2022年湖南省邵陽市三閣司長鋪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022年湖南省邵陽市三閣司長鋪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知定點(diǎn)A（2，0），圓O的方程為，動(dòng)點(diǎn)M在圓O上，那么∠OMA的

最大值是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B2.設(shè)集合，，則（

）A.(－1,+∞)

B.(－1,1)

C.(0,1)

D.(0,+∞)參考答案：A3.設(shè)偶函數(shù)滿足，則不等式＞0的解集為（

）A.＜0或＞

B.＜或＞C.＜0或＞

D.＜或＞參考答案：A4.已知為等比數(shù)列，，，則（

）

（A）7

（B）5

（C）-5

（D）-7參考答案：D略5.已知：均為正數(shù)，，則使恒成立的的取值范圍是 （

） （）

B． C． D．參考答案：A6.設(shè),若,則的最大值為

（）（A）

（B）2

（C）

（D）3參考答案：B7.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為

A.

B.

C.

D.參考答案：A8.函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，，若存在，使得，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”．若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D試題分析：易知函數(shù)的零點(diǎn)為，設(shè)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，若函數(shù)和互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，根據(jù)定義，得，即，作出函數(shù)的圖象，因?yàn)椋购瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上，則，即，解得；故選D．考點(diǎn)：1.新定義函數(shù)；2.函數(shù)的零點(diǎn)．【難點(diǎn)點(diǎn)睛】本題以新定義函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)的分布范圍，屬于中檔題；解決此類問題的關(guān)鍵在于：正確理解新定義“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，抓住實(shí)質(zhì)，合理與所學(xué)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系，如本題中新定義的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)的差不超過1，進(jìn)而利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解，這也是學(xué)生解決此類問題的難點(diǎn)所在.10.給出右面的程序框圖，那么輸出的數(shù)是(

)

A．2450

B．2550

C．5050

D．4900參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，

水位上升1米后，水面寬

米．參考答案：12.則=

參考答案：答案：113.如圖，圓O的直徑AC＝8cm，直線l與圓相切于點(diǎn)A，P為圓的右半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，PB⊥直線l于B，求△PAB面積的最大值.參考答案：Smax＝6cm2.

14.長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為__________。參考答案：1415.（4分）（2015?上海模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若，則公比為q的取值范圍是．參考答案：（0，1]【考點(diǎn)】：數(shù)列的極限．【專題】：計(jì)算題．【分析】：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn，Sn+1列出關(guān)于q的表達(dá)式，利用條件，分類討論然后求解即可得到答案．解：當(dāng)q=1的情況，Sn+1=（n+1）a1，所以成立，當(dāng)q≠1是的情況，，所以可以看出當(dāng)q為小于1的分?jǐn)?shù)的時(shí)候成立，故答案為（0，1]．【點(diǎn)評(píng)】：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，此主要考查極限及其運(yùn)算，其中涉及到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，要分類討論求解．屬于綜合題目有一定的計(jì)算量．16.已知點(diǎn)（x，y）滿足約束條件（其中a為正實(shí)數(shù)），則z=2x﹣y的最大值為．參考答案：4【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可．【解答】解：點(diǎn)（x，y）滿足約束條件（其中a為正實(shí)數(shù)），可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)的z=2x﹣y在B處取得最大值，由可得B（，）．所以z的最大值為：2×=10，解得a=4．故答案為：4．17.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為1的圓柱與半徑為1的半球?qū)佣桑谠摲忾]幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且小圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為__________.參考答案：【分析】根據(jù)題意，設(shè)小圓柱體底面半徑為，則高為，小圓柱體體積，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出小圓柱體體積的最大值.【詳解】由題意，設(shè)小圓柱體底面半徑為，則高為，小圓柱體體積，設(shè)，則則當(dāng)時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體體積的最值問題，根據(jù)圓柱體積公式構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查計(jì)算能力，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點(diǎn)（0，2a+3），且在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線垂直于y軸．（Ⅰ）用a分別表示b和c；（Ⅱ）當(dāng)bc取得最小值時(shí)，求函數(shù)g（x）=﹣f（x）e﹣x的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c與a的解析式，解出c；求出f'（x），因?yàn)樵邳c(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線垂直于y軸，得到切線的斜率為0，即f′（﹣1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)得到b與a的關(guān)系式，解出b即可．（Ⅱ）把第一問中的b與c代入bc中化簡可得bc是關(guān)于a的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出bc的最小值并求出此時(shí)的a、b和c的值，代入f（x）中得到函數(shù)的解析式，根據(jù)求導(dǎo)法則求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，將f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論g′（x）的正負(fù)即可得到g（x）的增減區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．因?yàn)榍€y=f（x）通過點(diǎn)（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，又曲線y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））處的切線垂直于y軸，故f'（﹣1）=0，即﹣2a+b=0，因此b=2a．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故當(dāng)時(shí)，bc取得最小值﹣．此時(shí)有．從而，g（x）=﹣f（x）e﹣x=（x2+x﹣）e﹣x，所以令g'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=2．當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時(shí)，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上為減函數(shù)；當(dāng)x∈（﹣2，2）時(shí)，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（﹣2，2）上為增函數(shù)．當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上為減函數(shù)．由此可見，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣2，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程．做題時(shí)注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．19.（14分）已知圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，圓心坐標(biāo)C（t，）（t∈R，t≠0）（1）求證：△AOB的面積為定值；（2）直線2x+y﹣4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)： 直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系．專題： 直線與圓．分析： （1）根據(jù)圓的方程求出A，B的坐標(biāo)即可證明△AOB的面積為定值；（2）根據(jù)直線2x+y﹣4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，結(jié)合|OM|=|ON|，建立條件關(guān)系即可，求圓C的方程；（3）根據(jù)直線和圓相交以及點(diǎn)的對(duì)稱性即可得到結(jié)論．解答： （1）證明：由題設(shè)知，圓C的方程為（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化簡得x2﹣2tx+y2﹣y=0，當(dāng)y=0時(shí)，x=0或2t，則A（2t，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=0或，則B（0，），∴S△AOB=|OA|?|OB|=|2t|?||=4為定值．

解：（2）∵|OM|=|ON|，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，∴C、H、O三點(diǎn)共線，則直線OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2．∴圓心為C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5，由于當(dāng)圓方程為（x+2）2+（y+1）2=5時(shí)，直線2x+y﹣4=0到圓心的距離d＞r，此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去，∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（3）點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為B′（﹣4，﹣2），則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2．故|PB|+|PQ|的最小值為2，直線B′C的方程為y=x，則直線B′C與直線x+y+2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查直線和圓的方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．20. 如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)，AF=3． （I）求證：DA⊥平面ABEF； （Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE; （Ⅲ）在線段FE上是否存在一點(diǎn)P，使得AP⊥MN?若存在，求出FP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：略21.已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn)，M為線段AC1的中點(diǎn)．求證：（Ⅰ）直線MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）延長C1F交CB的延長線于點(diǎn)N，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MF∥AN，從而證明MF∥平面ABCD．（2）由A1A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1A1，由DANB為平行四邊形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC1A1，從而證得平面AFC1⊥ACC1A1．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）延長C1F交CB的延長線于點(diǎn)N，連接AN．因?yàn)镕是BB1的中點(diǎn)，所以，F(xiàn)為C1N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)．又M是線段AC1的中點(diǎn)，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD內(nèi)，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（Ⅱ）連BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，AC，A1A?平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因?yàn)镹A?平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，同時(shí)考查了空間想象能力，推理論證的能力，屬于中檔題．22.（本小題滿分12分）從廣州某高校男生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，測(cè)得他們的身高(單位:cm)情況如表:分組頻數(shù)頻率合計(jì)

（1）求的值；（2）按表1的身高組別進(jìn)行分層抽樣,從這名學(xué)生中抽取名擔(dān)任廣州國際馬拉松志愿者,再從身高不低于cm的志愿者中隨機(jī)選出名擔(dān)任迎賓工作,求這名擔(dān)任迎賓工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率.參考答案：（1）解:由，得.…………1分由，得，

…………2分

由，得.

…………3分（2）解：依據(jù)分層