2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試

卷

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)寫在答題卡上，將條形碼粘

貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫出本試卷上無(wú)效.

3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.符合題目要求的.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

已知集合"={123,4,5,6}「{123,4}B={3,4,5,6}則/口；方=（）

1.

B.OH}

A.{⑶C.{利D.0

則日二0

2.復(fù)數(shù)z=l—2i

1正

A.5C.百D,5

,1

3

3.已知4b=21

Aa>b>cB.〃C.b>c>aD.

c>b>a

4.已知A,B,C三人都去同一場(chǎng)所鍛煉，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C

每隔3天去一次.若3月11日三人都去鍛煉，則下一次三人都去鍛煉的日期是（）

A.3月22日B.3月23日C.3月24日D.3月25

日

5.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從使用該產(chǎn)品的用戶中隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)用戶，根

據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到如圖所示的用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖若用戶滿意

度評(píng)分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為則0

頻率/組距

0405060708090100滿意度評(píng)分

Aci<b<cBb<a<cQa<c<bDb<c<a

6,若函數(shù)"X）=2S3與g（x）=cos2x都在區(qū)間（〃?,〃）上單調(diào)遞增貝|j〃-加的最大值

為0

717171

A.4B.3C,2D.71

已知方=（4,2）.就=（1，4）則萬(wàn).能=（）

7.

A.—8B.T6c,8D.16

8.設(shè)。為直線，,為平面，則”的必要不充分條件是（）

A.直線〃與平面,內(nèi)的兩條相交直線垂直

B直線。與平面,內(nèi)任意直線都垂直

C.直線。在與平面僅垂直的一個(gè)平面內(nèi)

D.直線°與平面6都垂直于同一平面

9.記S，為等差數(shù)列包｝的前〃項(xiàng)和.已知$5=5,則（）

10.已知拋物線0:V=4x的焦點(diǎn)為尸，斜率為2的直線/與G的交點(diǎn)為A.8.若

叫+叫=10,則/的方程為（）

A?=2X+7gy=2x+ly=2x-7D

y=2x-l

crefo,-1

11已知（2）2sin2a=cos2a+l+cosa貝|jtan2a=（）

12J2.2424

A.7B,25C,7D.25

12.已知三棱錐尸一的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上尸/=4,PB=PC=2￡尸分

別是04的中點(diǎn)，?EF=90。,PB上AC,PC1PA則球。的體積為()

A10V6TIg8A/6KQ6anD4A/6K

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線/(x)=(2“+'+4)e在點(diǎn)(°，/(°))處的切線方程為.

14.記S，為等比數(shù)列｛%｝的前?項(xiàng)和.45,%2=?6,則Ss=

15.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,……，1000,從這些

新生中用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若53號(hào)學(xué)生被抽到，則810

號(hào)至820號(hào)中間被抽到的學(xué)生號(hào)是.

r2V2、

C:-------二l(b>Q>0)口口p

16.已知雙曲線ah的左、右焦點(diǎn)分別為4,尸2,過(guò)/且傾斜角為

71

7的直線與c的兩條漸近線分別交于4夕兩點(diǎn).若巡則°的離心率為.

三、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生

根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.△"BC的內(nèi)角A,B,0的對(duì)邊分別為a,b,c已知

(sirU+sinC)-=sin25+3sirt4sinC

(1)求8；

(2)若6a=2b+3c,求sin+60。)，

18.9年來(lái)，某地區(qū)第x年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值y(單位：百萬(wàn)元)統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示.根據(jù)

該圖提供的信息解決下列問(wèn)題.

(1)求這9個(gè)生產(chǎn)總值中超過(guò)其平均值的概率；

(2)由統(tǒng)計(jì)圖可看出，從第6年開(kāi)始，該地區(qū)第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值呈直線上升趨勢(shì)，試從

第6年開(kāi)始用線性回歸模型預(yù)測(cè)該地區(qū)第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值.

(附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(再'凹)，(/，%)，(x“，K),其回歸直線y=八+8的斜率和截距

,“七-/乂-丁)豆物一2

A=______________=.￡zl__________

力G，-xj之X；一〃x”_

的最小二乘法估計(jì)分別為：(-=',a=y-bx.)

19.如圖，直四棱柱44GA的底面是平行四邊形，"4=4,AB=BC=2

幺的=60。,E,F,〃分別是4。BB:6。的中點(diǎn).

⑴證明：EF〃平面CQH；

(2)求點(diǎn)D'到平面C'DH的距離.

20.已知點(diǎn)"(°'一3),乂(0,3)動(dòng)點(diǎn)pGM滿足直線PM與PN的斜率之積為-3

記P的軌跡為曲線C.

(1)求0的方程，并說(shuō)明°是什么曲線；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交°于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，軸，垂足為。,

連結(jié)8。并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)證明：直線與的斜率之積為定值.

21.已知函數(shù)/G)=加一("1)”+1.

(1)若/(“)存在極值，求。的取值范圍；

⑵當(dāng)。=2,且㈤時(shí)，證明：函數(shù)80/%)+$1睽有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將

所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)

分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

4缶

y-------.

22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為〔1+，/(s為參數(shù))，直線/的參數(shù)

x=-\+tcosa

方程為］>=2+抬沿。(/為參數(shù))

(1)求c和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C截直線/所得線段力8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-L2),求AaB的面積

［選修4-5:不等式選講］(10分)

23已知/。)=卜一向x+|x—4］(x—)

(1)當(dāng)〃?=2時(shí)，求不等式/GV°的解集；

⑵若xe(-8,2)時(shí)，/(x)<0,求m的取值范圍.

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試

卷

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)寫在答題卡上，將條形碼粘

貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫出本試卷上無(wú)效.

3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.符合題目要求的.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

］已知集合0={1'234,5,6}〃={1，2,3,4}5={3,4,5,6}則8=（）

AI2}BS4}c6,6}D0

【答案】A

【解析】

【分析】由交集和補(bǔ)集定義可得答案.

【詳解】由題可得J'”?},則NCQ8={1,2}

故選：A

2,復(fù)數(shù)z=l—2i

￡

A.5B.亞C.GD.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算律，共匏復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)模的概念計(jì)算.

【詳解】因?yàn)閦=l-2i,所以==l+2i,

1—二一71hY+f2Y75

所以zl+2i(l+2i)(l-2i)55所以z[⑸[5)5

故選：D.

2

”1幅；.c=])

3.已知4,6=22,,貝|j()

4a>b>cga>ohQb>c>a

c>b>a

【答案】D

【解析】

【分析】先確定與中間量0的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小.

a=log3^-<log3l=0

【詳解】

故。>力>。

故選：D.

4.已知A,B,C三人都去同一場(chǎng)所鍛煉，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C

每隔3天去一次.若3月11日三人都去鍛煉，則下一次三人都去鍛煉的日期是()

A.3月22日B.3月23日C.3月24日D.3月25

日

【答案】B

【解析】

【分析】三人各自去鍛煉的日期實(shí)際上是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】由題意，三人各自去鍛煉的日期分別是等差數(shù)列，公差分別為234,最小公倍數(shù)

為12.

所以下一次三人都去鍛煉的日期是3月23日.

故選：B.

5.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從使用該產(chǎn)品的用戶中隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)用戶，根

據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分得到如圖所示的用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖.若用戶滿意

度評(píng)分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為abc則()

A"b<cgb<a<cQa<c<bpb<C<a

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)，平均數(shù),中位數(shù)的概念和公式，帶入數(shù)字，求出后比較大小即可.

【詳解】解:由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為65,即6=65,

由表可知,組距為10,

所以平均數(shù)為，45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.2+85x0.1+95x0.1=67

故c=67記中位數(shù)為x,

1;&.10x0.015+10x0.02+(x-60)x0.025=0.5

解得：X=66即a=66

所以6<。<生

故選：B.

6,若函數(shù)與g(x)=cos2x都在區(qū)間(加,〃)上單調(diào)遞增，則〃-加的最大值

為0

兀兀兀

A.4B.3C,2D.71

【答案】C

【解析】

【分析】分析在一個(gè)較大區(qū)間內(nèi)/G）'ga）的單調(diào)性，找出它們的公共增區(qū)間（九〃），分

析出〃一根的最大值.

【詳解】/（“）=2sm的周期為2兀，g（、）=c°s2x的周期為兀，分析在唁］

2內(nèi)兩個(gè)

函數(shù)的單調(diào)性，

/(x)=2sinr

函數(shù)在

函數(shù)g（x）=cos2x在（2'"（2''J上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/3=2sm與g（x）=cos2x都在區(qū)間（2'上單調(diào)遞增,

且（2，”為，（x>g（x）的最大公共增區(qū)間

371c3兀兀

_、〃?min=--2兀----二一

所以則〃max=〃，2,所以"他的最大值為22.

7,已知方=（4,2）,好1，4）,則場(chǎng)配=（）

A.-8B.T6C.8D.16

【答案】A

【解析】

【分析】先求前再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)榈?（42）,%=0,4）元=元-9=0,4）-（4,2）=（-3,2）

JB-BC=(4,2}(-3,2)=4x(-3)+2x2=-8

火IJ

故選：A

8.設(shè)。為直線，，為平面，則"工〃的必要不充分條件是（）

A,直線°與平面,內(nèi)的兩條相交直線垂直

B.直線〃與平面/內(nèi)任意直線都垂直

C.直線。在與平面,垂直的一個(gè)平面內(nèi)

D.直線“與平面,都垂直于同一平面

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意知找一個(gè)由aL/3能推出的但反之不成立的一個(gè)結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意知找一個(gè)由能推出的但反之不成立的一個(gè)結(jié)論.

對(duì)A：根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線。與平面,內(nèi)的兩條相交直線垂直，則

若“，尸，則直線。與平面,內(nèi)的兩條相交直線垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：根據(jù)線面垂直的定義，直線。與平面,內(nèi)任意直線都垂直是的充要條件，故

B錯(cuò)誤；

對(duì)C:若力，設(shè)aua,由面面垂直的判定知口上夕，故直線“在與平面,垂直的一

個(gè)平面內(nèi)；

若直線”在與平面,垂直的一個(gè)平面內(nèi)，不妨設(shè)平面7工A,若取”=則

a，?不成立，故C正確；

對(duì)D：若力，又a'a,則尸不可能有平面,與平面1垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：C

9.記S”為等差數(shù)列包｝的前"項(xiàng)和.已知Ss=5,4=10,則()

3,

A.220

c3213

S“=3〃2_14〃S,=5〃-萬(wàn)〃

\-z.Lz.

【答案】D

【解析】

【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程求出q進(jìn)而可得等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式及求和公式，對(duì)照選項(xiàng)可得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列何儲(chǔ)公差為

S5=5〃]+1Od=5d=3

-4=q+5d=10,解得[%=—5

/.Q〃=q+（〃—1）d——5+3（拉—1）=3〃-8

S,=〃%+^h=—5〃+^X<3=，2」

"12222

故選：D.

10.已知拋物線0:V=4x的焦點(diǎn)為尸，斜率為2的直線/與C的交點(diǎn)為A,8.若

|JF|+|5F|=1O則/的方程為（）

AV=2X+7gy=2x+ly=2x-l口

y=2x-l

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)斜率為2的直線/方程為V=2x+b,與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得

4x-+（4b-4）x+b-=0設(shè)心,凹）8（”2）所以X+%=1-。,接著利用拋物

線的定義即可求解

【詳解】由拋物線0:/=4x可得焦點(diǎn)”（1,0）,準(zhǔn)線為》二一1,

設(shè)斜率為2的直線/方程為V=2x+b,

y2=4x

所以b=2x+b消去y得4x-+（4b-4）x+〃=0

,1

△=（46—4）2—16〃>0解得b<5

設(shè)4（%,必）B（x2,y2）所以玉+&=1-6

利用拋物線的定義可得卜耳+1網(wǎng)=再+1+々+1=1°,即1"+2=10解得6=-7,

所以/的方程為>=2》—7

故選：C

aJo'N.2

11已知I2）2sin2a=cos2a+l+cos~a貝|jtan2a=（）

12J22424

A.7B,25C,7D.25

【答案】C

【解析】

【分析】先利用倍角變形求得tana,再利用二倍角的正切公式求tan2a即可

［詳解］2sin2a=cos2a+1+cos2a

1.4sinacosa=cos2a-sin%+cos2a+sin%+cos%

即4sinacosa=3cos2a

cosaw0?

3

tana=一

4sina=3cosa即4

13

_2tanax424

tan2a=--------=---=—

l-tan2?197

16

故選：c

12.已知三棱錐P—48C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上p/=4,PB=PC=26F分

別是戶4力8的中點(diǎn)，/CER=90。PBLACPC1PA則球。的體積為()

A10V6TIB8屈nc6戈五D46兀

【答案】B

【解析】

【分析】先利用線面垂直的判定定理證得尸8，面P4C,再推到PB,P4PC兩兩垂直,

進(jìn)而將三棱錐尸一〃80補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，從而求得球。的半徑，由此得解.

【詳解】因?yàn)椤晔謩e是外，的中點(diǎn)，所以EF//PB

又NCEF=90。,即Eb_LEC,所以總,EC,

因?yàn)镻8_LZC,'CnEC=C,/C,ECu面P/C,所以面PNC,

因?yàn)橐?，PCu面4C,所以PBLP4,PBLPC,

又PC1P4,所以PB,PC兩兩垂直，

故將三棱錐P-ZBC補(bǔ)形成長(zhǎng)方體如圖，

則長(zhǎng)方體ADHG-PCTB的外接球與三棱錐P-/8C的外接球。相同，

設(shè)球。的半徑為R,則2R=JP/2+尸丁+尸。2=716+4+4=2幾,即R=",

4t—

八K=-7t/?3=8V6n

所以球。的體積為3

故選：B.

R

出-17

A（,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分

析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如

球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正

方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線/（'）=（2,+x+41.、在點(diǎn)（°J（°））處的切線方程為.

【答案】5…+4=0

【解析】

【分析】先求導(dǎo)，然后求出,‘（°）和,（°）,再利用點(diǎn)斜式求直線方程即可.

［詳解］由已知/'⑶=3+1）e'+（2犬+x+4尸=（2/+5x+5>'

“'（0）=5又"0）=4

所以曲線“"）=（2x+，+4》在點(diǎn)（°，（°））處的切線方程為尸4=5x,

即5x-V+4=。

故答案為：5xr+4=0

14.記S“為等比數(shù)列｛%｝的前?項(xiàng)和.％5,°4,則S§=

31

【答案】2##15.5

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得的=1,從而求解出公比"的值，再利用等比數(shù)列求和

公式代入求解即可得答案.

2_2_

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，4=生。6,結(jié)合題意&=。6,

??a=Lq=—=2

得出”又.「2,所以％,

S.x(l-2，)=31

所以'1一22.

31

故答案為：2

15.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,……,1000,從這些

新生中用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若53號(hào)學(xué)生被抽到，則810

號(hào)至820號(hào)中間被抽到的學(xué)生號(hào)是.

【答案】813

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合系統(tǒng)抽樣的定義，即可求解.

-10

【詳解】由題意知，系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔為100,

若53號(hào)學(xué)生被抽到，則被抽到的學(xué)生的編號(hào)為53+1°伏T),壯口，100],keZ,

所以810453+10(1)4820解得76.74心77.7,所以4=77.

所以810號(hào)至820號(hào)中間被抽到的學(xué)生號(hào)是53+10x(77-1)=813

故答案為：813.

C:：?一方=1。>4>0)FFF

16.已知雙曲線ab的左、右焦點(diǎn)分別為4,4,過(guò)/且傾斜角為

71

7的直線與C的兩條漸近線分別交于4B兩氤若BFJ/°A,則C的離心率為.

【答案】M

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)出直線的方程，之后與雙曲線的漸近線聯(lián)立，分別求出4B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)，之后根據(jù)題中條件'瑞得出力是的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

出其坐標(biāo)間的關(guān)系，借助雙曲線中凡"c的關(guān)系，求得該雙曲線的離心率.

bb

_y=—xy——x

【詳解】設(shè)直線/的方程為y=x+c,兩條漸近線的方程分別為.a和,a,

acbe、?acbe、

力(------，-------),B(------,-------)

分別聯(lián)立方程組，求得a+ba+bb—ah-a,

由職〃”0為和的中點(diǎn)得力是片8的中點(diǎn)，

aclac

-CH--------=---------

所以有b-aa+b、整理得b=3a,

e=￡=

結(jié)合雙曲線中a*"的關(guān)系，可以的到a',

故答案為：屈.

三、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生

根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

(siM+sinC)~=sin25+3sirt4sinC

(1)求8；

(2)若6a=26+3c求sin(2+60。)

【答案】(1)8=60。

sin(4+60°)=~~

【解析】

【分析】(1)由正弦定理邊化角結(jié)合余弦定理即可求得以

(2)由正弦定理邊化角，將6a=26+3，化為6京欣=251通+3點(diǎn)“？，利用兩角和差的

COS(24+60°)=--

正余弦公式，可求得3,根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由已知得sin24+sin2C-sin28=siii4sinC故由正弦定理得1+c?-b?=ac,

DCT+c2-b11

cos5=---------------=—

由余弦定理得2ac2,

因?yàn)?°<8<180°所以8=60。

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知C=120°-/由6。=26+3。及正弦定理得651必=25105+35出。，

3..V3.73

即6s段=2皿60。+3皿(120。-),化簡(jiǎn)整理得5加-丁溫=了

—cos/1----sinJ=——cos(A+60°)=——

所以223,所以得3,

由于0°<Z<120°60°<^+60°<180°

2V2

sin(J+60°)=

所以亍

18.9年來(lái)，某地區(qū)第x年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值y(單位：百萬(wàn)元)統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示根據(jù)

該圖提供的信息解決下列問(wèn)題.

(1)求這9個(gè)生產(chǎn)總值中超過(guò)其平均值的概率；

(2)由統(tǒng)計(jì)圖可看出，從第6年開(kāi)始，該地區(qū)第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值呈直線上升趨勢(shì)，試從

第6年開(kāi)始用線性回歸模型預(yù)測(cè)該地區(qū)第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值.

(附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)a'y),(/，必)，a"，％),其回歸直線》=八十&的斜率和截距

Z(5r)X"，一"盯

------------------------------

4±x^-nx2.一

abx

的最小二乘法估計(jì)分別為：1='日,=y-.)

【答案】(1)

(2)134.6百萬(wàn)元.

【解析】

【分析】(1)計(jì)算9年的生產(chǎn)總值的平均值，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.

(2)利用最小二乘法求得回歸直線的方程，將x=U代入，即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，9年的生產(chǎn)總值的平均值為

-x(14+16+20+26+33+42+60+78+98)=43

9(百萬(wàn)元)，

所以第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值不低于43百萬(wàn)元的有第7,89年，共3個(gè),

所以這9個(gè)生產(chǎn)總值中超過(guò)其平均值的概率為93

【小問(wèn)2詳解】

從第6年開(kāi)始，根據(jù)第X年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為?。▎挝唬喊偃f(wàn)元）及統(tǒng)計(jì)圖，得

X6789

y42607898

-6+7+8+9①u-42+60+78+98“

x=-----------=7.5y=------------------=69.5c

所以4,4

9

Z玉必=6x42+7x60+8x78+9x98=2178

i=6

9___

-4.2178-2085,93re6

fx,2=230230-2255-

i=6i=6

，?

故&=亍一菽=69.5-139.5=—70

所以從第6年開(kāi)始，產(chǎn)值了關(guān)于年數(shù)x的線性回歸方程為y=i8-6x-7o

當(dāng)x=ll時(shí)y~18.6x11-70=134.6

答：第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值約為134.6百萬(wàn)元.

19.如圖，直四棱柱/8CQ-44GA的底面是平行四邊形，回=4,AB=BC=2,

AQ,BB',8c的中點(diǎn).

(2)求點(diǎn)A到平面的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

4后

⑵k

【解析】

【分析】(1)連接尸"，證明四邊形瓦是平行四邊形，得EF//HD證明

EF〃平面CQH.

(2)利用等體積法計(jì)算點(diǎn)〃到平面的距離.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槭?，〃分別是明，8。的中點(diǎn)，所以FH〃BC,且FH.QBQ

又因?yàn)?4//8,且44=c。，所以四邊形448是平行四邊形,

所以B\C〃A\D,且8c=A{D

坨FHHA.DFH=-AxD=ED

故?,且2所以四邊形EFHD是平行四邊形,

所以所//口。,又改2平面C,HDu平面CQH

所以EF〃平面CQH

【小問(wèn)2詳解】

V=V

因?yàn)槁?lián)GO〃V[fD】D

設(shè)點(diǎn)'到平面C'DH的距離為4,點(diǎn)，到平面GO。的距離為乙,

則4=六CiDiD-d2即S-DH《=sC|O|D-d2

在平面N8CQ內(nèi)，過(guò)點(diǎn)〃作8的垂線，垂足為A,

則因?yàn)樗睦庵?8?！阋?qCQ是直四棱柱，所以出="R

在RS/7CH中，因?yàn)镃〃=l,N〃CH=60。，所以辦"4

22

又在RtAC.CTZ中C}H=ylC]C+CH=后

在Rt^CHD中HD=y]CD2-CH2-G

又因?yàn)槠叫兴倪呅?8C。中，4B=BC,ZBAD=60°：〃為紀(jì)的中點(diǎn),

所以O(shè)/7J.8C

因?yàn)樗睦庵?8C'-4AGA是直四棱柱，所以。"人平面B0G4,因?yàn)镚"u平面

BCC、B,所以。〃_LG〃

S4C、DH=:CIH.HD=4="分A。=4

所以22,又一2,

底△A6CH,4V17

oj$i-----d=4x—=273d、=----

所以由AW”IGW“2,得2}2，故17

4再

所以點(diǎn)n到平面C'DH的距離為17.

20.已知點(diǎn)A/(O,-3),N(0,3)動(dòng)點(diǎn)P(x/)滿足直線p”與PN的斜率之積為-3,

記P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，'°,夕軸，垂足為。，

連結(jié)80并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)4.證明：直線與ZH的斜率之積為定值.

/X2,

【答案】(1)93(M*3),所以C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在V軸上的橢圓，

不含上下頂點(diǎn)

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)斜率公式結(jié)合已知即可得出答案；

(2)設(shè)直線力8的斜率為勺則其方程為歹=依，聯(lián)立方程求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

程，聯(lián)暗霜‘利愉韋達(dá)2著得“煮&方算得再i艮或斜肇卷尊’即$1暴線的方

【小問(wèn)1詳解】

y+3v-3=3上+《=1

由題設(shè)得％x，化簡(jiǎn)得93(3/3),

所以0是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在卜軸上的橢圓，不含上下頂點(diǎn)；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)直線力8的斜率為人,則其方程為歹=區(qū)%>0）,

y=kx

由193，解得8+k.

A（m,mk）B（-m,—mk）￡）（0,〃法）

則

_-ink-mk_2k

于是~m,故直線8。的方程為N=2a+/?（

y=2kx+mk

y2x2

1得（3+4〃2卜2+4加%一+加2左2-9=0①

由93

設(shè)〃(X”,切)，則由題設(shè)可知一加和X"是方程①的解,

_3m_9mk+4mk3

故即=帝記，由此得以=3+4公，

%=-1

kq="kAH

從而直線Z"的斜率XH-XA2左，所以‘

_3

所以直線"6與AH的斜率之積為定值2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的軌跡方程，考查了橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了

橢圓中的定值問(wèn)題，有一定的難度.

21.已知函數(shù)小)=欣一(”》+1.

(1)若"*)存在極值，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)”2,且xe(°，n)時(shí)證明：函數(shù)gG)=/(x)+s1nx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】(1)"。,+8)

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)存在極值的充分條件，求導(dǎo)，利用分類討論，可得答案；

(2)利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

xe(o,+oo)

當(dāng)a-1V0即aWl時(shí)/心)>。fl)在@+°°)單調(diào)遞增,無(wú)極值；

當(dāng)〃一1>0即a>l時(shí)Ia—\).(a—1Jf(^)<0

f(x\("T)

在〈a—U單調(diào)遞增，在I”1J單調(diào)遞減，

1

此時(shí)，/CD在&-1處取得極大值，無(wú)極小值.

綜上，若"X)存在極值，則"6(1，+°°).

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)4=2時(shí)gOl^—x+l+s加g'(x)=「+cosx

因?yàn)閤e(。㈤令〃(x)=g'(x)貝產(chǎn)、)=+一.<。

-M=2_i+l=2_l>0

所以〃(x)=g'a)在(°㈤單調(diào)遞減，又因?yàn)間⑴712712

唱=20

所以g'(x)在(3'2j有唯一的零點(diǎn)a,

xe(0,6r)gz(x)>0.xw(a,7t)g'(x)<。

于是g(x)在(°'a)單調(diào)遞增，在371)單調(diào)遞減，

<a<

可知g(“)在(°'兀)存在唯一的極大值點(diǎn)a(32)i

［兀兀/7C_

g(a)>gIn-----+2>2——>0

由222

gBj=_2_7+1+sin7=_7+^sin7-1J<0

\CJvUU\C/

g(7i)=In兀一兀+1=In兀一(兀一1)

1\-

令%x)=lnx—(x—l)P(x)=-1=-Tx

,(0,1)Fz(x)>0XG(1,4-00)Fz(x)<0

田，/，，

n“R(x)五(0,1)!_M、閏*^(l,+oo)F(x)=F(1)=O

則\"在''上單調(diào)遞W增6，在'單調(diào)遞減，即\'maxVf,

故b(n)"(l)=0即g(n)=ln7t—(?！?)<0

可知g(x)在(°，。)和Q兀)分別恰有一個(gè)零點(diǎn).

所以當(dāng)㈤時(shí)，g3有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將

所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)

分*

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

4&s

y=------p.

22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為「1+s(5為參數(shù))，直線/的參數(shù)

X=-1+/COS6Z

方程為L(zhǎng)=2+'sina(/