2022-2023學(xué)年湖南省張家界市魚潭大壩中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省張家界市魚潭大壩中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合,集合,那么集合A∩B=(

)A.[2,4] B.[3,4] C.{2,3,4} D.{3,4}參考答案：D【分析】由交集的定義即得解.【詳解】集合,集合,由交集的定義：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.若集合則等于

（

）參考答案：A3.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A.

B.1

C.

D.參考答案：C4.設(shè)，則A．0 B．1 C． D．3參考答案：B5.已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，則cos（α﹣π）等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的正弦．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件求得sinα和cosα的值，再根據(jù)cos（α﹣π）=﹣cosα求得結(jié)果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．6.已知，且，則sin2α的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)；GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由條件利用兩角和的正弦公式、二倍角公式求得cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：∵，且，∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），∴cosα﹣sinα=，或cosα+sinα=0．當(dāng)cosα﹣sinα=，則有1﹣sin2α=，sin2α=；∵α∈（0，），∴cosα+sinα=0不成立，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，二倍角公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)，則的值為A. B.0 C.1 D.2參考答案：D8.有一條長度為1的線段EF其端點(diǎn)E、F在邊長為3的正方形ABCD的四邊滑動(dòng)，當(dāng)F繞著正方形的四邊滑動(dòng)一周時(shí)，EF的中點(diǎn)M所形成的軌跡長度最接近于（***）A.

8

B.10

C.11

D.12參考答案：C9.若都是銳角，且，，則（）A．

B．

C．或

D．或參考答案：A略10.若命題，方程有解；命題使直線與直線平行，則下列命題為真的有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.三角形ABC中，有，則三角形ABC的形狀是

；參考答案：等腰三角形或直角三角形

略12.用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，則有個(gè)不同的染色方法，出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每個(gè)格子都有2種染色方法，由此利用乘法原理能求出不同的染色方法種數(shù)，再利用分類討論方法求出出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率．【解答】解：用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，則有：26=64個(gè)不同的染色方法，出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：全染黑色，有1種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有1個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有5種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有2個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有8種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有3個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有6種方法，∴出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：1+5+8+6=20種，∴出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率為：p==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．13.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．參考答案：y2=8x【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），根據(jù)題意建立關(guān)于p的方程，解之可得p=4，得到拋物線方程．【解答】解：由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p＞0），準(zhǔn)線方程是x=﹣，∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣2，∴=2，解得p=4，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x．故答案為：y2=8x．【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線的準(zhǔn)線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．14.已知,則(

的值等于

.參考答案：答案：－256解析：已知,∴

則(=－25615.設(shè)復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則的實(shí)部與虛部的和是_______.參考答案：416.過點(diǎn)作圓O：x2+y2=1的切線，切點(diǎn)為N，如果y0=0，那么切線的斜率是

；如果∠OMN≥，那么y0的取值范圍是．參考答案：；﹣1≤y0≤1。考點(diǎn)：圓的切線方程．專題：計(jì)算題；直線與圓．分析：設(shè)切線方程為y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圓心到直線的距離為d==1，可得k的值；∠OMN≥，則≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范圍．解答：解：y0=0，設(shè)切線方程為y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圓心到直線的距離為d==1，∴k=；∠OMN≥，則≥，∴OM≤2，∴3+≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案為：；﹣1≤y0≤1．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．17.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值與最大值的和為．參考答案：30【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求z的最大值．【解答】解：作出可行域，如圖所示：由z=2x+3y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過x+y=3與2x﹣y=3的交點(diǎn)（2，1）時(shí)，有最小值2×2+3=7，經(jīng)過x﹣y+1=0與2x﹣y=3的交點(diǎn)（4，5）時(shí)，有最大值2×4+3×5=23，則最小值與最大值的和為7+23=30．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對(duì)于數(shù)列A：a1，a2，…，an，若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0﹣1數(shù)列”．若存在一個(gè)正整數(shù)k（2≤k≤n﹣1），若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項(xiàng)和該數(shù)列中另一個(gè)連續(xù)的k項(xiàng)恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列{an}是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列A：0，1，1，0，1，1，0．因?yàn)閍1，a2，a3，a4與a4，a5，a6，a7按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列{an}是“4階可重復(fù)數(shù)列”．（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請(qǐng)寫出重復(fù)的這5項(xiàng)；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列A一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是多少？說明理由；（III）假設(shè)數(shù)列A不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且a4=1，求數(shù)列{an}的最后一項(xiàng)am的值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）是“5階可重復(fù)數(shù)列”．（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{an}的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有23=8種不同的情形．分類討論：若m=11，則數(shù)列{an}中有9組連續(xù)3項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜10時(shí)，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{an}．（III）由于數(shù)列{an}在其最后一項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列{an}的末項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，則存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，0按次序?qū)?yīng)相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，1按次序?qū)?yīng)相等，經(jīng)過分析可得：am=a4．【解答】解：（Ⅰ）是“5階可重復(fù)數(shù)列”，10101．…．（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{an}的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有23=8種不同的情形．若m=11，則數(shù)列{an}中有9組連續(xù)3項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；若m=10，數(shù)列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜10時(shí)，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{an}．所以，要使數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是11．…．（III）由于數(shù)列{an}在其最后一項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列{an}的末項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，則存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，0按次序?qū)?yīng)相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，1按次序?qū)?yīng)相等，如果a1，a2，a3，a4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am不能按次序?qū)?yīng)相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序?qū)?yīng)相等．此時(shí)考慮ai﹣1，aj﹣1和am﹣4，其中必有兩個(gè)相同，這就導(dǎo)致數(shù)列{an}中有兩個(gè)連續(xù)的五項(xiàng)恰按次序?qū)?yīng)相等，從而數(shù)列{an}是“5階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列{an}不是“5階可重復(fù)數(shù)列”矛盾！所以a1，a2，a3，a4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序?qū)?yīng)相等，從而am=a4=1．…．19.如圖，在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F(xiàn)分別是BC,PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：AD平面DEF；（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．參考答案：法一：（Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD．因PA=PD，有，在中，，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG 又PB//EF，得，而DE//GB得ADDE，又，所以AD平面DEF。……………..5（Ⅱ），為二面角P—AD—B的平面角， 在， 在， ，….12法二：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)為G，因?yàn)橛譃榈冗吶切危虼?，，從而平面PBG．延長BG到O且使得POOB，又平面PBG，POAD，所以PO平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)由于得平面DEF．（Ⅱ）取平面ABD的法向量設(shè)平面PAD的法向量由取

12分20.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程是：

.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程，直線的普通方程；

（Ⅱ）將曲線橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移1個(gè)單位，得到曲線曲線，求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值.

參考答案：(Ⅰ)曲線的方程為，直線的方程是：

…4分（Ⅱ）將曲線橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移1個(gè)單位，得到曲線曲線的方程為，設(shè)曲線上的任意點(diǎn)到直線距離.到直線距離的最小值為。

………………