在微積分運(yùn)算中的應(yīng)用

在微積分運(yùn)算中的應(yīng)用1第一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二1.極限(1)對(duì)極限定義的認(rèn)識(shí)練習(xí)1用下面的語(yǔ)句觀察數(shù)列的前100項(xiàng)變化情況n=1:100;a=n.^(n.^(-1))為了更清楚地觀察其是否收斂，讀者可將項(xiàng)數(shù)增大一些對(duì)于該數(shù)列，我們?cè)儆谜Z(yǔ)句：plot(n,a,'.')畫(huà)出其散點(diǎn)圖，借助于圖形來(lái)觀察它的變化趨勢(shì)。2第二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二數(shù)列的散點(diǎn)圖從上圖可看出，這個(gè)數(shù)列似乎收斂于1.但如何說(shuō)明它收斂于1，而不是收斂于大于1的某個(gè)數(shù)呢（由，若極限存在，則極限必不小于1）？設(shè)該數(shù)列收斂于A=1+u(u0),我們?nèi)=10-2用程序來(lái)檢察接近的程度。3第三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二u=10^-2;A=1+u;m=5;n=2;an=sqrt(2);whileabs(an-A)>=10^-mn=n+1;an=n^(1/n);endfprintf('A=%3.2f,n=%3.0f,an=%3.0f,abs(an-A)=%8.7e\n',A,n,an,abs(an-A))結(jié)果為:A=1.01,n=651,an=1,abs(an-A)=1.3098309e-006這說(shuō)明當(dāng)=651，an=1.01時(shí),an與1+10-2的距離小于10-5。4第四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)極限的計(jì)算在MATLAB軟件中可以直接用命令limit來(lái)求極限，其一般格式是:這里需要說(shuō)明幾點(diǎn)1.上式求的是符號(hào)表達(dá)式F(x)當(dāng)xa時(shí)的極限值，若要計(jì)算右極限或左極限，可在后指明趨向的方向；練習(xí)7試比較下面語(yǔ)句的區(qū)別.limit(exp(-1/x),x,0)limit(exp(-1/x),x,0,'right')limit(exp(-1/x),x,0,'left')2.在試圖求無(wú)窮振蕩點(diǎn)處的極限時(shí)，limit語(yǔ)句得到的是函數(shù)振蕩時(shí)可能的取值范圍；limit(F(x),x,a)5第五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1求下列函數(shù)的極限：clearF1=sym('atan(x)/x');F2=sym('((1+x)/(1-x))^(1/x)');F3=sym('(sqrt(1+x^2)-1)/(1-cos(x))');F4=sym('x*log(1+x)/sin(x^2)');F=[F1,F2,F3,F4]limit(F)ans=

[1,exp(2),1,1]6第六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2求函數(shù)的極限：clearsymsaFxF=(1+a/x)^xlimit(F,'x',inf,'left')ans=

exp(a)7第七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二(3)一些數(shù)列的極限的討論設(shè)數(shù)列xn與yn由下式確定：xn與yn的極限存在嗎？8第八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二運(yùn)行該程序可判斷出：xn與yn有極限，且這兩極限值是相等的。（x100=1.456791E+000,y100=1.456791E+000。

用MATLAB軟件編出如下程序進(jìn)行觀察：xn=1;yn=2;forn=2:1:100xN=xn;yN=yn;xn=sqrt(xN*yN);yn=(xN+yN)/2;endfprintf('x100=%E,y100=%E\n',xn,yn)9第九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.導(dǎo)數(shù)與微分在MATLAB中由命令函數(shù)diff()來(lái)完成運(yùn)算,其具體形式為：diff(function,'vaiaale',n)參數(shù)function為需要進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的函數(shù),vaiaale為求導(dǎo)運(yùn)算的獨(dú)立變量,n為求導(dǎo)的階數(shù)。10第十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二(1)求導(dǎo)命令diff在MATLAB軟件中，可用語(yǔ)句diff(f(x),x)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)然在使用前需先將x定義成符號(hào)變量。若要求f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)，可用subs命令，只要將x=a賦給上面的導(dǎo)函數(shù)便可得到。而命令diff(f(x),x,n)求的是函數(shù)f(x)對(duì)x的n階導(dǎo)函數(shù)。11第十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)clearsymsxy1y2y3y1=(cos(x))^3-cos(3*(x));y2=x*sin(x)*log(x);y3=(x*exp(x)-1)/sin(x);dy1=diff(y1)dy2=diff(y2)dy3=diff(y3)12第十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二dy1=

-3*cos(x)^2*sin(x)+3*sin(3*x)dy2=

sin(x)*log(x)+x*cos(x)*log(x)+sin(x)dy3=

(exp(x)+x*exp(x))/sin(x)-(x*exp(x)-1)/sin(x)^2*cos(x)pretty(dy3)exp(x)+xexp(x)(xexp(x)-1)cos(x)---------------------------------------sin(x)sin2(x)

13第十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxdiff(2*sqrt(x),x);x=2;f=1/x^(1/2)ans=

1/x^(1/2)f=0.707114第十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxy=1/(1-log(x));dy=diff(y,x,6)dy=

720/(1-log(x))^7/x^6-1800/(1-log(x))^6/x^6+2040/(1-log(x))^5/x^6-1350/(1-log(x))^4/x^6+548/(1-log(x))^3/x^6-120/(1-log(x))^2/x^615第十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)隱函數(shù)與由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需將求導(dǎo)命令與數(shù)學(xué)公式或方法結(jié)合起來(lái)，才能奏效！例5求由方程xy-ex+ey=0確定的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)。與筆算的做法一樣，先在方程兩邊對(duì)變量求導(dǎo)，再?gòu)乃梅匠讨薪獬黾纯?。clearsymsxyf=(x*y-exp(x)+exp(y))-diff(f,x)/diff(f,y)運(yùn)行之后可求出y'(x)。這兩個(gè)步驟分別可由以下語(yǔ)句完成：ans=

(-y+exp(x))/(x+exp(y))16第十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二由下面的語(yǔ)句可得所求的導(dǎo)數(shù)：yans=

sin(t)/(1-cos(t))結(jié)果為:17第十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)最值的計(jì)算a.直接用MATLAB語(yǔ)句計(jì)算MATLAB軟件中提供了求函數(shù)極小點(diǎn)的語(yǔ)句fminbnd(f,a,b)執(zhí)行該語(yǔ)句將得到函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極小點(diǎn).而語(yǔ)句fminsearch(f(x),x0)得到的是離x0最近的極小點(diǎn).18第十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二要求函數(shù)的極大點(diǎn)，可以用命令fminsearch(-f(x),x0)這是因?yàn)楹瘮?shù)-f(x)的極小點(diǎn)恰好就是函數(shù)f(x)的極大點(diǎn)．例7求函數(shù)y=2x3-6x2-18x+7的極值。解先作圖了解。clearx=-5:0.1:5;y=2*x.^3-6*x.^2-18*x+7;plot(x,y)19第十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二從圖上可知,函數(shù)y在區(qū)間[-5,5]上有極大值與極小值。f=inline('2*x.^3-6*x.^2-18*x+7');

pmin=fminbnd(f,-5,5)pmin=-5g=inline('-2*x.^3+6*x.^2+18*x-7');pmax=fminbnd(g,-5,5)pmax=5fprintf('%g,%g,%g,%g\n',pmin,f(pmin),pmax,f(pmax))-5,-303,5,17因5與-5皆在區(qū)間[-53，5]內(nèi)，故所求的最大值為17，最小值為-303。20第二十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二b.利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算由高等數(shù)學(xué)的知識(shí)可知，函數(shù)y=f(x)的駐點(diǎn)與一階不可導(dǎo)的孤立點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)。若這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限，我們只要比較這些點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)、處的函數(shù)值，便能求出函數(shù)在[a,b]上的最大值與最小值了。clearsymsxy=2*x.^3-6*x.^2-18*x+7;

dy=diff(y)dy=

6*x^2-12*x-1821第二十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二Px=solve(dy)Px=

3-1ezplot(y)22第二十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.不定積分在MATLAB中由命令函數(shù)int()來(lái)完成積分運(yùn)算,其具體形式為：int(function,vaiaale)參數(shù)function為需要進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的函數(shù),vaiaale為積分變量。23第二十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxy=x^5+x^3-sqrt(x)/4y=

x^5+x^3-1/4*x^(1/2)int(y)ans=

1/6*x^6+1/4*x^4-1/6*x^(3/2)pretty(ans)pretty(ans)

643/21/6x+1/4x-1/6x24第二十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsx;y=sin(2*x)*sin(3*x)*sin(4*x)ans=

-1/20*cos(5*x)-1/12*cos(3*x)+1/36*cos(9*x)-1/4*cos(x)int(y)pretty(ans)-1/20cos(5x)-1/12cos(3x)+1/36cos(9x)-1/4cos(x)y=

sin(2*x)*sin(3*x)*sin(4*x)25第二十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二5.定積分在MATLAB中由命令函數(shù)int()來(lái)完成積分運(yùn)算,其具體形式為：int(function,vaiaale,a,b)參數(shù)function為需要進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的函數(shù),vaiaale為積分變量,a、b分別為積分下、上限。(1)用命令函數(shù)計(jì)算定積分26第二十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsx;y=(x*exp(x))/(1+x)^2ans=

1/2*exp(1)-1int(y,0,1)y=

x*exp(x)/(1+x)^227第二十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsx;y=1/(x^2+2*x+3);int(y,-inf,inf)ans=

1/2*pi*2^(1/2)28第二十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)由定義計(jì)算定積分在定積分的定義中，劃分積分區(qū)間的方法與在每個(gè)小區(qū)間上取的點(diǎn)都是任意的，求積分和極限時(shí)要求每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值趨向于0，這些都給我們直接由定義來(lái)驗(yàn)證一個(gè)定積分是否存在帶來(lái)了很大的困難?，F(xiàn)在我們借助于計(jì)算機(jī)，按照定義的要求，對(duì)積分和的極限作近似計(jì)算，根據(jù)結(jié)果對(duì)定積分是否存在作出判斷。下面以積分為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題：a.首先在區(qū)間[0,1]中插入n-1個(gè)分點(diǎn)，為使分點(diǎn)任意，可用能產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)rand()。b.為保證分割加細(xì)時(shí)，各小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0，在取分點(diǎn)時(shí)，讓相鄰兩分點(diǎn)間的距離小于2/n。29第二十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二在下列給出的程序中分點(diǎn)取為因0≤ui≤1,故c.其次在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…n)上任取一點(diǎn)i，為使i具有任意性，我們同樣利用函數(shù)rand()來(lái)實(shí)現(xiàn)，30第三十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二為了提高精確度，我們讓分點(diǎn)不斷增多反復(fù)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算程序如下：clearallf=inline('x^2');a=0;b=1;n=20;%n為分割成的小區(qū)間個(gè)數(shù),初始值取為20x=[];x(1)=a;fork=1:6x(n+1)=b;s=0;fori=1:n-1x(i+1)=(i+rand())*(b-a)/n;%取區(qū)間的分割點(diǎn)end31第三十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二fori=1:ndxi=x(i+1)-x(i);%計(jì)算第i個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度c=x(i)+dxi*rand();%在第i個(gè)區(qū)間上任取一點(diǎn)s=s+f(c)*dxi;%逐步求積分和endfprintf('n=%g,s=%g\n',n,s);n=n*2;end程序中分割小區(qū)間的個(gè)數(shù)n的初值取為20，然后每循環(huán)一次放大一倍，共放大了5次。程序運(yùn)行結(jié)果為：這樣做的目的是為了盡快獲得結(jié)果，當(dāng)然我們也可取其它的值作為的初值，也可以用其它的方式讓增大。32第三十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二n=20,s=0.340088n=40,s=0.335021n=80,s=0.333965n=160,s=0.333266n=320,s=0.333431n=640,s=0.333373由分割的任意性及i的任意性，我們有理由認(rèn)為,即使n固定，每次運(yùn)行該程序所得的結(jié)果也很可能是不同的。事實(shí)上，在實(shí)驗(yàn)時(shí)得到了下表33第三十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二第1次第2次第3次第4次第5次200.3318340.3310790.3346160.3270940.337772400.333490.3328930.3333720.3327080.333732800.334510.3333370.3334970.3332840.3326611600.3334730.3330610.3333940.333430.3331243200.3333460.3334620.3332340.3334690.3333786400.3333270.3333650.3333430.3333590.333333表中任何兩個(gè)數(shù)據(jù)都不完全相同，但可看出它們間的差異不是很大，特別是最后一行當(dāng)n=640時(shí)，5次運(yùn)行的結(jié)果前4位有效數(shù)字是一樣的，故我們猜測(cè)：34第三十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二(3)從圖形觀察積分和與定積分的關(guān)系從圖形上來(lái)觀察隨著分割點(diǎn)的增多，積分和是否越來(lái)越接近定積分的值。下面以積分為例來(lái)說(shuō)明：35第三十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearxab;f=inline('sin(x)');a=0;b=pi/2;n=0;symsx;axismanual;set(gca,'nextplot','replacechildren');forj=3:20:103n=j;t(1)=a;t(n+1)=b; fori=1:n-1t(i+1)=(i+rand())*(b-a)/n;end ezplot(f(x),[a,b]);holdon

36第三十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二fori=1:nc=t(i)+(t(i+1)-t(i))*rand(); bar([(t(i)+t(i+1))/2,(t(i+1)+t(i))/2],[f(c),f(c)],t(i+1)-t(i)); endtext(1,1,[num2str(j),'個(gè)分割點(diǎn)']);M(:,(j-3)/20+1)=getframe;holdoff;endmovie(M,10)37第三十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二選擇特殊的n值，將上面程序略加修改后，可得到如下圖形：積分和38第三十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二圖中陰影部分為積分和，從圖中可看出在分割點(diǎn)為20時(shí)，陰影部分的上邊界還很粗糙；當(dāng)分割點(diǎn)為80時(shí)該邊界已比較光滑，若再增加分割點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)分割點(diǎn)為640時(shí)，已很難看出該邊界與曲線有什么地方不一樣了，這說(shuō)明此時(shí)用積分和近似定積分產(chǎn)生的誤差已非常小。39第三十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二當(dāng)定積分存在時(shí)，所有任取的積分和在趨向于0時(shí)的極限都相同，此時(shí)可以選擇較簡(jiǎn)單的劃分與簡(jiǎn)單的i，一般的做法是將區(qū)間等分，且讓小區(qū)間的某端點(diǎn)作為i(i=1,2,…n),這樣積分和便成為或?qū)τ谶B續(xù)函數(shù)的定積分，用這兩個(gè)式子來(lái)近似計(jì)算是比較簡(jiǎn)單的。在數(shù)值計(jì)算中，稱用上兩式近似定積分的方法為矩形法，這是因?yàn)檫@兩個(gè)式子在幾何上表示一些矩形面積的和。40第四十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二(4)定積分近似計(jì)算的梯形法在近似計(jì)算中也常用式子近似計(jì)算定積分。該式是上兩式的的平均。它在幾何上表示一些梯形面積的和，故它被稱為近似計(jì)算定積分的梯形法。41第四十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二例13

用梯形法近似計(jì)算定積分解

我們知道f(x)=ex在[0,1]上連續(xù),所以定積分存在?，F(xiàn)將區(qū)間[0,1]均分為等分，由梯形公式得：利用此式，編程如下：42第四十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二f=inline('exp(x)');a=0;b=1;s0=1;s1=0;n=20;m=6;whileabs(s0-s1)>10^-ms1=s0;i=1:n;s0=sum((f(a+(i-1)*(b-a)/n)*(b-a)/n+f(a+i*(b-a)/n)*(b-a)/n)/2);n=n*2;endfprintf('%s%s%g\n','exp(x)','在[0,1]上的積分約為',s0)運(yùn)行結(jié)果為：exp(x)在[0,1]上的積分約為1.71828。上面的數(shù)據(jù)1.71828除了整數(shù)位外，小數(shù)部分的前5位與的前5位完全一樣。43第四十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二(5)定積分近似計(jì)算的MonteCarlo方法設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[a,b]上，當(dāng)axb時(shí)有0f(x)H，其中H是某個(gè)非負(fù)數(shù)（如圖）。今向圖中的矩形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，對(duì)于位于曲線y=f(x)下方的圖形，其面積的一種合理估計(jì)應(yīng)該是矩形的面積乘以落在該圖形內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)個(gè)數(shù)占總隨機(jī)點(diǎn)數(shù)的百分比，即：其中，為m隨機(jī)點(diǎn)總數(shù)，s是落在位于曲線y=f(x)下方的圖形中的隨機(jī)點(diǎn)個(gè)數(shù)。上面的結(jié)論意味著下式成立：44第四十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二作為例子，我們用上面的方法來(lái)求定積分為此，編程如下：a=0;b=1;m=1000;s=0;H=exp(1);%s設(shè)置為落在曲邊梯形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)fori=1:mxi=rand();yi=H*rand();ifyi<exp(xi)s=s+1;end%如果隨機(jī)點(diǎn)落在曲邊梯形內(nèi),s增加1endfprintf('%s%g\n','exp(x)在[0,1]上的積分約等于',H*(b-a)*s/m)exp(x)在[0,1]上的積分約等于1.75601。45第四十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二6.多元函數(shù)的極限與求導(dǎo)在MATLAB中多元函數(shù)求極限、求導(dǎo)仍分別由命令函數(shù)limit()、diff()來(lái)完成運(yùn)算。還有命令函數(shù)Jacobian()求偏導(dǎo)。46第四十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxy;f=(1-x*y)/(x^2+y^2);fx=limit(f,'x',0);fxy=limit(fx,'y',1)fxy=

147第四十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxy;F=atan(y/x)-log(sqrt(x^2+y^2));diff(F,'x')ans=

-y/x^2/(1+y^2/x^2)-1/(x^2+y^2)*xans=

1/x/(1+y^2/x^2)-1/(x^2+y^2)*ydiff(F,'y')48第四十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二此例使用Jacobian求偏導(dǎo)可能更方便。clearsymsxy;z=atan(y/x)-log(sqrt(x^2+y^2));dxy=jacobian(z)dxy=

[-y/x^2/(1+y^2/x^2)-1/(x^2+y^2)*x,1/x/(1+y^2/x^2)-1/(x^2+y^2)*y]49第四十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz;F=x^2+y^2+z^2-4*zF=

x^2+y^2+z^2-4*zFx=diff(F,'x')Fx=

2*x50第五十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二Fz=diff(F,'z')Fz=

2*z-4G=-Fx/FzG=

-2*x/(2*z-4)51第五十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二在MATLAB的符號(hào)運(yùn)算中，用命令Jacobian(f,v)來(lái)計(jì)算梯度。7.梯度計(jì)算與方向?qū)?shù)例17

已知函數(shù)求梯度gradf（(1,-1,2)）。clearsymsxyzf=x^2+y^2+z^2;gr=jacobian(f)gf=subs(subs(subs(gr,1),-1),2)gf=2-2452第五十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二數(shù)值運(yùn)算中，我們?nèi)匀豢梢杂妹頳iff()對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行梯度向量的計(jì)算，但是我們常用的命令gradient(),其格式如下：Fx=gradient(F)[Fx,Fy]=gradient(F)[Fx,Fy,Fz]=gradient(F)分別用來(lái)求一維、二維與多維向量F的數(shù)值梯度。53第五十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz=x^2+y^2;dxy=jacobian(z)dxy=

[2*x,2*y]54第五十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearx=[-1:0.1:1];[X,Y]=meshgrid(x);%生成三維圖形的x,y坐標(biāo)矩陣Z=X.^2+Y.^2;%計(jì)算z坐標(biāo)矩陣[DX,DY]=gradient(Z);%y計(jì)算矩陣Z的梯度向量subplot(2,1,1);%生成第一個(gè)繪圖區(qū)間mesh(Z);%繪制z=x2+y2的三維網(wǎng)線圖

subplot(2,1,2);%生成第二個(gè)繪圖區(qū)間Quiver(DX,DY);%繪出矩陣Z的二維向量場(chǎng)55第五十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二方向?qū)?shù)顯示了函數(shù)在某點(diǎn)沿著某個(gè)方向上的變化率，而模取得最大值的方向?qū)?shù)就是該點(diǎn)的梯度。函數(shù)在某點(diǎn)沿著某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)等于在這點(diǎn)的梯度和沿該方向的單位向量的數(shù)量積。設(shè)某個(gè)方向上的單位向量為v,則方向?qū)?shù)為：Jacobian(f)?v56第五十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxy;z=x*exp(2*y);v=[sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2]；dxy=jacobian(z)；%計(jì)算梯度dxy=

[exp(2*y),2*x*exp(2*y)]57第五十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二T=dot(dxy,v)%計(jì)算數(shù)量積T=

1/2*exp(2*conj(y))*2^(1/2)-conj(x*exp(2*y))*2^(1/2)subs(subs(T,'x',1),'y',0)ans=-0.707158第五十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二8.多元函數(shù)的極值要使用MATLAB解決多元函數(shù)的極值問(wèn)題，首先需要明確“充分條件定理”。設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令A(yù)=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),則有：。（1）當(dāng)AC-B2>0時(shí)有極值，且A<0時(shí)有極大值，A>0時(shí)有極小值（2）當(dāng)AC-B2<0時(shí)沒(méi)有極值（3）當(dāng)AC-B2=0時(shí)極值不確定，需要具體討論。59第五十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz;f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;F=jacobian(f);

%計(jì)算梯度F=

[3*x^2+6*x-9,-3*y^2+6*y][X,Y]=solve(F(1),x,F(2),y);%求駐點(diǎn)60第六十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二X=

1-31-3

Y=

0022[X,Y]=solve(F(1),x,F(2),y);%求駐點(diǎn)61第六十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二dxx=diff(F(1));%計(jì)算Fxx(x,y)dxx=

6*x+6dyy=diff(F(2));%計(jì)算Fyy(x,y)dyy=

-6*y+6dxy=diff(F(1),y);%計(jì)算Fxy(x,y)dxy=

062第六十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二例題分析：一共四個(gè)駐點(diǎn)：(-3,0),(-3,2),(1,0),(1,2)（1）在駐點(diǎn)(-3,0)處，A=-12，B=0，C=6，AC-B2=-72<0，所以此點(diǎn)不是極值點(diǎn)。（2）在駐點(diǎn)(-3,2)處，A=-12，B=0，C=-6，AC-B2=72<0，所以此點(diǎn)是極大值點(diǎn)。（3）在駐點(diǎn)(1,0)處，A=12，B=0，C=6，AC-B2=72<0，所以此點(diǎn)是極小值點(diǎn)。（4）在駐點(diǎn)(1,2)處，A=12，B=0，C=-6，AC-B2=-72<0，所以此點(diǎn)不是極值點(diǎn)。63第六十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二9.重積分64第六十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz;f=z;A1=int(int(int(f,z,x^2+y^2,2),y,0,sqrt(2-x^2)),x,0,sqrt(2));A1=

2/3*piA2=int(int(int(f,z,x^2+y^2,1),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1);A2=

1/12*piA1-A2ans=

7/12*pi65第六十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二10.曲線積分與曲面積分66第六十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsabxyt;x=a*cos(t);y=b*sin(t);dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);dx=

-a*sin(t)dy=

b*cos(t)67第六十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二ds=sqrt(dx^2+dy^2);f=x*y;ds=

(a^2*sin(t)^2+b^2*cos(t)^2)^(1/2)I=int(f*ds,t,0,pi/2)f=

a*cos(t)*b*sin(t)I=

1/3*a*b*((a^2)^(1/2)*a^2-(b^2)^(1/2)*b^2)/(a^2-b^2)

68第六十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二69第六十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二symsthr;symsapositive;y=(a*r)/(a^2-r^2);I=int(int(y,r,0,sqrt(a^2-(a/2)^2)),th,0,2*pi)I=

2*a*log(2)*pi70第七十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz;z=sqrt(1-x^2-y^2);f=x*y*z;z=

(1-x^2-y^2)^(1/2)f=

x*y*(1-x^2-y^2)^(1/2)71第七十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二I=int(int(f,y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)I=

1/1572第七十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsaxy;y=sqrt(a*x-x^2);dyx=diff(y,x);f=x^2+y^2+4*x*y*dyx;dyx=

1/2/(a*x-x^2)^(1/2)*(a-2*x)f=

a*x+2*x*(a-2*x)73第七十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二I=int(f,x,0,a)I=

1/6*a^374第七十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二11.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和與收斂展開(kāi)MATLAB符號(hào)工具箱給我們提供了功能強(qiáng)大的級(jí)數(shù)求和的命令函數(shù)symsum(),其格式如下：symsum(function,vaiaale,a,b)Function為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式,vaiaale用來(lái)聲明通項(xiàng)中的求和變量,a和b分別為求和變量的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)。75第七十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsn;f1=(2*n-1)/2^n;f2=1/(n*(2*n+1));I1=symsum(f1,n,1,inf);I2=symsum(f2,n,1,inf)I1=

3I2=

2-2*log(2)76第七十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsnx;f1=1/n;f2=sqrt(n+1)-sqrt(n);I2=symsum(f2,n,1,inf);MATLAB計(jì)算不出結(jié)果，因此無(wú)法斷定其斂散性。I1=

InfI1=symsum(f1,n,1,inf);I2=

sum((n+1)^(1/2)-n^(1/2),n=1..Inf)級(jí)數(shù)發(fā)散。77第七十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsnx;f1=sin(x)/n^2;f2=(-1)^(n-1)*x^n/n;f3=1/n;I2=symsum(f2,n,1,inf);I2=

log(x+1)I1=

1/6*sin(x)*pi^2I1=symsum(f1,n,1,inf);78第七十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二然而，正如我們看到的那樣，用symsum語(yǔ)句得不到冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間。要求一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間，我們可以象手算那樣根據(jù)有關(guān)結(jié)論去求，也可以用計(jì)算機(jī)做些數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)判斷。79第七十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二12.泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，除了要會(huì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)外，還存在著將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的問(wèn)題，其目的就是求一個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂到已知的函數(shù)，這等價(jià)于用一系列多項(xiàng)式逼近已知函數(shù)。在MATLAB中泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)由命令函數(shù)taylor(),其格式如下：taylor(function,n,vaiaale,a)Function為待展開(kāi)函數(shù)表達(dá)式,n為展開(kāi)階數(shù)，缺省是6階。Vaiaale為聲明function中的變量,a為變量求導(dǎo)的取值點(diǎn)，缺省為0,即麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)。80第八十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsx;f=1/(1+x^2);taylor(f);taylor(f,20)%20階麥克勞林級(jí)數(shù)ans=

1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^10+x^12-x^14+x^16-x^18ans=

1-x^2+x^481第八十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二clearsymsx;f=1/(x^2+4*x+3);taylor(f,10,x,1);ans=

7/32-3/32*x+7/128*(x-1)^2-15/512*(x-1)^3+31/2048*(x-1)^4-63/8192*(x-1)^5+127/32768*(x-1)^6-255/131072*(x-1)^7+511/524288*(x-1)^8-1023/2097152*(x-1)^982第八十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二pretty(ans)

21533147/32-3/32x+7/128(x-1)----(x-1)+----(x-1)5122048635127625575118-----(x-1)+-----(x-1)-------(x-1)+------(x-1)81923276813107252428810239--------(x-1)2097152pretty(ans)83第八十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二下面我們從圖形上來(lái)觀察多項(xiàng)式逼近函數(shù)的過(guò)程，以函數(shù)f(x)=sinx為例：13.函數(shù)逼近symsx;f=inline('sin(x)');g=0;fori=0:10s=diff(f(x),x,i);s1=subs(s,x,0);g=g+s1*x^i/prod(1:i);ifi==1|i==4|i==7|i==10subplot(2,2,1+(i-1)/3);ezplot(f(x),[0,2*pi]);holdon;84第八十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二ezplot(g,[0,2*pi]);axis([0,6,-4,4]);title(i);endendholdoff85第八十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二圖中變動(dòng)的曲線依次為的1、5、8、10階Taylor多項(xiàng)式的圖形，我們看到：階數(shù)越高，Taylor多項(xiàng)式與其函數(shù)之間的差異越小。對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，在某個(gè)閉區(qū)間內(nèi)，能不能找到一個(gè)近似程度既好、階數(shù)又不是很高的多項(xiàng)式呢？在這里，我們作一些討論：如何尋找函數(shù)的最佳一次逼近多項(xiàng)式。在這里，我們作一些討論：如何尋找函數(shù)的最佳一次逼近多項(xiàng)式。這說(shuō)明，在Taylor級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)，要取到函數(shù)的比較滿意的近似值，選取的部分和階數(shù)必須足夠的高。86第八十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二最佳一次逼近多項(xiàng)式用多項(xiàng)式逼近函數(shù)，當(dāng)次數(shù)固定時(shí)，存在著最佳逼近多項(xiàng)式，所謂最佳，就是產(chǎn)生的誤差最小，而誤差通常是指最大偏差。具體如下：設(shè)f(x)C(a,b)(C(a,b)表示[a,b]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的集合）,則在[a,b]上以多項(xiàng)式Pn(x)代替函數(shù)f(x)產(chǎn)生的最大偏差為。在上面這種意義下的最佳逼近多項(xiàng)式稱為最佳一致逼近多項(xiàng)式，一般而言，Taylor多項(xiàng)式非最佳一致逼近多項(xiàng)式。87第八十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二在理論上，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)存在唯一一個(gè)次最佳一致逼近多項(xiàng)式，但是，要求出的次最佳一致逼近多項(xiàng)式卻非常困難．下面我們僅討論當(dāng)f''(x)在(a,b)內(nèi)不變號(hào)時(shí)，如何確定其最佳一次逼近多項(xiàng)式。我們知道，當(dāng)f''(x)在(a,b)內(nèi)時(shí)，在[a,b]上的圖形是一段凹弧或一段凸弧，不妨假設(shè)其為凹弧?，F(xiàn)連接兩個(gè)端點(diǎn)M、N，得線段MN，它所在的直線方程為：88第八十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二因弧段y=f(x)在[a,b])上光滑，而f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，故在該弧段內(nèi)存在唯一的一點(diǎn)C(x2,f(x2)，此點(diǎn)到線段MN的距離最遠(yuǎn)。所以，此x2一定也是函數(shù)在[a,b]上的最大值點(diǎn)，因而有這說(shuō)明弧段在C處的切線平行于MN。89第八十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二今讓直線M1N1平行MN及l(fā),并位于MN與l的正中間，則該直線位于區(qū)間[a,b]內(nèi)的部分M1N1就是所要求的最佳一次逼近多項(xiàng)式函數(shù)的圖形。對(duì)于位于[a,b]區(qū)間內(nèi)的任意其他的直線段M2N2，下面就M2N2的不同位置來(lái)說(shuō)明上述結(jié)論。90第九十頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二1.若M2N2平行M1N1(如圖)，顯然有最佳一次逼近(之一)91第九十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二最佳一次逼近（之二）2.若M2N2與M1N1相交(如圖6.4)，且交點(diǎn)在(a,b)內(nèi)，則其兩個(gè)端點(diǎn)M2、N2中，總有一個(gè)位于對(duì)應(yīng)端點(diǎn)M1,N1的下方，故也有92第九十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二最佳一次逼近（之三）3.若M2N2與M1N1相交(如圖6.4)，且交點(diǎn)不在(a,b)內(nèi)，可直接看出上式是成立的。93第九十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二現(xiàn)在，我們來(lái)求M1N1所在的直線方程，由前面的討論知，直線的方程為而MN的方程(6.5)即為94第九十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)，編輯于2023年，星期二因M2N2平行M1N1與l(如圖)，且位