2021年山西省運(yùn)城市永濟(jì)第三高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021年山西省運(yùn)城市永濟(jì)第三高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某同學(xué)證明+＜+的過程如下：∵﹣＞﹣＞0，∴＜，∴＜，∴+＜+，則該學(xué)生采用的證明方法是（）A．綜合法B．比較法C．反證法D．分析法參考答案：A2.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x時f(x)是增函數(shù)，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A3.某圓的圓心在直線上，并且在兩坐標(biāo)軸上截得的弦長分別為4和8，則該圓的方程為（

） A. B.C.D.參考答案：C4.復(fù)數(shù)等于（

）

A.

B.

C,

D.參考答案：C略5.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則=A．

B．1

C．

D．參考答案：D略6.已知拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣8x﹣9=0相切，則p的值為（）A．2 B．1 C． D．參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】求得圓心及半徑，由題意可知：拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣8x﹣9=0相切，丨4+丨=5，解得：p=2．【解答】解：圓x2+y2﹣8x﹣9=0轉(zhuǎn)化為（x﹣4）2+y2=25，圓心（4，0），半徑為5，拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為x=﹣，∵拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣8x﹣9=0相切，∴丨4+丨=5，解得：p=2，∴p的值為2，故選A．7.若直線y=3x與雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求得雙曲線的漸近線方程，由雙曲線與直線y=2x有交點，應(yīng)有漸近線的斜率＞3，再由離心率e==，可得e的范圍．【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，由雙曲線與直線y=3x有交點，則有＞3，即有e==＞，則雙曲線的離心率的取值范圍為（，+∞）．故選：B．8.如圖，在平行六面體中，已知＝a，＝b，＝c，則用向量a，b，c可表示向量等于(

)A．a(chǎn)＋b＋c

B．a(chǎn)－b＋cC．a(chǎn)＋b－c

D．－a＋b＋c參考答案：D略9.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的p是()A．8

B．5C．3

D．2參考答案：C10.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是 ( )A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，若。則

．參考答案：112.將一些棱長為1的正方體放在的平面上如圖所示，其正視圖，側(cè)視圖如下所示．若擺放的正方體的個數(shù)的最大值和最小值分別為，則____

．

參考答案：613.圓x2+y2=9的切線MT過雙曲線﹣=1的左焦點F，其中T為切點，M為切線與雙曲線右支的交點，P為MF的中點，則|PO|﹣|PT|=．參考答案：2﹣3【考點】圓與圓錐曲線的綜合；雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線方程，求得c=，根據(jù)三角形中位線定理和圓的切線的性質(zhì)，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并結(jié)合雙曲線的定義可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：設(shè)雙曲線的右焦點為F′，則PO是△PFF′的中位線，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根據(jù)雙曲線的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵M(jìn)F是圓x2+y2=9的切線，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案為：2﹣3．【點評】本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的中位線定理、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.已知圓C：與直線相切，且圓D與圓C關(guān)于直線對稱，則圓D的方程是___________。參考答案：15.已知函數(shù)f（x）=ax3+x+1的圖象在點（1，f（1））處的切線過點（2，7），則a=．參考答案：1【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的方程經(jīng)過的點求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=ax3+x+1的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切線方程為：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因為切線方程經(jīng)過（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案為：1．【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查計算能力．16.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：有如下運(yùn)算和結(jié)論：①a24＝；②數(shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比數(shù)列；③數(shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n項和為；④若存在正整數(shù)k，使Sk<10，Sk＋1≥10，則ak＝.其中正確的結(jié)論有________．(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)參考答案：①③④17.某縣總工會利用業(yè)余時間開設(shè)太極、書法、繪畫三個培訓(xùn)班，甲、乙、丙、丁四人報名參加，每人只報名參加一項，且甲乙不參加同一項，則不同的報名方法種數(shù)為_____________.參考答案：54【分析】通過題意可以知道，甲乙兩人有一個人可以選三個班，一個人選二個班，丙、丁二人都可以選三個班，根據(jù)乘法計數(shù)原理，可以求出不同的報名方法種數(shù).【詳解】甲有三個培訓(xùn)可選，甲乙不參加同一項，所以乙有二個培訓(xùn)可選，丙、丁各有三個培訓(xùn)可選，根據(jù)乘法計數(shù)原理，不同的報名方法種數(shù)為.【點睛】本題考查了乘法計數(shù)原理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，由題意分析出是加法計數(shù)原理還是乘法計數(shù)原理是解題的難點.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分16分）已知，.（1）當(dāng)n=1,2,3時，分別比較與的大?。ㄖ苯咏o出結(jié)論）；（2）由(1)猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.參考答案：解：（1）當(dāng)時，,

,

,當(dāng)時，,,，當(dāng)時，,,

.--------------3分(2)猜想：

,即.--4分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時，上面已證.

--------------5分②假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即則當(dāng)n=k+1時，-----10分而，下面轉(zhuǎn)化為證明：只要證：，需證：，即證：，此式顯然成立.所以，當(dāng)n=k+1時猜想也成立.綜上可知：對，猜想都成立，

-----15分即成立.

-----16分略19.求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程．參考答案：解一：設(shè)所求圓的圓心為，則

，

所求圓的方程為。

解二：設(shè)所求圓的圓心為，由條件知

，所求圓的方程為略20.一個長方體的各頂點均在同一個球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，求此球的表面積與體積（12分）

參考答案：解：設(shè)球體的半徑為