2022-2023學年山東省棗莊市市中區(qū)高二年級上冊學期期末數(shù)學試題含答案

2022-2023學年山東省棗莊市市中區(qū)高二上學期期末數(shù)學試題

一、單選題

1.已知向量”Q，L3),B=(X,2,1-X),若力則x=()

A.-5B.5C.4D.-1

【答案】B

【解析】根據(jù)利用求￡

【詳解】因為所以Zi=2x+2+3(l-x)=0,得x=5.

故選：B.

2.己知數(shù)列1,石，力,3,11,....后口，…，則36是這個數(shù)列的()

A.第21項B.第23項C.第25項D.第27項

【答案】B

【分析】將3行改寫成反斤的形式，即可確定它是這個數(shù)列的第幾項.

【詳解】因為題中數(shù)列的第〃項為血力，

而=A=<2x23-1,

所以3石是題中數(shù)列的第23項.

故選：B.

y=—x2

3.拋物線.3的焦點坐標是()

A.加B.加C?加D?陷

【答案】D

y=-x2

【解析】先將拋物線3化為標準方程，即可求出焦點坐標.

3

y=—x221P=—

【詳解】由”3,所以拋物線的標準方程為：x=3-即2,

12

y=-x~

???所以拋物線.3的焦點坐標為：14J

故選：D.

4.已知直線4：'+〃9+7=0和4：（加一2）x+3y+2機=0

互相平行，則實數(shù)5=()

A.-3B.TC.T或3D.1或-3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得至=°且2機-7X3H°,即可求解.

【詳解】由題意，直線小》+切+7=0和/2：（加-2口+3k2〃?=0互相平行，

可得1乂3_〃?（〃？_2）=0且2m_7乂3/0,

21

）加w—

即"-2，〃-3=0且2,解得，"=-1或機=3.

故選：C.

5.《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春

分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影

子長的和是406尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子長為（）

A.6.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.匕.5尺

【答案】D

【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項.

【詳解】設冬至的H影長為％,雨水的H影長為《+%+牝=40.5,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知

3%=40.5=%=13.5,芒種的日影長為1=4.5,

Jq+2d=13.5

=4.5,解得：q=l5.5,d=-1

所以冬至的日影長為15.5尺.

故選：D

6.如圖，在三棱柱"8C-48c中，”為4G的中點，若或=￡,BC=b,BB\=c,則下列向量

與兩相等的是（）

]-17

—a-\--b—c

B.22

1-1T-

—a+—b+c

D.22

【答案】D

【解析】根據(jù)空間向量的運算，用為基底表示出痂，可得選項.

BM=BA+AA.+A1H=BA+BB.+-7C

【詳解】2

=BA+JB[+^（BC-^A^=^BA+'BB[+^BC

[一一1T

=—a+c+—b

22

故選：D

%2/

----1-----1

7.已知橢圓369與x軸交于點4,B,把線段分成6等份，過每個分點作》軸的垂線交

橢圓的上半部分于點耳，巴，巴，巴，巴，廠是橢圓C的右焦點，則

山村+月尸|+區(qū)司+歸F|+區(qū)F|=（）

A.20B.156C.36D.30

【答案】D

【分析】由題意知片與乙，巴與《分別關于》軸對稱，設橢圓的左焦點為耳，從而

IM尸|+|下尸|=|片尸|+M6l=2a,尸|+|gF|=2a,|鳥尸|=a,利用

|耳尸|+出尸1+18尸|+|8用+出尸|=5。即可求解.

【詳解】由題意，知6與月，鳥與A分別關于歹軸對稱

設橢圓的左焦點為E,由已知〃=6,

則16用+￡用=16尸I+H用=2a,同時12尸|+出尸I=2a,l6用=a

/6加+出尸|+14用+|乙用+|代F|=5°=30

8.已知圓。的半徑為5,1°口=3,過點尸的2021條弦的長度組成一個等差數(shù)列."},最短弦長

為4,最長弦長為的以，則其公差為（）

113J_

A.2020B.1010C.1010D.505

【答案】B

【解析】可得過點尸的最長弦長為直徑，最短弦長為過點P的與°P垂直的弦，分別求出即可得出

公差.

【詳解】可得過點P的最長弦長為直徑，???々⑼=1°,

最短弦長為過點尸的與OP垂直的弦，％=2--32=8,

d="2021-_2_]

.??公差?2021-1-2020—1010.

故選：B.

二、多選題

9.已知圓G：J+「=I和圓C2：f+V-4x=°的公共點為A,B,則（）

2

A.IGGt2B.直線48的方程是”一兄

c-GD「R

【答案】ABD

【解析】兩圓相減就是直線的方程，再利用圓心距，判斷C,利用弦長公式求“回.

【詳解】圓G的圓心是（°⑼,半徑4=1,圓。2：（》-2）-+/=4,圓心（2,0）,2=2,

；[GG|=2,故A正確；

4x=1=x=1

兩圓相減就是直線ZB的方程，兩圓相減得4,故B正確；

=雇|=2,匹|=2,岡2+|"2代匹「，所以"CL不正確，故c不正確；

（00）x=—d=—\AB\-2\jr2-dz=2.11--^-=

圓心到直線4的距離4,V162,故D正確.

故選：ABD

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵選項是B選項，當兩圓相交，兩圓相減后的二元一次方程就是相交

弦所在直線方程.

10.已知空間四點。(0,0,0)，/(0,1,2),8(2,0,-1),C(3,2,1),則下列說法正確的是()

cos<OA,OB>=--

A.OAOB=-2B.5

C.點O到直線8C的距離為石

D.O,A,B,C四點共面

【答案】ABC

【解析】計算數(shù)量積判斷A,求向量夾角判斷B,利用向量垂直判斷C,根據(jù)空間向量共面定理判

斷D.

［詳解］方=(。［，2),礪=(2,0,-1),

0405=0x2+1x0+2x(-1)=-2,A正確

OAOB-2_2

cos<OA,OB

亞x亞-5

HRB正確;

8c=(1,2,2),CS-BC=2xl+0x2+(-l)x2=0；所以歷_L品，卜石，所以點0到直線

8c的距離為石，C正確;

反=(3,2,1),

假設若。，4,8,C四點共面，則。4。,OC共面，設OC=xO/+W>6,

'2y=3

“x=2

則12x-V=l,此方程組無解，所以o,A,B,C四點不共面，D錯.

故選：ABC.

11.若數(shù)列死｝滿足4=1,?印，，=&+K(〃23,〃eN)則稱死｝為斐波那契數(shù)列.記

數(shù)列死｝的前〃項和為則()

A.B.56=6一1

C.￡+居+月+?,,+%=%D.耳2+8+&+…+片2=鳥&

【答案】BC

【分析】由遞推式分別求出乙，月，…，“，再逐個選項判斷即可.

【詳解】因為耳T,g=1,%=工-1+%-2(心3,"€川),

所以瑪=G+6=2,F4=F3+F2=3t

G=E+8=5,罪=&+尼=8,

鳥=入+片=13,&=K+&=21,

居=&+月=34,4）=居+&=55,

所以年=64,月月+1=66,4片巴巴+1,故A錯誤；

$6=1+1+2+3+5+8=20,&-1=20,56=/^-1（故8正確；

”+月+月+…+￡,=1+2+5+13+34=55=/^,故C正確；

邛+g+8+…+反=[+[+4+9+25+64=104,鳥G=13x21=273,

所以外+用+抬+...+耳*工仁故。錯誤.

故選：BC.

12.已知常數(shù)。>°,點4-“，°），83°）,動點M不與48重合）滿足：直線與直線的斜

率之積為機。"二°）,動點M的軌跡與點48共同構(gòu)成曲線C,則關于曲線C的下列說法正確的是

（）

A.當機<°時，曲線C表示橢圓

B.當加<T時，曲線C表示焦點在y軸上的橢圓

C.當機>0時，曲線C表示雙曲線，其漸近線方程為卜=±詬x

D.當〃?>-1且加工°時，曲線C的離心率是

【答案】BCD

yyy_m/J?_]

【解析】設"GM,貝l」x+ax-a~m,即曲線c的方程為/ma2~,然后利用橢圓和雙曲線

的知識逐一判斷即可.

yxy—x2y2

【詳解】設“（”），則片^^一“，所以v="'Gj）即曲線c的方程為/一左一

當〃?<°且加*-1時，曲線C表示橢圓，故A錯誤

22

當〃?<-1時，-ma>a,曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故B正確

當拉>°時，曲線C表示雙曲線，其漸近線方程為卜=±而。故C正確

當〃?>0時，曲線C表示雙曲線，其離心率為

當-j<。時，曲線C表示橢圓，其離心率為卜*標,故D正確

故選：BCD

三、填空題

13.在直角坐標系中，直線工+回-3=°的傾斜角是_.

【答案】150。

【分析】求得直線的斜率，由此求得直線的傾斜角.

_V3

【詳解】直線的斜率為3,所以傾斜角為150。.

故答案為：150。

一上

14.已知雙曲線/b2=1(?>0,6>0)的漸近線方程為>；=±6工，則它的離心率為.

【答案】2

【詳解】由題意，得="+q=?3=2.

15.已知正方形/8CO的邊長為2,E,尸分別是邊8的中點，沿E尸將四邊形/EED折起，使二

面角4-E尸-8的大小為60",則4c兩點間的距離為.

【答案】5

【分析】取BE的中點G,然后證明4EB是二面角/-EF-8的平面角，進而證明NGLGC,最

后通過勾股定理求得答案.

【詳解】如圖，取8E的中點G,連接ZG,CG,由題意EFL4E,EFLBE,則//房是二面角

4-E尸-8的平面角，貝ij/4￡8=60°,又AE=BE=1,則是正三角形，于是

AG.LBE,AG=—

2.

AD

F

B

根據(jù)EF'N瓦￡下,8民力后門8￡=后可得：EF工平面而4Gu平面所以ML/G,

而ZG_LBE,8￡cEF=E,則4G，平面8CFE,又GCU平面8CF￡,于是，AG1GC,又

GC2=BC2+BG1=—AC=y/AG2+GC2=-+—=^5

4,所以V44

故答案為：B

四、雙空題

16.已知數(shù)列3J的各項均為正數(shù)，其前〃項和S"滿足2瘋=""+1,則見=；記

b=4+]

國表示不超過x的最大整數(shù)，例如反1=3,[-1.5]=-2,若"[10），設也｝的前〃項和為3

則『.

【答案】2〃一1；60.

fS,,〃=l,

【分析】先根據(jù)【S”-S"T，"*2并結(jié)合等差數(shù)列的定義求出《,；然后討論〃的取值范圍，討論

出或分別取1,2,3,4,5的情況，進而求出T”.

S一（氏+1）2&-1

O_v<i__7U.—1f\

【詳解】由題意，4，片1時，4，滿足

S=（％+1）2

〃N2時，4,于是，

二3,+廳（%+。

=>(",+%)(%-%-2)=0

44因為%>°,所以

凡一。,1-2=0=*-*=2,所以，也｝是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以

an=1+2(/7-1)=2/7-1

—<1=>2/7-1<10=>/7<—b=+1=1

若102,即時，H|_10」

1<.^<2=>10<2?-1<20=>—<?<—bn=%+1=2

若1022貝lj6W〃W10時，LQ

%

2<^-<3=>20<2H-1<30=>—<w<—hn=+1=3

若io22,則114〃K15時,10

3<^-<4=>30<2n-l<40=>—<?<—b“=工+1=4

若1022,則164〃420時，口0」，

4<—<5=>40<2/z-l<50=>—<n<—b=—+1=5

若1022,貝l]〃=21或22時，nL10J

于曰T22=(1+24-3+4)x5+5x2=60

故答案為：2n-1；60.

五、解答題

17.在三角形45c中,已知點/（4，°）,3（-3,4）,C（l,2）

（1）求8c邊上中線所在的直線方程；

（2）若某一直線過點8,且卜軸上截距是x軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程.

【答案】⑴3X+5，-12=0

⑵4x+3y=0或2x+y+2=0

【分析】（1）求出中點，利用點斜式求方程即可；（2）直線過原點和不過原點利用截距式方程求

解即可

【詳解】⑴?/（TA）,。（1,2）,

.??線段8c的中點。的坐標為（T，3）,

y=~~3G-4）

又8c邊上的中線經(jīng)過點"6°）,.?."（-1）,

即3x+5y-12=0

故8c邊上中線所在的直線方程3x+5y-12=°

（2）當直線在x軸和了軸上的截距均為o時，可設直線的方程為y=6,

k=_4

代入點'（—3M）,則4=-3A,解得一一5,

4

y=—x

所以所求直線的方程為"3,即4x+3y=0；

土+上=1

當直線在x軸和了軸上的截距均不為o時，可設直線的方程為2機,

口+且=[

代入點B（T4）,則m+2m~,解得m=-1,

所以所求直線的方程為2x+y+2=o,

綜上所述，該直線的一般式方程為4x+3y=°或2x+y+2=0.

18.已知數(shù)列若.

（1）求數(shù)列"J的通項公式；

（2）求數(shù)列〔4凡+」的前"項和4.

從下列三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，然后對題目進行求解.

①《+&+%+…+/=〃]

②q=l,%=7,2%=a“T+a“M（〃eN”,〃》2）,

③4=1,點"（"嗎），8（〃+1，。用）在斜率是2的直線上.

【答案】答案見解析.

【分析】（1）若選①，根據(jù)通項公式與前〃項和的關系求解通項公式即可；

若選②，根據(jù)2%="K+《川（〃wN'〃*2）可得數(shù)列｛4,｝為等差數(shù)列，利用基本量法求解通項公式

即可；

若選③，根據(jù)兩點間的斜率公式可得“向一4=2,可得數(shù)列為等差數(shù)列進而求得通項公式：

（2）利用裂項相消求和即可

【詳解】解：（1）若選①，由4+%+%+…+/=/,

所以當〃22,4+%+生+—+?！?|=（"-1）2,

兩式相減可得：

而在《+/+%+…+/=/中，令"=1可得：q=i,符合上式，

故

若選②，由2?！?%+%（〃wN*,”22）可得：數(shù)列｛“,｝為等差數(shù)列，

又因為卬=1,4=7,所以?！竡=3d,即d=2,

所以《，=1+（"1）X2=2〃-1.

4M一4.2

若選③，由點"（〃'""），8（〃+1，”山）在斜率是2的直線上得：（〃+1）-〃，

即%+|一4=2,

所以數(shù)列也｝為等差數(shù)列且為=1+（〃-1卜2=2〃-1.

1.J=J1______

（2）由（I）知："/"+I（2〃-1）（2〃+1）2（2〃-12n+lJ

所以2K3）135）12“一12〃+1〃

--11〃

2（2?+1）2n+\

19.已知圓C與X軸相切，圓心在直線y=3x上，且到直線y=2x的距離為5.

（1）求圓C的方程；

（2）若圓C的圓心在第一象限，過點?！悖┑闹本€/與C相交于A、8兩點，且?同=3形,求直線

/的方程.

【答案】⑴（1）,&-3）2=9或（x+lf+G+3）2=9

⑵x_y_]=O或x+y_l=O

【分析】（1）設圓心C的坐標為（23”），則該圓的半徑長為利用點到直線的距離公式可求得

a的值，即可得出圓°的標準方程；

（2）利用勾股定理可求得圓心C至〃的距離，分析可知直線/的斜率存在，設直線/的方程為

V=*（xT）,利用點到直線的距離公式可求得關于左的方程，解出左的值，即可得出直線/的方程.

【詳解】（1）解：設圓心。的坐標為（63“），則該圓的半徑長為3時，

因為圓心C到直線V=2x的距離為65,解得。=±1,

所以圓心C的坐標為0,3）或（T，-3）,半徑為3,

因此，圓C的標準方程為（xT>+（IT=9或（x+1）一+&+3）一=9.

（2）解：若圓。的圓心在第一象限，則圓C的標準方程為（XT）-+Q-3）.=9.

因為M=3何所以圓心到直線/的距離VI2J2

若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為》=1,此時圓心C到直線/的距離為2,不合乎題意;

所以，直線/的斜率存在，可設直線/的方程為y=*（xT）,即=°

4=/==迪

由題意可得護力2,解得*=±1,

所以，直線/的方程為P=xT或y=「x,即x_y_]=O或x+y_l=O

20.四棱錐尸-48co底面為平行四邊形，且//8C=60',P/=N8=2,/O=3,尸/1平面

ABCD麗=；阮

（1）在棱尸。上是否存在點N,使得尸8〃平面"MN.若存在，確定N點位置；若不存在，說明理由.

（2）求直線PB與平面尸四所成角的正弦值.

PN_1

【答案】（1）存在點N,且礪一5,理由見解析;

⑵86.

【分析】（1）連接4加、8。相交于點O,連接產(chǎn)。、N0,利用線面平行的性質(zhì)可得N?！ㄊ?,

BM=-BC

根據(jù)3可得答案；

（2）以A為原點，分別以“M、4D4尸所在的直線為x、》z軸建立空間直角坐標系，求出平面

PCD的法向量為，利用線面角的向量求法計算可得答案.

PN_1

【詳解】（1）存在點N,且前一3時尸8〃平面理由如下：

連接80相交于點。，連接N0,則平面尸8Z）n平面/MN=N0,

若尸3〃平面力MN,NOu平面力MN,P8u平面力MN,所以NO//PB,

BM=-BC=-ADBO=-ODPN=-ND

因為33,所以3,3,

PN_1

所以ND一3時PBH平面AMN.

BM=-BC=\

⑵因為3,AB=2,ZABC=60\

由余弦定理可得/A/。=/82+84/2-2/8x8Mcos60°=3,

由=/“2+8知2可得AMLAD,又P4_L平面/BCD,

以A為原點，分別以//、4。工尸所在的直線為％、Nz軸建立空間直角坐標系，

則P（0,0,2）,S（V3,-1,O）C（G,2,0）,D（0,3,0）,方=心,-1,-2）,而=（0,3,-2）

PC=（^,2~2）

設平面PCD的法向量為〃=（x，%z）,

PCH=Oi3y-2z=02M

所以［而1=0,即j3+2y-2z=0,令尸2,則2=3，*=亍，

設直線PB與平面PCD所成角的為0,

|2-2-6|35/258

sincos

勺+86

附PT反T^x4+9

所以

勺

Dy

所以直線P8與平面PC。所成角的正弦值為一歹

21.設｛%｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足亍.已知4,3牝，9%成等差數(shù)歹八

（1）求｛“"｝和包｝的通項公式；

s

（2）記〉和"分別為何｝和包｝的前〃項和.證明:

a=（［嚴bn=—

【答案】（1）"3,3〃；（2）證明見解析.

【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及為得到9/-6q+i=°,解方程即可；

（2）利用公式法、錯位相減法分別求出再作差比較即可.

【詳解】（1）因為｛“"｝是首項為1的等比數(shù)列且4，3%，9%成等差數(shù)列，

所以6a2=6+9%,所以6。闖=%+9面,

即財-6q+l=0,解得所以""飛）”’,

b=%=2

所以〃33\

（2）［方法一］:作差后利用錯位相減法求和

127?-1n

/“=§+?"+…+產(chǎn)+誕

停+**,,,+5），

/、/、八111o11

畀e十三1"

0--1-i2--n—\~—

」+」+_2.,2

設二十…-I--------O--N---I:-----

3°3,32(B)

八111clI1

10-1-2-n-\-

_2?2?2..2

則3"3132333〃⑨

2r(j=.i+ri+i+...+

3"2(3'323,,_|)3"2［」3"

由⑧-⑨得3

3

1n—

r=___1________2_〃

所以"4X3"-22X3"-'2X3"T,

S,nnn

<0

因此23〃2x3〃T2x3〃

1<2

故2.

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法

1x(1-J

s〃=|（T）

1-

證明：由(1)可得1

_12n-\n

T-=3+V+",+y^+r,

①

J12n-1n

/=鏟+亨+…4-----------1--------

3"3向，②

l

=33"_2L=l(i_l)_2L

1111n113"+l23"3"+1

-T=1-----

6②得3“1+鏟+三+…+”?產(chǎn)3

n

所以43〃FF,

(

I-2=3i-—)------(]-戰(zhàn)<。

所以"243"2-3"4

T.

所以“2

［方法三構(gòu)造裂項法

%=（加+方他

由（I）知⑺，令［3）,且即

_33c33

a-n-\--

通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得"一2’~4,所以“24

——33n

T,=A+b2+---+b?=c}-c?+]

則442,下同方法二.

［方法四］:導函數(shù)法

,aX(1-X")

f(x)=X+x2+x3+■■■+x"=---------

設1-x

由于I1-X(1)2(1-x)2

l+nx,,+'-(n+l)xn

f\x)=1+2x+3x2+…+nx,l~]

則(1)2

1+233x?+..”{J

Tn=b\+b2+&+,,?+，=-

所以

，⑴，⑴

m3⑺3^_1Y

=?+〃（；）-（〃+福

【整體點評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等