高職高專(zhuān)數(shù)字電路邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

高職高專(zhuān)數(shù)字電路邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)第一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第一節(jié)邏輯函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式一、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式

同一個(gè)邏輯函數(shù)可以寫(xiě)成不同形式的邏輯表達(dá)式。在邏輯電路設(shè)計(jì)中，邏輯函數(shù)最終要用邏輯電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，化簡(jiǎn)和變換邏輯函數(shù)可以簡(jiǎn)化電路、節(jié)省器材、降低成本、提高系統(tǒng)的可靠性。邏輯函數(shù)有五種基本表達(dá)式：與或式、或與式、與非－與非式、與－或－非式。第二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如第三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二與或式和或與式是最常用的邏輯表達(dá)式。最簡(jiǎn)與或式的標(biāo)準(zhǔn)是：①含的與項(xiàng)最少；②各與項(xiàng)中含的變量數(shù)最少。最簡(jiǎn)或與項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)是：①含的或項(xiàng)最少；②各或項(xiàng)中含的變量數(shù)最少。與或式可變換成與非－與非式第四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二或與式變換成或非－或非式

二、最小項(xiàng)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)是構(gòu)成邏輯函數(shù)的最小因子。在n變量邏輯函數(shù)中，每一變量都作為一個(gè)因子第五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二相乘而得到的n因子乘積項(xiàng)稱(chēng)為該函數(shù)的最小項(xiàng)。在一個(gè)最小項(xiàng)中，每個(gè)變量不是以原變量就是以反變量形式出現(xiàn)并僅出現(xiàn)一次。在n變量邏輯函數(shù)中，n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最小項(xiàng)。如3變量A、B、C構(gòu)成的任何邏輯函數(shù)，都有23＝8個(gè)最小項(xiàng)；同理4變量的邏輯函數(shù)有24＝16個(gè)最小項(xiàng)。第六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二三變量最小項(xiàng)、編號(hào)及符號(hào)第七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二

第二節(jié)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)一、代數(shù)法化簡(jiǎn)代數(shù)法化簡(jiǎn)是利用邏輯代數(shù)的公式、和有關(guān)定理、規(guī)則，對(duì)邏輯表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

1.并項(xiàng)法利用并項(xiàng)公式并兩項(xiàng)為一項(xiàng)，并消去一個(gè)互補(bǔ)因子。【例題1】第八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二【例題2】【例題3】⊙第九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.吸收法利用公式A＋AB＝A，吸收多余與項(xiàng)。【例題4】【例題5】第十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.消去法利用吸收律:【例題6】第十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.配項(xiàng)法函數(shù)式增加適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，進(jìn)而可消去原來(lái)函數(shù)中的某些項(xiàng)?！纠}7】化簡(jiǎn)函數(shù)解：第十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二歸納簡(jiǎn)化任意邏輯函數(shù)的方法：第十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二

第三節(jié)邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

用代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，需要依賴經(jīng)驗(yàn)和技巧，有些復(fù)雜函數(shù)還不容易求得最簡(jiǎn)形式。下面介紹的卡諾圖化簡(jiǎn)法，是一種更加系統(tǒng)并有統(tǒng)一規(guī)則可循的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)法。

（一）卡諾圖的構(gòu)成

1.基本原理對(duì)應(yīng)于一組N個(gè)邏輯變量，則函數(shù)共有2N個(gè)最小項(xiàng)。如果把每個(gè)最小項(xiàng)用一個(gè)小方格表示，再將這些小方格以格雷碼順序排列，就可以構(gòu)成N個(gè)變量的卡諾圖。第十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二

卡諾圖的特點(diǎn)是：在幾何位置上相鄰的最小項(xiàng)小方格在邏輯上也必定是相鄰，即相鄰兩項(xiàng)中有一個(gè)變量是互補(bǔ)的。

2.構(gòu)圖（1）二變量卡諾圖二變量有22＝4個(gè)最小項(xiàng)第十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二

（2）三變量卡諾圖第十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二（3）四變量卡諾圖第十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示

1.將邏輯函數(shù)變換成標(biāo)準(zhǔn)“與或”式（最小項(xiàng)表達(dá)式）

2.在表達(dá)式中含有最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的小方格填入“1”，其余位置則填入“0”，便得該函數(shù)的卡諾圖?！纠}1】則在四變量卡諾圖中對(duì)應(yīng)m1、m7、m12的小方格中填入“1”，其余位置填入“0”。如圖所示的卡諾圖。第十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第十九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二【例題2】函數(shù)解：卡諾圖第二十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理，是依據(jù)關(guān)系式即兩個(gè)“與”項(xiàng)中，如果只有一個(gè)變量互反，其余變量均相同，則這兩個(gè)“與”項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，消去其中互反的變量。相鄰最小項(xiàng)用矩形圈圈起來(lái)，稱(chēng)為卡諾圈。在合并項(xiàng)（卡諾圈）所處位置上，若某變量的代碼有0也有1，則該變量被消去，否則該變量被保留，并按0為反變量，1為原變量的原則寫(xiě)成乘積項(xiàng)形式的合并項(xiàng)中。第二十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二C+BA12第二十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二123第二十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二畫(huà)卡諾圈所遵循的規(guī)則：（1）必須包含所有的最小項(xiàng)；（2）按照“從小到大”順序，先圈孤立的“1”，再圈只能兩個(gè)組合的，再圈只能四個(gè)組合的……；（3）圈的圈數(shù)要盡可能少（乘積項(xiàng)總數(shù)要少）；（4）圈要盡可能大（乘積項(xiàng)中含的因子最少）不論是否與其它圈相重，也要盡可能地畫(huà)大，相重是指同一塊區(qū)域可以重復(fù)圈多次，但每個(gè)圈至少要包含一個(gè)尚未被圈過(guò)的“1”。第二十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二【例題1】用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

F（A,B,C,D）＝∑m（0,3,4,6,7,9,12,14,15）1111111110001111000011110ABCD第二十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二【例題2】用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

F（A,B,C,D）＝∑m（1,5,6,7,11,12,13,15）111111110001111000011110ABCD第二十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二【例題3】用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)第二十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、包含無(wú)關(guān)項(xiàng)（don，tcare）的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)（1）無(wú)關(guān)項(xiàng)的含意

無(wú)關(guān)項(xiàng)是約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的統(tǒng)稱(chēng)。

約束項(xiàng)：在分析某些具體的邏輯函數(shù)時(shí)，會(huì)遇到這樣一種情況，即輸入的變量取值不是任意的。對(duì)輸入變量取值所加的限制稱(chēng)為約束。同時(shí)把這一組變量稱(chēng)為具有約束的一組變量。例如，有三個(gè)邏輯變量A、B、C，分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。因?yàn)殡妱?dòng)機(jī)第二十九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二一個(gè)n變量的邏輯函數(shù)并不一定與2n個(gè)最小項(xiàng)都有關(guān)，有時(shí)，它僅與其中一部分有關(guān)，而與另一部分無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)這另一部分最小項(xiàng)為“1”或?yàn)椤?”均與邏輯函數(shù)的邏輯值無(wú)關(guān)，我們稱(chēng)這些最小項(xiàng)為無(wú)關(guān)最小項(xiàng)，用“d”來(lái)表示。具有無(wú)關(guān)最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)常常稱(chēng)為具有約束條件的邏輯函數(shù)。任何時(shí)候只能執(zhí)行其中一種命令，所以不允許兩個(gè)以上的變量同時(shí)為1。

ABC的取值只可能是：001、010、100，當(dāng)中的一種，而不能是000、011、101、110、111中的任何一種。第三十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如用8421BCD碼表示十進(jìn)制數(shù)，則四位BCD碼輸入B3B2B1B0只有0000,0001……1000,1001十種輸入組合，其余1010,1011,1100,1110，1111六種組合不可能出現(xiàn)，它們是8421BCD碼的無(wú)關(guān)組合，與這些組合相對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)：與邏輯函數(shù)輸出數(shù)值無(wú)關(guān)，因此它們是無(wú)關(guān)最小項(xiàng)。

第三十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）包含無(wú)關(guān)最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)由于無(wú)關(guān)最小項(xiàng)為“1”為“0”對(duì)實(shí)際輸出無(wú)影響，因此在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，可以根據(jù)化得最簡(jiǎn)函數(shù)式的需要來(lái)處理無(wú)關(guān)最小項(xiàng)?！纠}12】化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)F（A、B、C、D）＝∑m（1,3,5,7,9）＋∑d（10,11,12,13,14,15）【解】作四變量卡諾圖：第三十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二【例題】P934.7（3）用卡諾圖化簡(jiǎn)下列函數(shù)為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。［解］畫(huà)四變量卡諾圖第三十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二【例題】P934.9（3）用卡諾圖法化簡(jiǎn)下列具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)。11××11×11ABCD0001111000011110第三十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二

【例題1】試用卡諾圖法化簡(jiǎn)下列函數(shù)為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

F（A、B、C、D、E）＝∑（4，5，6，7，13，15，20，21，22，23，25，27，29，31）［解］這是一個(gè)五變量邏輯函數(shù)，所對(duì)就的卡諾圖屬多變量的卡諾圖。由于5個(gè)變量具有25＝32個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的卡諾圖有32個(gè)小方格，其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，使得最小項(xiàng)之間的相鄰關(guān)系，不是能直觀看出。下面我們先對(duì)五變量卡諾圖的結(jié)構(gòu)作介紹：第三十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二013267548911101415131224252726303129281617191822232120ABCDE00011110000001011010110111101100第三十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二

五變量卡諾圖四邏輯變量卡諾圖以紅線為軸向右翻轉(zhuǎn)而成。其相鄰最小項(xiàng)，除了“左鄰右舍，同根同祖”外，紅線兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)也是相鄰項(xiàng)。相當(dāng)于以紅線對(duì)折。第三十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二00001111000001100110011000001111ABCDE00011110000001011010110111