高等數(shù)學課件映射與函數(shù)

高等數(shù)學課件映射與函數(shù)第一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二一、集合1.集合概念:集合：具有某種特定屬性的事物的全體.

用A、B、C表示.第二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二有限集：由有限個元素構成的集合.無限集：由無限個元素構成的集合.集合的元素：組成這個集合的事物稱為該集合的元素.用a,b,c表示.集合的表示法：列舉法：按任意順序列出集合的所有元素,并用花括號{}括起來.特點：具有明顯性,適用于有限集.第三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二構造式法：集合與元素間的關系：（屬于）集合與集合的關系：（包含）特點：具有明確性,適用于任何集合.第四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集集合A內(nèi)排除0的數(shù)集.集合A內(nèi)排除0與負數(shù)的數(shù)集.集合集合集合集合集合第五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二不含任何元素的集合稱為空集.空集為任何集合的子集.

若，且,則稱A是B的真子集,記為.第六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二2、集合的運算

是二個集合，定義設A、B(A與B的并集)(A與B的交集)(A與B的差集)設I表示我們研究某個問題的全體,則其他集合A都是I的子集,稱I為全集或基本集.A的余集或補集記為:例如:在實數(shù)集R中則有第七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二設A、B、C為任意三個集合，則有下列法則成立：（1）交換律（2）結(jié)合律（3）分配律（4）對偶律以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗證.第八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二證明:兩個集合的并集的余集等于它們的余集的交集.證明:且且反之,且注:在以后的證明中,“”表示“推出”(或“蘊含”),“”表示“等價”.且于是第九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二直積或笛卡兒乘積例如：為xOy面上全體點的集合，記為RR第十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,3.區(qū)間和鄰域第十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二無限區(qū)間用數(shù)軸可以表示區(qū)間,區(qū)間常用I表示.引進記號：（讀作無窮大）（讀作正無窮大）+∞(讀作負無窮大）－∞

第十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二鄰域:鄰域就是開區(qū)間第十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二

點a的去心鄰域：注若不強調(diào)δ的大小，點a的鄰域記為U(a)點a的左δ鄰域:開區(qū)間(a-δ,a)點a的右δ鄰域:開區(qū)間(a,a+δ)第十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二二、映射1.

映射(mapping)的概念第十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二第十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二2.關于映射定義的說明(1)

構成映射的三要素:

)3(第十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二3.單射、滿射、一一映射第十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二例1該映射既非單射,又非滿射.第二十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二例2該映射的幾何意義:

將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區(qū)間[–1,1]上.該映射不是單射,是滿射.第二十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二例3該映射既是單射,又是滿射,故而是一一映射.第二十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二4.逆映射與復合映射第二十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二注意:第二十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二例4第二十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二映射又稱為算子.根據(jù)集合X、Y的不同情形,在不同的數(shù)學分支中,映射又有不同的慣用名稱.如:從非空集合X到數(shù)集Y的映射又稱為X上的泛函.從非空集合X到它自身的映射又稱為X上的變換.從實數(shù)集(或其子集)X到實數(shù)集Y的映射稱為定義在X上的函數(shù).第二十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第二十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二三、函數(shù)1.函數(shù)概念因變量自變量定義設數(shù)集，則稱映射為定義在D上的函數(shù)，通常簡記為D稱為定義域,記作,即.第二十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二對每個,按對應法則f

總有唯一確定的值y與之對應,這個值稱為函數(shù)f

在x處的函數(shù)值,記作f(x),即y=f(x).函數(shù)值f(x)的全體所構成的集合稱為函數(shù)f

的值域,記作或f(D),即第二十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射,其值域總在R內(nèi).函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則f.如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.作業(yè)第7題第三十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二約定:定義域是自變量所能取的使算式有(實際)意義的一切實數(shù)值.如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．例如:第三十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二對于多值函數(shù),往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如,在由方程給出的對應法則中,附加“”的條件,就可得到一個單值分支第三十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點集稱為函數(shù)的圖形.第三十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo定義域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.第三十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過x的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線[1.2][-2.5]=1=-330定義域D=(－∞,+∞),值域=Z.第三十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二例3函數(shù)y=2它的定義域值域它的圖形是一條平行于x軸的直線.Oxyy=2第三十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二例4函數(shù)定義域D=(－∞,+∞),這個函數(shù)稱為絕對值函數(shù).Oxy值域=[0,+∞).第三十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:第三十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二分段函數(shù)：在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為

分段函數(shù)。

第三十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二例5函數(shù)是一個分段函數(shù).它的定義域D=[0,+∞).如:yxO1第四十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二例6解：分段函數(shù)的定義域，是使函數(shù)有定義的實數(shù)的全體.故（1）的定義域

（2）的定義域第四十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二第四十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二2、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)D有界無界M-MyxoD1．函數(shù)的有界性:第四十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二(2)有界與否是和D有關的.(1)當一個函數(shù)有界時，它的界是不唯一的.注意:使(3)證明無界的方法:對于任意正數(shù)M,總存在第四十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二1.有界4.無界,有界.第四十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo第四十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二xyo第四十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二3.單調(diào)增4.單調(diào)減,單調(diào)增.第四十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-xsocx第四十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二奇函數(shù)yxox-xSinx，tanx第五十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二5.偶函數(shù)6.奇函數(shù)7.非奇非偶函數(shù)第五十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.函數(shù)sinx,cosx的周期是函數(shù)tanx的周期是第五十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo例10狄利克雷函數(shù)它是一個周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒有最小正周期.第五十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二3.反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)的定義:設函數(shù)是單射,則它存在逆映射稱此映射為函數(shù)f

的反函數(shù).如:函數(shù)是單射,其反函數(shù)為若函數(shù)f(x)在D上是單調(diào)函數(shù),則也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).注意：反函數(shù)的求法第五十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二DD)(xfy=函數(shù)第五十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線對稱.相對于反函數(shù)原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù).第五十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二復合函數(shù)定義:定義,且函數(shù)u=g(x)在D上有則由下式確定的函數(shù)稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)構成的復合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f

構成的復合函數(shù)通常記為設函數(shù)的定義域為的定義域為設函數(shù)第五十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二函數(shù)g與函數(shù)f

構成復合函數(shù)的條件是:函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f

的定義域內(nèi),即注意：1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;第五十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二∴是由這三個函數(shù)復合而成的。2.復合函數(shù)可以由兩個以上的簡單函數(shù)經(jīng)過復合構成.第五十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二4.函數(shù)的運算設函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：和(差)積商;),()())((Dxxgxfxgf?±=±第六十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二5、基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)定義域：視的取值而定。第六十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二偶奇增增奇減第六十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二2、指數(shù)函數(shù)第六十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二3、對數(shù)函數(shù)第六十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二4、三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)第六十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二奇有有偶奇奇周期內(nèi)增周期內(nèi)減第六十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期二5、反三角函數(shù)定義域：[-1，1]值域：主值區(qū)間：主值分支：第六十七