高數(shù)課件一正項級數(shù)及其審斂法

設un和vn均為正項級數(shù) 且un￡vn(n12L),若vn收斂,則un 反之，若un發(fā)散，則vn

證明 設s=

Qun￡vn且snu1u2+Lun￡v1v2+Lvn￡￥ \un收斂￥ =vk,s =uk= k=

un￡vn

要證若un發(fā)散，則vn發(fā)散 設snfi￥(nfi￥ 且un￡vn則sn￥

fi \vn發(fā)散 ’n 若vn發(fā)散且當nN時有unkvn(k0則un 1討論P1+

+1+

L1L的收斂性.p2 3 4 設p￡

npQ11 則P級數(shù)發(fā)散np設p>1,由圖可知 =

y=1(py=1(p>xo1234n =1+1+1+L+2 3

n n-1x2 3

￡1+

xp+2x

+L

n-1x =1+1+1+L+

￡1

2

+3dx+L

=1+1-x=1+1-x1- x==1+p-1

x

2x

n-1x=1x=1xn1)<1+p- 則P-級數(shù)收斂.(p> ￥

￡

np ? 則級數(shù)un收斂；若n

n，則級數(shù)unP

證明

> n1 ( ￥11n+n n+n

n+

=￥

發(fā)散 un

vn都是正項級數(shù)

nfi￥v

=l則(10l￥時二級數(shù)有相同的斂散性 當l=0時，若vn收斂則u n=

n=l

時若vn則un發(fā)散 證明(1)由lim =nnfi￥n

l0,$N當nN時2

l-<n<l

即vnun

vn (n>N

如果 unfi￥v

l￥￥

u￥l0￥

n=

nn

收斂l

時

vn

則

un發(fā)散由lim =

nfi￥

對于e> $N,當n>N時 ￥

即un<vn (n>N￥若vn收斂，則un 由lim =￥lim = 對于e>nfi￥ nfi￥$N當nN時

-e<

vn

(n>N若vn發(fā)散，則un

￥￥如果limnunl

(或lim

=￥),

lim =nfi￥￥

nfi

nfi￥n如果有p>1,使得limnpu存在 ￥則級數(shù)￥

nfi

nfi￥np3

sin

n

3n-n解

Qlimnsinnfi 1

=nfi

n1n

(2)Qlim3n-n=

=nfi ￥￥

nfi

1-Q

3nu是正項級數(shù),如果 設

nfi￥

r(r數(shù)或￥則r1時級數(shù)收斂;r1時級數(shù)發(fā)散;r1證明當r為有限數(shù)時 對"e> $N,當n>N時有即

-r<

(n>N對"e> $N,當n>N時,r-e<un+1<r+ 取e<1- 使r=e+r<

(n>NuN

<

N

uN+3<ruN+2<

N LuN

<rm-

而級數(shù)￥￥

rm-

\uN+m=uu收斂 當r時,取er-1,使rre當nN時,un+1runun

limun nfi un設

+=r(r數(shù)或+￥

nfi￥則r1時級數(shù)收斂;r1時級數(shù)發(fā)散;r1￥

本質(zhì)是與級數(shù)ln 比較n=11.當r1￥1￥￥1￥n=1

nfi

n+1=12n2

n=1

發(fā)散

￥2￥2￥n=1￥

lim(n+

級數(shù)1收斂,nfi

n=1

un設

+=r(r數(shù)或+￥

nfi￥則r1時級數(shù)收斂;r1時級數(shù)發(fā)散;r1

￥2+(-2例Qun 2

￡

=vn

=n

收斂但

=an,lim

=1,lim =3n n

nfi

nfi

\lim nfi￥ nfi

不存在nn4判別下列級數(shù)的收斂性

￥ (2)￥

n

.n=1

n=11

n=1(2n-1)解(1)Q =(n+1)!=

fi <1(nfi￥￥ ￥

n+

收斂(2)Q

(n+1)!n

=n+

fi￥>1(nfi￥

10￥￥

例 (1

n=1n

￥n=￥

n!10

.n=1(2n-1) 2(3)Qlim =

(2n-1)

=nfi

(2nn

(2n-1)

Q

￥2n=1￥2

收斂

￥￥

2n(2n-

收斂￥n設n

=為數(shù)或￥)則r1 例如,

nnnn

1fi0nfi￥ n1n1 級數(shù)un ￥級數(shù)￥

例如判定級 un=n n

3+2(-535

u=1,u=5,u=1

u2

1 故limun+1

1 3

nfi￥1nn 1nn ￡un￡

=1<nn

￡bn￡cnn1,2,3...),級數(shù)ancn ￥求證：級 bn也收斂￥ 作0￡bnan￡cn￥

而an都收斂， ￥故(cnan也收斂

ananan(bnan)也收斂 定義 (-1n-1u或(-1

> 萊布尼茨定理如果交錯級數(shù)滿足條件:(ⅰ)un?un+1(n=1,2,3,L);(ⅱ)limun=0,nfi則級數(shù)收斂,且其和s￡u1,其余項rn的絕對值 ￡un+1萊布尼茨定理條件：(ⅰ)unun+1(n1,2,3,L);(ⅱ)limun0,則級數(shù)收斂,且其和s￡u1,其余項nfi的絕對值rn￡Qun-1unQs2n=(u1-u2)+(u3-u4)+L+(u2n-1-u2n又s2n=u1-(u2-u3)-L-(u2n-2-u2n-1)- s2n是有界的\lims2n=s￡u1.nfi定理條件：(ⅰ)unun+1(n1,2,3,L);(ⅱ)limun0,則級數(shù)收斂,且其和s￡u1,其余項nfi的絕對值rn￡Qlimu2n+1=nfi\lims2n+1=nfi nfi

+u2n+1)=s,且s￡ =un+1-

+L \

￥5判別級數(shù)￥n=

nn-n

xxx-

x x(x-x

< (x?

x-

n = = nnfi￥ nfi￥n- 定理若un收斂,則un 證明令 =1(u+u (n=1,2,L),2 2￥顯然vn? 且vn￡un

vn收斂,￥又Qun(2vnun

un 若ununun ）

） 例 判別級

nn2

￥

￡

￥￥

1收斂n2\

收斂 例

sinsinn

n=1n

￥(-解

發(fā)散 n=1

但

收斂n

NNYYYYNNNYNN設正項級數(shù)u設正項級數(shù)u收斂,能否推得 2 由正項級數(shù)u收斂，可以推得u2 u2uQlim

=lim =nfi￥

nfi

￥u

￥ ￥ ￥n 例如：n

SnfiS,則級數(shù)收斂nfi￥unfi0,則級數(shù)發(fā)散 習題11-2(2061.(2)2.(3)3.(2)4.(5)5.

1、p-級數(shù) ￥￥ 二、用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂￥￥

+L

2、

(a> 3

1

3

+L

n

nn

1、[ln(n