高等數(shù)學(xué)級數(shù)

高等數(shù)學(xué)級數(shù)第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二即第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二用定積分表示為第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二三、物理意義---環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:.),,(),,(),,(),,(按所取方向的環(huán)流量沿曲線稱為向量場上的曲線積分中某一封閉的有向曲線則沿場設(shè)向量場CARdzQdyPdxldACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACCrrrrrrrròò++==G++=2.旋度的定義:第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二9-46（1）第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二這里是有向折線第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二可選路徑AEFC，則請思考：能否取折線第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第十章級數(shù)LeonhardEuler(1707-1783)我國早在魏晉時(shí)代(公元200-350年)，劉徽已經(jīng)用無窮級數(shù)的概念來計(jì)算圓的面積了。直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉開辟了無窮級數(shù)的理論研究。第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二一、問題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二

從上例可知：無限和可能存在（例1、2），可能不存在（例3），無限和是與有限和有重大區(qū)別的新概念．

那么，在什么條件下無限和是一個(gè)確定的數(shù)？在什么條件下無限和不是一確定的數(shù)，這就構(gòu)成了研究數(shù)項(xiàng)級數(shù)最基本的問題．第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二二、級數(shù)的概念1.級數(shù)的定義:(數(shù)列項(xiàng))無窮級數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列級數(shù)的部分和第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二2.級數(shù)的收斂與發(fā)散:第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二余項(xiàng)無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”．第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推播放第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二周長為面積為第次分叉：第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二于是有結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．雪花的面積存在極限（收斂）．第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二解第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二論級數(shù)的斂散性的方法就成為研究無窮級數(shù)根據(jù)定義來討論無窮級數(shù)的斂散性,將面臨部分和數(shù)列Sn的計(jì)算(即n

項(xiàng)求和問題).于是研究出不從定義出發(fā)(從而回避Sn的計(jì)算)討問題的關(guān)鍵.為此我們先討論無窮級數(shù)的一些基本性質(zhì)

從上面例子可知:第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二三、基本性質(zhì)結(jié)論:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二解第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二證明

類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性.第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二證明第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二四、收斂的必要條件證明級數(shù)收斂的必要條件:第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二注意1.如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二五、小結(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念基本斂散法第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二作業(yè)習(xí)題10-1.1；2（3）；5.第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期二觀察雪花分形過程第一次分叉：