高數對面積的曲面積分

高數對面積的曲面積分1第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二引例:設曲面形構件具有連續(xù)面密度類似求曲線形構件質量的思想,采用可得

“分割，近似，求和，取極限”

的方法,求質量M.其中,表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).9.3.1對面積的曲面積分（第一類曲面積分）2第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二定義9.3.1設為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中叫做被積

是定義在上的一個有界函數,記作或第一類曲面積分。若對做任意分割和局部區(qū)域任意取點,則稱此極限為函數在曲面上對面積函數,叫做積分曲面,dS叫做曲面面積元素。3第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二據此定義,曲面形構件的質量為曲面面積為注：則有：若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面4第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二則對面積的曲面積分存在。在光滑曲面上連續(xù),?積分的存在性:5第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二------與對弧長的曲線積分性質類似（1）關于被積函數的線性性質（2）關于積分曲面的可加性（3）關于被積函數的不等式性質（4）估值定理（5）積分中值定理對面積的曲面積分的性質

6第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二7第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二定理設有光滑曲面

在上連續(xù),存在,且有對面積的曲面積分的計算法

則曲面積分證明由定義知8第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二而(光滑)9第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二說明

1）計算方法可概括為“一代、二換、三投影，曲面積分化為二重積分”?！耙淮睂⒋氡环e函數，得；“二換”將dS換成相應的曲面面積元素的表達式：如，則“三投影”認清在平面上的投影區(qū)域，二重積分是在區(qū)域上進行的。10第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二如：球面、柱面的面積元素可有類似的公式.2)如果曲面方程為3)若曲面為參數方程,只要求出在參數意義下dS的表達式,也可將對面積的曲面積分轉化為對參數的二重積分。11第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二回顧球面坐標下的體積元素

為了把三重積分中的變量從直角坐標變換為球面坐標，用三組坐標平面r=常數，=常數，θ=常數把積分區(qū)域Ω分成許多小閉區(qū)域?？紤]由r，,θ各取得微小增量dr，，dθ所成的六面體的體積（如圖）。不計高階無窮小，可把這個六面體看作長方形，其經線方向的長為，緯線方向的寬為，向徑方向的高為dr，于是得這就是球面坐標系中的體積元素。dθxyzrdrrOθ12第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例1計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解13第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二思考若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則14第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二奇偶函數在對稱曲面上的積分性質15第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二16第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例2解17第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二（或直接由對稱性）18第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例3

計算其中是由平面坐標面所圍成的四面體的表面.解設上的部分,則與

原式=分別表示在平面19第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例4

計算，其中：被柱面割下的有限部分。

解

ya2aOx20第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二說明

Σ也可往yOz或zOx平面投影而計算此曲面積分，但投影區(qū)域的表示及二重積分的計算都較復雜。ya2aOx21第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例5

設計算解錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域為則22第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二思考若例3

中被積函數改為計算結果如何?23第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二解Σ關于xOy平面對稱，所以Σ關于zOx平面對稱，所以所以例6

求

利用重心公式A24第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例7計算其中是球面利用對稱性可知解顯然球心為半徑為利用重心公式25第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例8求半徑為R

的均勻半球殼的重心。解設的方程為利用對稱性可知重心的坐標而用球面坐標系26第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例9

計算解取球面坐標系,則27第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例10

計算其中是介于平面之間的圓柱面分析若將曲面分為前后(或左右)則解取曲面面積元素兩片,則計算較繁。28第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二例11求橢圓柱面位于xoy面上方及平面

z=y

下方那部分柱面的側面積S

。解取29第二十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期二內容小結1.定義:2.計算:設則(曲面