非線性科學(xué)概述

非線性科學(xué)概述（一） 總論非線性科學(xué)是一門研究非線性現(xiàn)象共性的基礎(chǔ)學(xué)科。它是自本世紀(jì)六十年代以來，在各門以非線性為特征的分支學(xué)科的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展起來的綜合性學(xué)科，被譽(yù)為本世紀(jì)自然科學(xué)的“第三次革命”。非線性科學(xué)幾乎涉及了自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，并正在改變?nèi)藗儗ΜF(xiàn)實(shí)世界的傳統(tǒng)看法?？茖W(xué)界認(rèn)為：非線性科學(xué)的研究不僅具有重大的科學(xué)意義，而且對國計民生的決策和人類生存環(huán)境的利用也具有實(shí)際意義。由非線性科學(xué)所引起的對確定論和隨機(jī)論、有序與無序、偶然性與必然性等范疇和概念的重新認(rèn)識，形成了一種新的自然觀，將深刻地影響人類的思維方法，并涉及現(xiàn)代科學(xué)的邏輯體系的根本性問題。（二） 線性與非線性的意義“線性”與“非線性”是兩個數(shù)學(xué)名詞。所謂“線性”是指兩個量之間所存在的正比關(guān)系。若在直角坐標(biāo)系上畫出來，則是一條直線。由線性函數(shù)關(guān)系描述的系統(tǒng)叫線性系統(tǒng)。在線性系統(tǒng)中，部分之和等于整體。描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是原方程的解。這是線性系統(tǒng)最本質(zhì)的特征之一。“非線性”是指兩個量之間的關(guān)系不是“直線”關(guān)系，在直角坐標(biāo)系中呈一條曲。最簡單的非線性函數(shù)是一元二次方程即拋物線方程。簡單地說，一切不是一次的函數(shù)關(guān)系，如一切高于一次方的多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系，都是非線性的。由非線性函數(shù)關(guān)系描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。（三） 線性與非線性的區(qū)別定性地說，線性關(guān)系只有一種，而非線性關(guān)系則千變?nèi)f化，不勝枚舉。線性是非線性的特例，它是簡單的比例關(guān)系，各部分的貢獻(xiàn)是相互獨(dú)立的；而非線性是對這種簡單關(guān)系的偏離，各部分之間彼此影響，發(fā)生偶合作用，這是產(chǎn)生非線性問題的復(fù)雜性和多樣性的根本原因。正因?yàn)槿绱耍蔷€性系統(tǒng)中各種因素的獨(dú)立性就喪失了：整體不等于部分之和，疊加原理失效，非線性方程的兩個解之和不再是原方程的解。因此，對于非線性問題只能具體問題具體分析。線性與非線性現(xiàn)象的區(qū)別一般還有以下特征：（1）在運(yùn)動形式上，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時空中的平滑運(yùn)動，并可用性能良好的函數(shù)關(guān)系表示，而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運(yùn)動向不規(guī)則運(yùn)動的轉(zhuǎn)化和躍變；（2）線性系統(tǒng)對外界影響的響應(yīng)平緩、光滑，而非線性系統(tǒng)中參數(shù)的極微小變動，在一些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，可以引起系統(tǒng)運(yùn)動形式的定性改變。在自然界和人類社會中大量存在的相互作用都是非線性的，線性作用只不過是非線性作用在一定條件下的近似。（四） 非線性問題研究的歷史概況非線性問題的“個性”很強(qiáng)，處理起來十分棘手。歷史上曾有過一些解非線性方程的“精品”，但與大量存在的非線性方程相比，只能算是“鳳毛麟角”。因此，長期以來，對非線性問題的研究一直分散在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個領(lǐng)域。本世紀(jì)六十年代以來，情況發(fā)生了變化。人們幾乎同時從非線性系統(tǒng)的兩個極端方向取得了突破：一方面從可積系統(tǒng)的一端，即從研究多自由度的非線性偏微分方程的一端獲得重大進(jìn)展。如在淺水波方程中發(fā)現(xiàn)了“孤子”，發(fā)展起一套系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，如反散射法，貝克隆變換等，對一些類型的非線性方程給出了解法；另一方面，從不可積系統(tǒng)的極端，如在天文學(xué)、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域?qū)σ恍┛雌饋硐喈?dāng)簡單的不可積系統(tǒng)的研究，都發(fā)現(xiàn)了確定性系統(tǒng)中存在著對初值極為敏感的復(fù)雜運(yùn)動。促成這種變化的一個重要原因十計算機(jī)的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用。科學(xué)家們以計算機(jī)為手段，勇敢地探索那些過去不能用解析方法處理的非線性問題，從中發(fā)掘出規(guī)律性的認(rèn)識，并打破了原有的學(xué)科界限，從共性、普適性方面來探討非線性系統(tǒng)的行為。（五） 非線性科學(xué)研究的范圍非線性科學(xué)的研究范圍究竟有多大？目前尚無定論。有人主張，非線性科學(xué)應(yīng)包括那些可以定量分析、精確計算、有數(shù)學(xué)理論或?qū)嶒?yàn)研究的領(lǐng)域。也有人認(rèn)為，耗散結(jié)構(gòu)、協(xié)同學(xué)、突變論等應(yīng)劃歸非線性科學(xué)，因?yàn)檫@“三論”中的許多定量分析，有些概念和方法（如分岔、自組織、圖形、分維等一一是和非線性科學(xué)相同的。值得注意的是，這“三論”中有些內(nèi)容是帶有哲理性或思辯色彩的。但非線性科學(xué)的主體是明確的，這就是混沌（Chaos）、分形（Fractral）、孤子（Soliton）。）——孤立波與孤立子孤子或孤波為一種特殊的相干結(jié)構(gòu)，是由于系統(tǒng)中的色散與非線性兩種作用相互平衡的結(jié)果。事實(shí)上，雖然孤立子或孤立波一詞常在廣泛的范圍內(nèi)被引用，但無一般形式的定義，因?yàn)樗€在發(fā)展中，給它下個嚴(yán)格的定義比較困難，且為時尚早。通常孤立波也叫定域行波，也就是“前無古人，后無來著”，一個孤零零的波在傳播。而在應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程中，孤立子被理解為非線性演化方程局部化的行波解，經(jīng)過互相碰撞后不改變波形和速度（或許相位發(fā)生變化）。在粒子物理等領(lǐng)域內(nèi)，孤立子被看做是具有某個“安全系數(shù)”的特殊孤立波，在相互作用時，波形與速度只有微弱改變的孤立波，或被理解為：非線性演化方程能量有限的解，這些能量集中在空間有限區(qū)域，不隨時間擴(kuò)散到無限區(qū)域中去?？梢?，不是所有的孤立波都是孤立子，但有時人們并不嚴(yán)格區(qū)分二者。孤立子的特點(diǎn)是，有出奇的穩(wěn)定性，如同剛性粒子一樣。在空間上局域，在時間上長壽。除孤立子外，自然界還存在大量的其他相干結(jié)構(gòu)。它們與孤立子的不同之處在于，它們在相互作用時并不嚴(yán)格保持形狀不變，而是匯合、分裂。最引人注目的是各種尺度的渦旋。幾個流體渦旋可集合成一個大斡，一個大渦可被強(qiáng)大的外力作用打碎。對這些結(jié)構(gòu)形成機(jī)理的認(rèn)識和它們之間的相互作用的研究仍是非線性科學(xué)的前沿。（六） 混沌混沌是確定性系統(tǒng)中由于內(nèi)稟隨機(jī)性而產(chǎn)生的一種外在復(fù)雜的、貌似無規(guī)的運(yùn)動?；煦绮⒉皇菬o序和紊亂，更像是沒有周期的秩序。在理想模型中，它可能包含著無窮的內(nèi)在層次，層次間存在著“自相似性”?；煦绲男袨闅w宿就是奇怪吸引子，即分形。對混沌的研究是從對微分方程求解開始的。二十世紀(jì)初，著名的法國數(shù)學(xué)家和理論天文學(xué)家龐加萊發(fā)現(xiàn)某些特殊的微分方程的可解性與解值對其初始條件極為敏感，初始條件的細(xì)微差別可導(dǎo)致其解值的巨大偏差，甚至產(chǎn)生無解現(xiàn)象。但他的發(fā)現(xiàn)沒有引起數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重視。1963年，美國氣象學(xué)家洛侖茲在計算機(jī)上用他建立的微分方程模擬氣象變化的時候，偶然發(fā)現(xiàn)輸入的初始條件的極細(xì)微的差別，可以引起模擬結(jié)果的巨大變化。洛侖茲打了個比喻說，在南半球某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇動所引起的微小氣流幾星期后可能變成席卷北半球某地的一場龍卷風(fēng)，這就是天氣的“蝴蝶效應(yīng)”。它的本質(zhì)仍然是非現(xiàn)性耦合。洛侖茲的發(fā)現(xiàn)意味著混沌理論的誕生。（七） 一一分形分形是不能用通常的長度、面積、體積表示的幾何形體，其內(nèi)部存在著無窮層次，具有見微知著、由點(diǎn)及面的自相似結(jié)構(gòu)。自相似即局部與整體的相似性。適當(dāng)放大或縮小幾何尺寸，分形的真?zhèn)€結(jié)構(gòu)并不改變，這就是標(biāo)度不變性。海岸線，閃電，松花蛋或數(shù)枝等，就具有分形特征。換言之，分形是局部以某種方式與整體相似的形態(tài)。分形可分多種類型，如簡單分形、自仿射分形、多分形、隨機(jī)分形、胖分形及復(fù)平面上的分形等。描述分形特征的參數(shù)叫分維。據(jù)稱，分形理論開創(chuàng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的新階段，是刻畫混沌運(yùn)動的直觀的幾何語言，是更接近于現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)。它是美籍法國數(shù)學(xué)家羅德爾布羅特在本世紀(jì)70年代中期創(chuàng)立的。（八） ——小波小波（Wavelet）分析技術(shù)是揭示分形局域標(biāo)度性質(zhì)的有力工具。可以說，分形概念的出現(xiàn)為人們認(rèn)識事物的局部與整體的關(guān)系提供了以種辨證的思維方式，為描述自然和社會的復(fù)雜現(xiàn)象提供了以種簡潔有力的幾何語言。而小波分析，則是在工具和方法上的重大突破，以成功地應(yīng)用于許多非線性