高數(shù)第九章多元函數(shù)的基本概念

高數(shù)第九章多元函數(shù)的基本概念第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二

第九章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集E

及一點(diǎn)P:若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)

聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點(diǎn))第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二D(3)開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開(kāi)集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域,簡(jiǎn)稱區(qū)域;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作E;第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二

整個(gè)平面點(diǎn)集是開(kāi)集，

是最大的開(kāi)域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無(wú)第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).記作即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二的距離記作中點(diǎn)

a

的

鄰域?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束規(guī)定為與零元O

的距離為第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如,二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說(shuō)明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n

元函數(shù)點(diǎn),則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對(duì)一記作都有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1.

設(shè)求證：證:故總有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束要證第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2.

設(shè)求證：證：故總有要證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3

求極限解其中第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二不存在.觀察播放第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.例3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱n

元函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束連續(xù).連續(xù),第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例5

討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時(shí)第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二例6

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二又如,

函數(shù)上間斷.在圓周機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開(kāi)集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11題

2;4;5(3),(5)(畫圖

);8P72題

3;4機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二解答提示:P11題2.稱為二次齊次函數(shù).P11題4.P11題5(3).定義域P11題5(5).定義域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二P12題8.間斷點(diǎn)集P72題3.定義域P72題4.令y=kx

，若令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,則可見(jiàn)極限不存在第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束總結(jié)1.計(jì)算多元函數(shù)的極限常用方法(1)利用不等式,使用兩邊夾法則；(2)變量替換化成已知極限,或化為一元函數(shù)的極限；(3)利用初等函數(shù)的連續(xù)性,利用極限的四則運(yùn)算；(4)化為極坐標(biāo)形式求極限(5)若事先能猜測(cè)出極限值,可用極限的定義進(jìn)行證明.第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:例1.求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:例2.求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求解:用極坐標(biāo).第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:例4.求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:例5.求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束總結(jié)2.證明二元函數(shù)極限不存在常用方法(1)證明某個(gè)特殊路徑的極限不存在；(2)證明兩個(gè)特殊路徑的極限不相等；(3)證明兩個(gè)累次極限不相等；(4)化為極坐標(biāo)形式,證明極限跟幅角有關(guān)；第四十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)(0,0)的極限.例1.

討論函數(shù)解:注意到當(dāng)y=-x

時(shí),分母為0.取則在(0,0)點(diǎn)極限不存在.第四十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2