例：電路的復(fù)頻域電路模型如圖所示，列節(jié)點(diǎn)方程代入數(shù)據(jù)整理得4.5系統(tǒng)函數(shù)4.5.1系統(tǒng)函數(shù)例：已知系統(tǒng)的微分方程為試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)。解：在零狀態(tài)條件下，對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換，得所以，例：試求圖示電路的系統(tǒng)函數(shù)。解：電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型如圖利用電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型求解。4.5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)圖zj稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)pk稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)圖：是系統(tǒng)函數(shù)的另一種表示方法。零點(diǎn)用“°”表示，極點(diǎn)用“×”表示，若為l

重零點(diǎn)或極點(diǎn)，則注以(l)。

實(shí)際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)必定是復(fù)變量s

的實(shí)有理函數(shù)，其零、極點(diǎn)一定是實(shí)數(shù)或成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。例如例:已知系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖，并且該系統(tǒng)階躍響應(yīng)的終值為3

試寫出系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式。解：依題意知4.5.3系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的關(guān)系1.已知系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布就可確定系統(tǒng)沖激響應(yīng)的變化規(guī)律。根據(jù)極點(diǎn)所在位置分成三種情況：（a）H(s)

的所有極點(diǎn)都為單極點(diǎn)1.S平面的左半平面（1）在實(shí)軸上，由于此時(shí)，響應(yīng)呈指數(shù)衰減此時(shí)，響應(yīng)呈衰減的正弦振蕩（2）極點(diǎn)為成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)，且實(shí)部為負(fù)，由于2.S平面的虛軸（1）在原點(diǎn)，由于3.S平面的右半平面（1）在實(shí)軸上，，響應(yīng)呈指數(shù)增長(zhǎng)。（2）極點(diǎn)為成對(duì)出現(xiàn)的虛數(shù)，由于，響應(yīng)呈等幅振蕩。（2）極點(diǎn)為成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)，且實(shí)部為正，響應(yīng)呈增長(zhǎng)的正弦振蕩。（b）若

H(s)

具有

n

重極點(diǎn)，則沖激響應(yīng)的模式中將含有

tn-1

因子。（c）

H(s)

零點(diǎn)分布的情況只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，而對(duì)沖激響應(yīng)的模式?jīng)]有影響。（d）當(dāng)

H(s)

為假分式時(shí)，應(yīng)先化成多項(xiàng)式與真分式之和。多項(xiàng)式部分表示沖激響應(yīng)中含有沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，再分析真分式部分所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)模式。4.5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定系統(tǒng)：對(duì)于有界的激勵(lì)產(chǎn)生有界的響應(yīng)的系統(tǒng)。2.系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別（1）穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)的所有極點(diǎn)均位于s

左半平面。（2）臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)在虛軸上（包括原點(diǎn)）有一階極點(diǎn)，其余的所有極點(diǎn)均位于s

左半平面。（3）不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有位于s

右半平面的極點(diǎn)，或在虛軸上（包括原點(diǎn)）有二階以上的極點(diǎn)。例已知系統(tǒng)函數(shù)，試問常數(shù)K

滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？

解：由系統(tǒng)函數(shù)要使極點(diǎn)都在左半平面，必須使解得K<3，所以當(dāng)K<3時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。H(s)的極點(diǎn)為4.6連續(xù)系統(tǒng)的模擬4.6.1基本運(yùn)算器

系統(tǒng)的模擬不是對(duì)系統(tǒng)的仿制，而是指數(shù)學(xué)意義上的等效，使模擬系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型。1.加法器：