中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)練習(xí)考向36 最值問題（隱形圓問題）（含答案詳解）

試卷第=page44頁，共=sectionpages66頁考向36：最值問題（隱形圓問題）【考點(diǎn)梳理】模型一：定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓模型探究：如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長(zhǎng)度固定，則動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓．【推廣】在折疊或旋轉(zhuǎn)問題中，有時(shí)會(huì)利用“定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓”模型確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．模型二：定弦定角作圓模型探究：若已知定弦AB，定角∠C，要確定頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，需分三種情況：（1）如圖①，在⊙O中，當(dāng)∠C＜90°時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為優(yōu)弧ACB；（2）如圖②，在⊙O中，當(dāng)∠C＝90°時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為半圓；（3）如圖③，在⊙O中，當(dāng)∠C＞90°時(shí)，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為劣弧AB.圖①圖②圖③常見張角計(jì)算(關(guān)鍵定圓心)：模型三：四點(diǎn)共圓（1）如圖①、②，共斜邊的兩個(gè)直角三角形，同側(cè)或異側(cè)，都有A、B、C、D四點(diǎn)共圓2）如圖③若∠A+∠C=180°，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓.如圖④固定線段AB同側(cè)若∠P=∠C，則A、B、C、P四點(diǎn)共圓.圖③圖④【題型探究】題型一：隱形圓1．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．如圖，四邊形中，，，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則面積的最小值為______．3．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，M為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________________．【必刷好題】一、單選題4．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．如圖，的半徑是，P是上一動(dòng)點(diǎn)，A是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）①PA的最小值為；②PA的最大值為；③當(dāng)時(shí)，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面積最大為．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④6．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)最大時(shí)，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．7．正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．2 C． D．二、填空題9．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為______．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．11．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，，BC=2，點(diǎn)E是DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，則點(diǎn)D到點(diǎn)F的最短距離為________．12．如圖，已知，外心為，，，分別以，為腰向形外作等腰直角三角形與，連接，交于點(diǎn)，則的最小值是______．13．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．14．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接等邊三角形，BC＝12，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，BE⊥OD于E，當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，線段AE的最大值是____．15．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是_________．三、解答題16．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長(zhǎng)為2的⊙O，點(diǎn)P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P，O，Q三點(diǎn)處于同一條直線時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．(1)求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度；(2)若M為弦PB的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)過程中CM的最大值．17．如圖，⊙O的直徑AB為2，C為⊙O上的一個(gè)定點(diǎn)，∠ABC＝30°，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD的最大值為__________________．18．【問題背景】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝150°，則PA2+PB2＝PC2．小剛為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)幫助小剛完成輔助線的作圖；【遷移應(yīng)用】如圖2，D是等邊△ABC外一點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，AD∥BE，∠BEC＝120°，求證：△DBE是等邊三角形；【拓展創(chuàng)新】如圖3，EF＝6，點(diǎn)C為EF的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線AE、BF交于點(diǎn)P，M為PG的中點(diǎn)，EF⊥FG于F，F(xiàn)G＝4，請(qǐng)直接寫出MC的最小值．19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．20．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，點(diǎn)A和點(diǎn)B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q均在射線AM上，若∠APB＝45°，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是；若∠AQB＜45°，則點(diǎn)Q與⊙O的位置關(guān)系是．問題解決：如圖②、圖③所示，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)．（2）當(dāng)∠APD＝45°時(shí)，求BP的長(zhǎng)度．（3）是否存在點(diǎn)P，使得∠APD最大？若存在，請(qǐng)說明理由，并求出BP的長(zhǎng)度；若不存在，也請(qǐng)說明理由．21．如圖，在等邊中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）如圖1，若，，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，點(diǎn)在的垂直平分線上，點(diǎn)在邊上，連接交于點(diǎn)，且，求證：；（3）如圖3，若，，，點(diǎn)、、分別是三邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，取線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，連接、，請(qǐng)直接寫出的最大值．參考答案：1．A【分析】先證明，即可得點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有：，則有：，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，問題隨之得解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有：，則有：，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，E∵，，∴，，∴，∴，故的長(zhǎng)度最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．2．【分析】取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，交于，則，通過計(jì)算得出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，求出最小值即可．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，交于，則，，，，，，，，，，，四邊形為等腰梯形，，，，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，，，，，，，，，，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，點(diǎn)位置的確定是解題關(guān)鍵．3．【分析】根據(jù)題意可知：點(diǎn)C在半徑為的⊙B上．在x軸上取OD=OA=6，連接CD，易證明OM是△ACD的中位線，即得出OM=CD，即當(dāng)OM最大時(shí)，CD最大，由D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，從而可求出CD的長(zhǎng)，最后即可求出OM的最大值．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，∴C在⊙B上，且半徑為，在x軸上取OD=OA=6，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=CD，∴即當(dāng)OM最大時(shí)，CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),∴OM=CD，即OM的最大值為，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，則M（4,4），故答案為：（4,4）．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí)．確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．4．D【分析】證明，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計(jì)算出答案．【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點(diǎn)N∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí)，BM最短∵，∴∴∵故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．5．C【分析】分析知當(dāng)A在線段PO上時(shí)，PA取最小值，A在PO延長(zhǎng)線上時(shí)，PA取最大值，可以判斷①②是否正確；當(dāng)∠OAP=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理求出AP的長(zhǎng)度，可以判斷③是否正確；作出A點(diǎn)的軌跡圓，知當(dāng)OA⊥PO時(shí)，三角形PAO面積取最大值，通過計(jì)算判斷④是否正確即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)A在線段PO上時(shí)，PA取最小值，A在PO延長(zhǎng)線上時(shí)，PA取最大值，∴PA的最小值為，PA的最大值為，故①②正確；當(dāng)∠OAP=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得：AP=，即AP=OA，三角形PAO為等腰直角三角形，故③正確；作出A點(diǎn)軌跡圓如下：知當(dāng)OA⊥PO時(shí)，三角形PAO面積取最大值，最大值為：，故④錯(cuò)誤，綜上所述，正確的序號(hào)為：①②③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、線段最值等知識(shí)點(diǎn)，借助圓的性質(zhì)判斷出線段的最值是解決本題的關(guān)鍵．6．A【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長(zhǎng)為半徑的圓，當(dāng)BD與該圓相切時(shí)，∠DBA最大，過C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函數(shù)計(jì)算出BD、CF的長(zhǎng)，代入面積公式求解即可．【詳解】解：由題意知，D點(diǎn)軌跡為以A為圓心AD的長(zhǎng)為半徑的圓，當(dāng)BD與D點(diǎn)的軌跡圓相切時(shí)，∠DBA取最大值，此時(shí)∠BDA=90°，如圖所示，過C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此時(shí)三角形ACE的面積==6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是利用D的軌跡圓確定出∠DBA取最大值時(shí)的位置．7．C【分析】首先證明，從而，再根據(jù)，可求，可知點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值．【詳解】解：如圖，取AD中點(diǎn)O，連接OG，以AO為斜邊作等腰直角三角形AOM，則，在和中，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，是直角三角形，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，如圖，連接BM，交圓M于，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴AP=MP==1，∴BP=4-1=3，在中，，∴．∴BH的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線，利用三角形相似以及點(diǎn)和圓的知識(shí)解決．8．D【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對(duì)稱性，得點(diǎn)P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最??；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算得，通過線段和差計(jì)算即可得到答案．【詳解】，，，，，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP，點(diǎn)P在以AB為直徑的上，連接OC交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小在中，，，，，最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、兩點(diǎn)之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．9．38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當(dāng)G在BH上時(shí)，三角形ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點(diǎn)軌跡圓，該軌跡與BH交點(diǎn)即為所求最小值時(shí)的G點(diǎn)，利用面積法求出BH、GH的長(zhǎng)，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當(dāng)G在BH上時(shí)，△ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點(diǎn)，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．10．##【分析】先由折疊判斷出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以D為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時(shí)BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時(shí)BD、BF的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以D為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，如圖所示，可知，當(dāng)點(diǎn)B、D、F共線，且F在B、D之間時(shí)，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識(shí)，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．11．2【分析】由題意易得點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓弧，連接BD，然后根據(jù)隱圓問題可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓弧，連接BD，交圓弧于點(diǎn)H，如圖所示：∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)F的距離為最短，∵四邊形ABCD是矩形，，BC=2，∴，∴，∴，即點(diǎn)D到點(diǎn)F的最短距離為2；故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查隱圓問題，矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析得出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡．12．【分析】由與是等腰直角三角形，得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得在以為直徑的圓上，由的外心為，，得到，如圖，當(dāng)時(shí)，的值最小，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：與是等腰直角三角形，，，在與中，，≌，，，，在以為直徑的圓上，的外心為，，，如圖，當(dāng)時(shí)，的值最小，，，，，．則的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．5【分析】因?yàn)镈G＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動(dòng)，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點(diǎn)，∴DG＝，∴點(diǎn)G在以D為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時(shí)，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．14．##【分析】連接，取中點(diǎn)，連接，求得，點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，求得當(dāng)共線且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，求解即可．【詳解】解：連接，取中點(diǎn)，連接，如下圖：∵，為中點(diǎn)∴∴點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上∴當(dāng)共線且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如上圖：∵△ABC為⊙O的內(nèi)接等邊三角形∴垂直平分，∴∴，∴，∴∴的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了圓與內(nèi)接正三角形的性質(zhì)，涉及了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形外心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用性質(zhì)確定出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．15．【分析】連接OA、OB，如圖1，由OA=OB=AB=2可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因?yàn)锳B=2，則要使△ABC的最大面積，點(diǎn)C到AB的距離要最大；由∠ACB=60°，可根據(jù)圓周角定理判斷點(diǎn)C在⊙D上，且∠ADB=120°，如圖2，于是當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積．【詳解】解：連接OA、OB，如圖1，∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠APB=∠AOB=30°，∵AC⊥AP，∴∠C=60°，∵AB=2，要使△ABC的最大面積，則點(diǎn)C到AB的距離最大，作△ABC的外接圓D，∵∠ACB=60°，點(diǎn)C在⊙D上，∴∠ADB=120°，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC為等邊三角形，且面積為AB2=，∴△ABC的最大面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等邊三角形的面積公式．16．(1)(2)【分析】（1）如圖，設(shè)結(jié)合題意可得：，結(jié)合正三角形的性質(zhì)求解再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）解：如圖，取的中點(diǎn)N，連接NM，NC，MC，過N作于K，過O作于E，證明M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，CM最大，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)結(jié)合題意可得：，為等邊三角形，而三點(diǎn)共線，解得：運(yùn)動(dòng)的總長(zhǎng)度為：（2）解：如圖，取的中點(diǎn)N，連接NM，NC，MC，過N作于K，過O作于E，為PB的中點(diǎn)，∴M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，CM最大，同理可得：則∴的最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，弧與圓心角的關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的構(gòu)造輔助圓，再求解線段的最大值是解本題的關(guān)鍵．17．##【分析】由同弦等角可知點(diǎn)D在以BC為弦的⊙O′（紅弧線）上運(yùn)動(dòng)，從而構(gòu)造輔助圓，故當(dāng)A、O′、D共線時(shí)，AD的值最大．求出此時(shí)AD的值即可解決問題．【詳解】解：∵AB是直徑，∠ABC＝30°，AB＝2，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，，，∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，∴∠PDC＝30°，∴點(diǎn)D在以BC為弦的⊙O′（紅弧線）上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)A、O′、D共線時(shí)，AD的值最大．如圖，連接CO′、BO′，∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，∴△O′BC是等邊三角形，∴,∠CBO′＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO′＝90°，∴，∴,∴線段AD的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°作圖即可；（2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行線的性質(zhì)得∠ADE＝∠BED＝60°，由等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圓，由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得證；（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圓C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，進(jìn)而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圓Q，則∠EQF＝120°，求出EQ，連接QG取中點(diǎn)N，由三角形中位線得MN，以點(diǎn)N為圓心MN為半徑作N，連接CN，與N交于點(diǎn)，即CM最小為，建立平面直角坐標(biāo)系求出即可．【詳解】（1）如圖1所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得；（2）∵∠BEC＝120°，∴∠BED＝60°，∵，∴∠ADE＝∠BED＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴A、D、B、C共圓，如圖2所示：∴∠ADB＝120°，∵∠ADE＝∠BED＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等邊三角形；（3）如圖3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，∴A、E、B、F共圓C，∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，∴∠APF＝∠ABC＝60°，∵∠EPF＝60°，EF＝6，作△EPF的外接圓Q，則∠EQF＝120°，QC⊥EF，∴∠EQC＝60°，∴，連接QG取中點(diǎn)N，則且，以點(diǎn)N為圓心MN為半徑作N，連接CN，與N交于點(diǎn)，即CM最小為，以點(diǎn)F為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，，∴,，∴CM最小為．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，解三角函數(shù)以及圓的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圓是解題的關(guān)鍵．19．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出結(jié)論；（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF，根據(jù)∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四點(diǎn)共圓，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AED＝∠AFD，∴當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最大．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，根據(jù)題意得出⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大是解題的關(guān)鍵．20．（1）點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)Q在⊙O外；（2）PB=2+或；（3）存在，?1【分析】（1）如圖①中，根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可判斷；（2）如圖2中，造等腰直角三角形△AOD，與O為圓心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．求出BP′和BP的長(zhǎng)即可解決問題；（3）作線段AD的垂直平分線，交AD于E，交BC于F，點(diǎn)O在EF上，以O(shè)A為半徑作⊙O，當(dāng)⊙O與BC相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APD最大，求出此時(shí)BP的值即可；【詳解】解：（1）如圖①中，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴點(diǎn)P在⊙O上，∵∠AQB＜45°，∴點(diǎn)Q在⊙O外．故答案為點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)Q在⊙O外．（2）如圖2中，如圖構(gòu)造等腰直角三角形△AOD，與O為圓心，OA為半徑作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．延長(zhǎng)DO交BC于H，∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°，∴∠OAB＝∠B＝90°，∴OA∥BC，∴∠DOA＝∠OHB＝90°，∴四邊形ABHO是矩形，∴AB＝OH＝1，OA＝BH，∵AD＝2，∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2，在Rt△OPH和Rt△OP′H中，易知HP＝HP′＝，∴BH＝OA＝2，∴BP′＝2?，PB＝2＋．（3）如圖③中，存在．作線段AD的垂直平分線，交AD于E，交BC于F，點(diǎn)O在EF上，以O(shè)A為半徑作⊙O，當(dāng)⊙O與BC相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APD最大，理由：在BC上任意取一點(diǎn)M，連接MA、MD，MD交⊙O于N，連接AN．∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND，∴∠APD＞∠AND，連接OP，延長(zhǎng)DA交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∵AB⊥BC，∠DAB＝135°，∴∠G＝∠EFG＝45°，∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，∵AB＝BG＝1，∴AG＝，∵AD＝2，OE⊥AD，∴AE＝ED＝，∴EG＝EF＝2，GF＝EG＝4，設(shè)OP＝PF＝r，則OF＝r，OE＝EF?OF＝2?r，在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，∴，解得r＝4?或4＋（舍棄），∴BP＝GF?GB?PF＝4?1?r＝?1．【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、圓周角與圓心角的關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用輔助圓解決問題．21．（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則AF∥DG，得到∠GDB=∠AEB，由，，得到，，則，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，由，可得，，再證明△ADE∽△ACF，得到，則，由此求解即可；（2）過點(diǎn)C作CM⊥AF于M，CN⊥BE于N，過點(diǎn)B作BK⊥AB交AG延長(zhǎng)線于K，在EF上取點(diǎn)P使得EP=ED，連接CP，先證明△CME≌△CNE得到CM=CN，從而可證Rt△CMA≌Rt△CNB得到∠CAM=∠CBE=45°，從而推出∠CEB=∠FEC=60°，由∠ABK=90°，∠BAK=45°，得到AB=BK=AC，∠K=∠BAK=45°，∠KBG=30°，則，證明△CPE≌△CDE得到∠CPE=∠CDE，再證明△CPA≌△BGK得到AP=GK，則；（3）先證明當(dāng)△KMN周長(zhǎng)最短時(shí)，BK⊥CE，即∠BKC=∠BKE=90°，由∠ETI=45°，可知T點(diǎn)在以EI為弦，圓周角∠ETI=45°的圓上運(yùn)動(dòng)，又∠BKI=90°，則T在以K為圓心，以KI的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，在BK上取一點(diǎn)Q使得，可證△TKQ∽△BKT，得到，則，故要想最大，則的值要最大，即的值要最大，則當(dāng)T、C、Q三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最大值為，由此求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，∴∠DGB=∠BAF=∠DGA=90°，∴AF∥DG，∴∠GDB=∠AEB，∵，，∴，，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴∠DAG=60°，AC=AB=8，∴∠ADG=30°，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵DE∥CF，∴△ADE∽△ACF，∴，∴，∴，∴；（2）如圖所示，過點(diǎn)C作CM⊥AF于M，CN⊥BE于N，過點(diǎn)B作BK⊥AB交AG延長(zhǎng)線于K，在EF上取點(diǎn)P使得EP=ED，連接CP，∴∠CME=∠CNE=90°，∵F在線段EC的垂直平分線上，∴FE=FC，∴∠FEC=∠FCE，∵BE∥CF，∴∠BEC=∠FCE，∴∠CEM=∠CEN，∵CE=CE，∴△CME