第7章熱傳導課件

有內熱源存在時的熱傳導方程為式(6-27a)在不同坐標系的一般形式如下：直角坐標系：柱坐標系：球坐標系：求解熱傳導的規(guī)律問題，即解出上述微分方程，獲得溫度

t與時間θ及位置(

x,y,z)的函數(shù)關系，即不同時刻溫度在空間的分布(溫度場)。所得的解為t=

f(θ,x,y,z)，它不但要滿足式(7-1)或式(7-2)、式(7-3)，而且要滿足每一問題的初始條件與邊界條件。第一節(jié)

穩(wěn)態(tài)熱傳導一、無內熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導對于無內熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導，已知條件又設沿

x或

r方向進行一維導熱，則代入熱傳導方程式(7-1)～式(7-1)，可簡化為一維的Laplace方程，直角坐標系柱坐標系球坐標系(一)單層平壁一維穩(wěn)態(tài)熱傳導單層平壁一維穩(wěn)態(tài)熱傳導，當熱導率

k為常數(shù)時，式(7-4)即為描述該導熱過程的微分方程，即設邊界條件為將式(7-4)積分兩次，可得代入邊界條件，可得將C1、C2代入式(7-7)，得溫度分布方程，即由式(7-8)可知，平壁穩(wěn)態(tài)熱傳導過程的溫度分布為一直線。根據(jù)Fourier定律，通過x處的導熱通量將式(7-8)對

x求導，得代入式(7-9)，得或由式(7-10)可知，熱通量q/A和傳熱速率

q是與x

無關是常量。(二)單層筒壁的穩(wěn)態(tài)熱傳導若筒壁很長，即

L>>r，則沿軸向的導熱可忽略不計，且溫度分布沿軸向對稱，可認為溫度僅沿徑向變化。對于無內熱源的單層筒壁的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導，可用式(7-5)表征熱傳導方程，即設邊界條件為對式(7-5)積分兩次，可得代入邊界條件，可得將C1、C2代入式(7-11)，得溫度分布方程，即式(7-12)表明，通過筒壁進行徑向一維穩(wěn)態(tài)熱傳導時，溫度分布是半徑r的對數(shù)函數(shù)。通過半徑為

r的筒壁處的傳熱速率或熱通量的計算柱坐標系的

Fourier定律，即q

—半徑r處的導熱速率；q/Ar—半徑r處的熱通量；r—徑向坐標；dt/dr—r處的溫度梯度；L—筒壁長度；Ar—半徑r處導熱面積，

。導熱面積Ar

是半徑r的函數(shù)。將式(7-12)對

r求導,得：代入式(7-13)，得即式(7-14)即為單層筒壁的導熱速率方程。傳熱速率

q與半徑

r無關，是常量。由式(7-14)可得單位筒長導熱速率，即單位筒長導熱速率與半徑

r無關，是常量。代入式(7-13a),得即由式(7-14a)可知，熱通量q/Ar

隨半徑

r而變。由式(7-14)，即可知，傳熱速率

q與半徑

r無關，是常量，亦即或式(7-14)亦可寫成與平壁導熱速率方程式(7-10)相類似的形式，即式(7-17)與式(7-14)對比可知或

式中

rm—筒壁的對數(shù)平均半徑；Am—筒壁的對數(shù)平均面積。當時，對數(shù)平均值近似等于算術平均值，即二、有內熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導若柱體很長，即

L>>r，則沿軸向的導熱可忽略不計，且溫度分布沿軸向對稱，可認為溫度僅沿徑向變化。對于有內熱源的柱體沿徑向的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導，柱坐標系的能量方程式(7-2)，即可簡化為式(7-19)為具有內熱源、沿徑向做一維穩(wěn)態(tài)熱傳導的能量方程。若內熱源均勻，則為常數(shù)。對式(7-19)進行一次積分，得再積分一次，得由邊界條件可確定積分常數(shù)C1、C2，代入式(7-21)求得柱體內的溫度分布。[例7-4]有一半徑為R、長度為L的實心圓柱體，其發(fā)熱速率為，圓柱體的表面溫度為

ts

，L>>

R，溫度僅為徑向距離的函數(shù)。設熱傳導是穩(wěn)態(tài)的，圓柱體的熱導率

k為常數(shù)，試求圓柱體內的溫度分布及最高溫度處的溫度值。解：柱體內一維徑向穩(wěn)態(tài)熱傳導時的溫度分布方程為依題意，設邊界條件為由邊界條件(2)可得將上式代入式(7-20)，即并取r=R，即得故將及邊界條件(1)代入式(7-21)，得最后得到溫度分布方程為由于圓柱體向外導熱，最高溫度應在圓柱體中心處，即上兩式聯(lián)立得溫度分布方程，無量綱形式為三、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導對于無內熱源的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導，已知條件為代入熱傳導的基本微分方程式(7-1),即得該式為無內熱源的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導微分方程(二維Laplace方程)。根據(jù)式(7-22)求出的溫度分布

t=f(x,y)為一連續(xù)曲面，若將連續(xù)變化的偏微分方程用差分方程近似表達，則可通過數(shù)值計算法求出溫度分布。(一)物體內部的結點溫度方程將物體分割成若干個由組成的小方格，分割線的交點稱為結點。及的長度根據(jù)計算精度的要求選取。將式(7-22)近似地寫成差分形式，即令，則有該式稱為物體內部的結點溫度分布方程，它表示任一結點(i,j)的溫度

ti,j

與鄰近

4個結點溫度之間的關系，即為鄰近

4個結點溫度的算術平均值。(二)物體邊界上的結點溫度方程處于物體表面的結點，由于外界的影響，其溫度不能用式(7-23)來表達，需要根據(jù)具體情況來建立。1.絕熱邊界取垂直紙面的距離為單位長度。對虛線包圍的微元作熱量衡算，得

令，則有2.一般對流邊界設周圍流體的主體溫度為

tb，且維持不變，微元體表面與流體之間的對流傳熱系數(shù)為

h，亦維持不變，對虛線包圍的微元作熱量衡算，得令，則有

即3.對流邊界上的外角對虛線包圍的微元作熱量衡算，得令，則有

整理得4.對流邊界上的內角對虛線包圍的微元作熱量衡算，得

令，則有整理得(三)二維穩(wěn)態(tài)溫度場的結點溫度方程組式(7-23)、式(7-24)表示無內熱源二維穩(wěn)態(tài)溫度場中各結點溫度之間的關系，各式均為線性代數(shù)方程。求解溫度場時，可根據(jù)物體內部及邊界情況，并考慮精度要求，將物體分割成若干個等邊的小方格，將分割線的交點統(tǒng)一編號(i=1,2,…,n)，然后根據(jù)每個結點所在的位置分別寫出相應的結點溫度方程，從而得到整個溫度場的結點溫度方程組，即ai,j

和

bi(i

=1,2,…,n)均為常數(shù)，ti

(i=1,2,…,n)為未知溫度。式(7-25)為線性方程組，共有

n個方程，未知溫度亦為

n個，求解此方程組即可求出

ti

(i=1,2,…,n)的數(shù)值，于是整個溫度場即可求出。

第二節(jié)不穩(wěn)態(tài)熱傳導物體內任一點的溫度均隨時間而變化的導熱稱為不穩(wěn)態(tài)導熱。求解不穩(wěn)態(tài)導熱問題時，需要應用熱傳導方程式(7-1)、式(7-2)或式(7-3)，并須滿足具體的初始條件和邊界條件。通過求解滿足這些定解條件的微分方程，求得溫度分布隨時間的變化關系，從而求得特定時刻的傳熱速率。初始條件是指在導熱過程開始的瞬時物體內部的溫度分布情況。邊界條件視具體情況一般可分為3類：第一類邊界條件是給出任何時刻物體端面的溫度分布；第二類邊界條件是給出所有時刻物體端面處的導熱通量；第三類邊界條件是物體端面與周圍流體介質進行熱交換，端面處的導熱速率等于端面與流體之間的對流傳熱速率。

不穩(wěn)態(tài)導熱過程中傳熱速率取決于介質內部熱阻和表面熱阻。一、忽略內部熱阻的不穩(wěn)態(tài)導熱—集總熱容法有一熱的金屬小球，浸泡在冷流體中。不穩(wěn)態(tài)導熱過程中，傳熱速率取決于固體內部熱阻和表面熱阻。亦即小球內部的溫度分布除與材料的熱導率有關外，還與小球表面和周圍流體的對流傳熱系數(shù)有關。若固體的熱導率很大或內熱阻很小，而環(huán)境流體與固體表面之間的對流傳熱系數(shù)很小或對流傳熱熱阻較大，便可忽略內熱阻，即認為在任一時刻固體內部各處的溫度均勻一致，溫度梯度主要產生于小球表面的流體層內。設金屬球密度ρ，比熱容cp，體積V

，表面積A，初使溫度均勻為t0

，環(huán)境流體的主體溫度恒定為tb，流體與金屬球表面的對流傳熱系數(shù)為

h，且不隨時間變化。球坐標系的熱傳導方程為由于金屬球的內熱阻可忽略，溫度與位置無關，即故式(7-3)簡化為因，金屬球發(fā)熱速率等于表面對流傳熱速率，即代入式(7-26)，得因故上式應為初始條件為由于物體的溫度僅隨時間改變而與位置無關，不存在邊界條件。令，則式(7-26a)可化為初始條件為積分式(7-27)，得或該式即為忽略物體內熱阻情況下物體溫度與時間的定量關系式。指數(shù)中的量可整理如下：令

Fo

稱為Fourier數(shù)，其物理意義表示時間之比，即無量綱時間。令

Bi

稱為

Biot

數(shù)，其物理意義為

Bi表示物體內部的導熱熱阻與表面對流熱阻之比。當Bi大時，表示傳熱過程中物體內部的導熱熱阻起控制作用，物體內部存在較大的溫度梯度。不能采用集總熱容法。當Bi小時，表示物體內部的熱阻很小，表面對流傳熱的熱阻起控制作用，在起控制作用，物體內部的溫度梯度很小，在同一瞬時各處溫度較為均勻。

將式(7-30)、式(7-31)代入式(7-28)得研究表明，當Bi<0.1時，系統(tǒng)的傳熱可用集總熱容法處理，此時可用式(7-28)或式(7-32)計算物體溫度與時間的關系，其結果與實際比較不超過5％。二、忽略表面熱阻的不穩(wěn)態(tài)導熱忽略表面熱阻的不穩(wěn)態(tài)導熱過程發(fā)生在表面熱阻比內阻很小的情況，即Bi

>>

0.1時，由于表面熱阻可忽略，表面溫度

ts

在

θ′>0

的所有時間內均為一個常數(shù),其數(shù)值基本等于環(huán)境溫度。(一)半無限大固體的不穩(wěn)態(tài)導熱半無限大固體是指從

x

=

0

的界面開始向正的

x方向及其它兩個坐標(y,z)方向無限延伸的物體。在導熱開始時，物體的初始溫度為

t0，然后突然將左端面的溫度變?yōu)?/p>

ts，且維持不變。假設除物體的左右兩端面外，其它表面均絕熱。由于右端面在無限遠處，其溫度在整個過程中均維持導熱開

始時的初始溫度t0不變。

這類導熱問題可視為沿

x

方向的無內熱源的一維導熱問

題。柱坐標系的熱傳導方程為對于沿

x方向的無內熱源的一維導熱，即式(7-2)化簡為(用

θ

表示時間)初始條件和邊界條件為采用合成變量法求解式(7-33)引入變量η，即令于是有

將式(7-35)、式(7-36)代入式(7-33)，整理得式(7-37)中的自變量僅為η，故可寫成常微分方程，即式(7-38)對應的定界條件為令將式(7-39)代入式(7-38)，得將式(7-40)分離變量并積分，得將式(7-41)積分，得將定解條件(2)代入式(7-42)，得故得再將定解條件(1)代入式(7-42)，得故得將C1、C2代入式(7-42)，得或式中誤差函數(shù)為式(7-44)即為半無限大固體在加熱或冷卻過程中不同時刻的溫度分布表達式。式中可視為在

θ

瞬時物體某一位置x處的溫度t同左端面溫度ts

之差與最大溫度差之比。當時，表示物體某位置x處的溫度已經冷卻或加熱到了左端面的溫度ts

，此時由式(7-44)知查得由于

x

為一有限值，所以

θ=

∞，即需要無限長時間物體各處(除左端面外)才能達到左端面的溫度

ts

。但實際情況是，經過某一足夠長的時間之后，t即開始以漸進的方式趨近于ts

。半無限大物體不穩(wěn)態(tài)導熱時的熱流速率半無限大物體的初始溫度為t0，當其左端面溫度突然變?yōu)?/p>

ts

且維持不變時，單位時間經左端面流入物體或自物體流出的熱量可由Fourier定律計算。設左端面的面積為A，則瞬時的導熱通量為由式(7-43)求得由式(7-34)求得故上式代入式(7-45)，得即式(7-46)即為半無限大物體不穩(wěn)態(tài)導熱過程中,瞬時通過

x

=

0

平面的熱通量表達式。在0～θ

時間內通過x

=

0平面的總熱量為積分得(二)兩個端面均維持恒定溫度的大平板的不穩(wěn)態(tài)導熱假定除垂直于平板兩端面的方向外，其它側面上所傳導的熱量均可忽略不計，在此情況下，具有兩個平行端面的大平板中的導熱問題，可視為一維導熱問題處理。兩個端面相互平行，設其間距為

2l，平板的初始溫度

t0

各處均勻?，F(xiàn)令兩個端面的溫度突然變?yōu)?/p>

ts，且在整個導熱過程中維持不變。熱傳導方程仍為式(7-33)

，即初始條件平板兩端面維持恒定條件，即第一類邊界條件采用分離變量法求解熱傳導方程，并滿足初始條件和邊界條件。引入無量綱數(shù)無量綱溫度無量綱長度無量綱時間依式(7-48)～式(7-50)，可求得將上述結果代入式(7-33)

，得相應的定界條件變?yōu)槭?7-51)中的L*和Fo

為自變量，而T*為函數(shù)。為線性齊次偏微分方程，可采用分離變量法求解。因令于是有將上述結果代入式(7-51)

，得分離變量，得固有只有當上式中的常數(shù)小于零時，該式才可能有滿足定解條件的非零解，所以設λ

稱為特征值。由式(7-54)

，可得分別對上兩式求解，得將式(7-57)、式(7-58)

代入式(7-52)，得或積分常數(shù)A、B可有定解條件(1)、(2)、(3)確定。

應用邊界條件(3)，即將式(7-59)對L*求導數(shù)，即將邊界條件(3)代入式(7-60)，得因，故于是式(7-59)變?yōu)閼眠吔鐥l件(2)，即將邊界條件(2)代入式(7-62)，得由于A=0，故B≠0，則由式(7-63)可得由式(7-64)可知，特征值λ

可以有無限多個，即將式(7-65)中的λi值代入式(7-62)，得式(7-66)為式(7-51)的一個特解。線性齊次方程式(7-51)的通解為應用邊界條件(1)，即將邊界條件(1)代入式(7-67)，得該式為Fourier級數(shù)，Bi為Fourier級數(shù)的系數(shù)，由正交性原理得積分得解得或將Bi

值代入式(7-67)，最后得T*的表達式為式(7-70)即為式(7-33)的解。該式表示平板兩個平行端面維持恒溫情況下進行導熱時某瞬間板內的溫度分布。由給定的時間和位置定出Fo

和L*

，然后通過該式計算

T*

，最后即可得到給定的時間和位置條件下的溫度t值。式(7-70)還可以用于平板一個端面絕熱，另一個端面驟然升溫至

ts

情況下的導熱計算。由于大平板的溫度分布在中心面兩側完全對稱，因此中心面的溫度梯度為零，即這也是絕熱情況下的邊界條件，因此一個端面絕熱平板的不穩(wěn)態(tài)導熱問題完全可以用式(7-70)計算。關于防火墻問題墻的一面驟然被加熱至ts，熱流不穩(wěn)定地通入墻壁，墻的另一面絕熱，絕熱面的溫度為tc。因將上式代入式(7-70)，得即式(7-71)表明：(1)防火墻材料的熱導率應越小越好,而比熱容和密度應越大越好。假定，代入式(7-71)并取級數(shù)的第一項，得可知，絕熱面溫度

tc

隨

α

的減小而減小，亦即

k

減小或

ρcp增大均會使

α

減小，從而使

tc

降低。(2)絕熱面溫度升高到某一定值所需的時間與墻壁厚度的平方成正比。由式(7-71)可知而所以，當

θ

和

l2

做同樣程度的改變時將不影響絕熱面溫度的變化，亦即絕熱面溫度升高到某一定值所需的時間與墻壁厚度的平方成正比。三、內部熱阻和表面熱阻均不能忽略時的大平板的不穩(wěn)態(tài)導熱假定大平板的厚度為2l，其初始溫度t0均勻，然后突然將其置于主體溫度為tb

的流體中，兩端面與流體之間的對流傳熱系數(shù)h為已知。熱流沿x方向亦即垂直于兩端面的方向流動。在此情況下熱傳導方程仍為式(7-33)

，即初始條件兩平板端面與周圍介質有熱交換，即第三類邊界條件

ts(θ)為任一瞬時平板表面的溫度，此溫度隨時間而變；tb

為流體介質的主體溫度，假定為恒定值。采用分離變量法對式(7-33)求解，并使其滿足定界條件(1)、(2)、(3)，結果為式中

λi為特征值，通過下式確定通常將特征值

λi表示為將式(7-74)代入式(7-72)，最后得溫度分布方程為式(7-75)表述了大平板兩端面與周圍介質有熱交換時平板內部的溫度隨時間的變化規(guī)律，式中δi值通過式(7-73)和式(7-74)確定。由于應用式(7-75)計算

t與

x、θ

的關系相當麻煩，在工程實際中，將式(7-75)無量綱化后，繪制成算圖，采用圖算法。無量綱溫度；無量綱時間相對熱阻；相對位置t0—物體的初始溫度；tb—周圍流體介質的溫度，為恒定值；t—某一瞬時、某一位置處的溫度；h—物體表面與周圍流體介質之間的對流傳熱系數(shù)；k,α

—分別為物體的熱導率和熱擴散系數(shù)；x1—平板的半厚度或由絕熱面算起的厚度；x—由平板中心面或絕熱面至某點的距離。圖7-8的適用條件：無限大平板(一維)不穩(wěn)態(tài)導熱；物體內部無熱源；物體的初始溫度均勻，為t0；第三類邊界條件；物體表面的溫度隨時間而變，但流體介質的主體溫度tb為恒定值。圖7-9的適用條件：無限長圓柱(一維)不穩(wěn)態(tài)導熱；物體內部無熱源；物體的初始溫度均勻，為t0；第三類邊界條件；物體表面的溫度隨時間而變，但流體介質的主體溫度tb為恒定值。圖7-10的適用條件：球體的不穩(wěn)態(tài)導熱；物體內部無熱源；物體的初始溫度均勻，為t0；第三類邊界條件；物體表面的溫度隨時間而變，但流體介質的主體溫度tb為恒定值。四、多維不穩(wěn)態(tài)導熱將一維分析解推廣到二維和三維導熱問題中的

Newman法則。一平板，其

z

方向為無限大，x和y方向上的長度分別為

2x1、2y1。物體的熱導率為

k，初始溫度均勻，為

t0。現(xiàn)驟然將其置于主體溫度為

tb

的流體介質中，物體各表面與介質間的對流傳熱系數(shù)為。此情況的導熱為二維(

x,y方向

)的不穩(wěn)態(tài)導熱，并屬于第三類邊界條件。該物體在時間θ、位置(x,y)處的無量綱溫度為分別為沿x和y方向進行一維不穩(wěn)態(tài)導熱時的無量綱溫度。式(7-80)表明，二維不穩(wěn)態(tài)導熱問題，可化為兩個一維不穩(wěn)態(tài)導熱問題處理，二維不穩(wěn)態(tài)導熱時的無量綱溫度可以用兩個一維不穩(wěn)態(tài)導熱的無量綱溫度的乘積表示?？捎墒?7-75)或由算圖得出。其他形狀的簡單物體，亦可視為由無限平面和無限長圓柱等適當組合而成。然后將物體的二維或三維導熱問題化為2個或3個一維導熱問題處理，而這些一維導熱的解的乘積即為該物體多維導熱問題的解。如圖，邊長為2x1、2y1、2z1的長方體，即可視為，各為2x1、

2y1、2z1的大平板相互切割而成。沿

x、y、z各個方向的不穩(wěn)態(tài)導熱，在某時刻θ，某位置(

x,y,z

)處的溫度可采用下式計算，即又如圖，半徑為

r1、高度為

2x1

的短圓柱體，可視為由無限長圓柱和無限大平板垂直切割而成。在某時刻

θ，某位置(x,y,z)處的溫度可采用下式計算，即五、一維不穩(wěn)態(tài)導熱的數(shù)值解對于非規(guī)則的邊界