2022高考數(shù)學(xué)爭分奪秒15天15整數(shù)問題

整數(shù)問題一、常用定義定理1．整除：設(shè)a,b∈Z,a≠0，如果存在q∈Z使得b=aq，那么稱b可被a整除，記作a|b，且稱b是a的倍數(shù),a是b的約數(shù)。b不能被a整除，記作ab2帶余數(shù)除法：設(shè)a,b是兩個給定的整數(shù)，a≠0，那么，一定存在唯一一對整數(shù)q與r，知足b=aqr,0≤r1且n為整數(shù)，則np1a1p2a2pkak，其中≠0,若m|a-b，即a-b=m，則稱a與b模同m同余，記為a≡bmodm，也稱b是a對模m的節(jié)余。7．完全節(jié)余系：一組數(shù)1,2,,知足：對隨意整數(shù)a有且僅有一個是a對模m的節(jié)余，即a≡modm，則,,,稱為模m的完全節(jié)余系。128．Fermat小定理：若odod=1，則a(m)≡1modm,m稱歐拉函數(shù)。mp1a1p2a2pkakk1).10．（歐拉函數(shù)值的計算公式）若，則m=m(1i1pi11．（孫子定理）設(shè)m1,m2,,m是個兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，則同余組：b1modm1,≡b2modm2,,≡bmodm有唯一解，M1'M1b1M2'M2b2Mk'MbmodM，其中M=m1m2m；Mi=M，i=1,2,,；Mi'Mi≡1modmi,i=1,2,,mi二、方法與例題1．奇偶剖析法。例1有n個整數(shù)，它們的和為0，乘積為n，（n>1），求證：4|n。[證明]設(shè)這n個整數(shù)為a,a,,a，則a,a,,a=n，①12n12naaa=0。②12n首先n為偶數(shù)，否則a1,a2,,an均為奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的和應(yīng)為奇數(shù)且不為0，與②矛盾，所以n為偶數(shù)。所以a1,a2,,an中必有偶數(shù)，如果a1,a2,,an中僅有一個偶數(shù)，則a1,a2,,an中還有奇數(shù)個奇數(shù)，進(jìn)而a1a2an也為奇數(shù)與②矛盾，所以a1,a2,,an中必有起碼2個偶數(shù)。所以4|n2．不平剖析法。例2試求所有的正整數(shù)n，使方程333=n222有正整數(shù)解。解設(shè),,為其正整數(shù)解，不妨設(shè)≤≤，則由題設(shè)2|33233，但3≤23222-x3y3，所以≤,≤，因而=nz2≥n22-，故33≥2≥[n22-]2，所以n244≤2n2233，所以n2111121113122113a12b12c120a12b12xyxynxynnynxnynya12b12c12a12b12(a1,b1,c1)a1,b1,c1(a12,b12,c12)a1,2>b1,2>c1，進(jìn)而222222222a1b1c12k,2k,2k不是整數(shù)，矛盾。所以該方程僅有一組整數(shù)解0,0,04．特殊模法。例4證明：存在無窮多個正整數(shù)，它們不能表示成少于10個奇數(shù)的平方和。[證明]考慮形如n=7266,∈N的正整數(shù)，若nx12x22xs2，其中i為奇數(shù)，i=1,2,,且1≤≤9。因為n≡2mod8，又xi2≡1mod8，所以只有=2所以nx12x22，又因為xi2≡2或0mod3，且3|n，所以3|1且3|，所以9|n。但n=7266≡3mod9，矛盾。所以n不能表示成少于210個奇數(shù)的平方和，且這樣的n有無窮多個。5．最小數(shù)原理。例5證明：方程44=2沒有正整數(shù)解。[證明]假定原方程有一組正整數(shù)解0,0,0，并且0是所有正整數(shù)解中最小的。因此，(x2)2(y2)2z2，則x222,22一奇一偶。假定a為偶數(shù)，a-by2=2ab,0=ab，其中a,b=1,a,b00000b為奇數(shù)，那么x02z00mod4，而x02a2b23mod4，矛盾，所以a為奇數(shù)，b為偶數(shù)。于是，由x02b2a2得0=y022ab4pq(p2q2),n，使得n31是整數(shù)。mn1解（1）若n=1,則2是整數(shù)，所以m-1=1或2，所以m,n=2,1,3,1m1（2）若m=1,則n31n312n2n12，所以n-1=1或2，所以m,n=1,2,1,3n1n1n1（3）若m>1，n>1，因為m3n31是整數(shù)，所以(m3n31)m3(n31)m31也是整mn1mn1mn1數(shù)，所以m,n是對稱的，不妨設(shè)m≥n，?。┤鬽=n，則n31n3nn1n1為整數(shù)，所以n=2,m=2n21n21n1331≡-1modnⅱ）若m>n，因為n1≡1modn,mn-1≡-1modn，所以nmn1所以存在∈N，使n-1=n31,又n-1=n31n31n1,mn1mn21n21n1所以-1n1n31n21n12T中的位數(shù)的個數(shù)相1mnmn1n.1983（個）。這是因為n11當(dāng)于用0，1這兩個數(shù)在-1個地點上可重復(fù)的全排列數(shù)（首位必須是1），即2