常微分方程(第三版)王高雄著課后習(xí)題答案

習(xí)題1.2dy1．=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。dxdy解：=2xdx兩邊積分有：ln|y|=x2+cyy=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0時(shí)，y=0原方程的通解為y=cex2,x=0y=1時(shí)c=1特解為y=ex2.2.y2dx+(x+1)dy=0并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。dyy21x1解：y2dx=-(x+1)dydy=-dx1兩邊積分:-=-ln|x+1|+ln|c|y=y1ln|c(x1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1時(shí)c=e1ln|c(x1)|特解：y=dy1y23．=dxxyx3ydy1y2原方程為：=yxx3dx1解：1y21xx3dy=dxy兩邊積分：x(1+x2)(1+y2)=cx24.(1+x)ydx+(1-y)xdy=01y原方程為：dy=-x1解：dxyx兩邊積分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程為：dyxy=-dxxyydydu令=u則=u+x代入有：xdxdxu1u211du=dxx-ln(u2+1)x2=c-2arctgu即ln(y2+x2)=c-2arctgy.x2dydx6.x-y+x2y2=0dyy|x|y解：原方程為：=+-1()2dxxxxy則令=uxdydxdu=u+xdx11du=sgnxdxx1u2yarcsin=sgnxln|x|+cx7.tgydx-ctgxdy=0dydx解:原方程為：=tgyctgx兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|1csiny==ccosxcosx另外y=0也是原方程的解，而c=0時(shí)，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.dye8+dxy23x=0ydye解：原方程為：=e3xy2dxy2e3x-3ey2=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0dyyy解：原方程為：=lndxxxydy令=u,則=u+xdudxxdxdudxu+x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|y1+ln=cy.xdy10.=exydxdy為：=exeydx解：原方程ey=cex=(x+y)2dydx11dydu=dxdx解：令x+y=u,則-1du-1=u2dx11u2du=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+cdy12.=1dx(xy)2dydu-1dxdx解：令x+y=u,則=dudx1-1=u2u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.dy2xy113.=x2y1dx解:原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx2+x=cxy-y2+y-x2-x=cdyxy514:=xy2dx解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=011dxy-d(y2+2y)-d(x2+5x)=022y+4y+x+10x-2xy=c.22dy15:=(x+1)dx2+(4y+1)2+8xy1dy解：原方程為：=（x+4y）2+3dxdy1du1令x+4y=u則=-dx4dx41du1-=u+324dx4du=4u+132dx3u=tg(6x+c)-122tg(6x+c)=(x+4y+1).3xdy16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程：ydx1）y(1+xy)dx=xdy22xdy2xy222）=ydx2-x2y2dyxy=u,則x+y=dxdudx證明：令dy1duu則=-，有：dxxdxx2xdu=f(u)+1udx1u(f(u)1)1du=dxx所以原方程可化為變量分離方程。dy1duu1）令xy=u則=-(1)dxxdxx2dyy原方程可化為：=[1+（xy）](2)2dxx1duuu=(1+u)2xdxx2x將1代入2式有：-u22+cxu=17.求一曲線，使它的切線坐標(biāo)軸間的部分初切點(diǎn)分成相等的部分。解：設(shè)（x+y）為所求曲線上任意一點(diǎn)，則切線方程為：y=y’(x-x)+y則與x軸，y軸交點(diǎn)分別為：yx=x-0y=y-xy’y'000y則x=2x=x-0所以xy=cy'0018.求曲線上任意一點(diǎn)切線與該點(diǎn)的向徑夾角為0的曲線方程，其中=。4y11解：由題意得：y’=dy=dxxyxln|y|=ln|xc|y=cx.=則y=tgx所以c=1y=x.419.證明曲線上的切線的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點(diǎn)，則y’=kx則：y=kx2+c即為所求。常微分方程習(xí)題2.1dy2xy,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.1.dx解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得1xe把x0,y1代入得dy2xdx,兩邊同時(shí)積分得：lny2c,即ycx2yex2。c1,故它的特解為yy2dx(x1)dy0,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.2.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得：1x1dxdy,當(dāng)y0時(shí)，兩邊同時(shí)積分得；lnx11c,即y11clnx1yy2當(dāng)y0時(shí)顯然也是原方程的解。當(dāng)x0,y1時(shí)，代入式子得c1,故特解是1y1ln1x。y12dydx3xyx3y解：原式可化為：dy1y211y2y1?顯然0,故分離變量得1dyy2x3dxxdxyyx3x兩邊積分得1ln12lnx1ln12lnc(c0),(1y即yxx22)(1)cx2xx222y故原方程的解為（12）(1)c25:(yx)dy(yx)dx0dyyx,令yu,yux,dyuxdxyxxdx則uxduu1dudx解：u1,變量分離，得：du1dx1dxu1u2x兩邊積分得：arctgu1ln(12)lnxc。u2dy2y2x6：xydx解：令yu,yux,dyuxdu,則原方程化為：dxxdxxu(12)2,分離變量得：1dusgnx?dx1dudxx1ux2兩邊積分得：arcsinusgnx?lnxc代回原來變量，得arcsinysgnx?lnxcxyx另外，22也是方程的解。7：tgydxctgxdy0解：變量分離，得：ctgydytgxdx兩邊積分得：lnsinylncosxc.8:dyey23xdxy解：變量分離，得ydy1e3xc3ey29:x(lnxlny)dyydx0解：方程可變?yōu)椋簂ny?dydx0yxx令uy,則有：1dx1lnudlnulnuxx代回原變量得：cy1lny。xdye10：xydxeexdx解：變量分離ydyee兩邊積分yxc4：(1x)ydx(1y)xdy0解：由y0或x0是方程的解，當(dāng)xy0時(shí)，變量分離1xdx1ydy0xy兩邊積分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解為lnxyxyc;y0;x0.dyexydxeexdxdy解：變量分離，yee兩邊積分得：xcy()11.dydxxy2解：令xyt,則dydt1dxdxdt1原方程可變?yōu)椋?tdx21變量分離得：dtdx,兩邊積分arctgtxct12代回變量得：arctg(xy)xcdydx1(xy)212．解令xyt，則dydt1，原方程可變?yōu)閐t11dxdxdxt2t2變量分離dtdx，兩邊積分tarctgtxc，代回變量t21xyarctg(xy)xcdy2xy113.dxx2y1解：方程組2xy10,x2y10;的解為x,y1133dY2XY'dXX2Y令xX13,yY1,則有322U2U2令YU，則方程可化為：XdUXdX12U變量分離dyxy514,dxxy2dy解：令xy5t,則1dt,dxdx原方程化為：1dttdxt7,變量分離(t7)dt7dx1t兩邊積分27t7xc2(xy5)7(xy5)7xc.2代回變量12dy(x1)2(4y1)28xy115．dxdy解：方程化為x22x116y28y18xy1(x4y1)22dx令1x4yu，則關(guān)于x求導(dǎo)得14dydu，所以1duu29，dxdx4dx4分離變量1dudx，兩邊積分得arctg(22x8y)6xc，是4u93332原方程的解。dydx2xy5x2y2y62x216．dy(y3)22x23[(y3)22x2]，，令yu，則原方程化為解：dy3dx3(2dxy2xyx2xyx23323u262x221xdu3u26xdx2xux2，這是齊次方程，令uuxz，則zxdz，所以dudxdx3z262z1dzz2z6，...........(1)zxdz，，xdxdx2z1當(dāng)z2z60，得z3或z2是（1）方程的解。即y33x或y32x是方程的解。當(dāng)z2z60時(shí)，變量分離2z1dzdx，兩邊積分的（z3)7(z2)3x5c,1zzdx2即（y33x)7(y32x)3x5c，又因?yàn)閥33x或y32x包含在通解中當(dāng)c0時(shí)。故原方程的解為(y33x)7(y32x)3x15cdy2x33xyx17.32dxxyyy23dyx(2x23y21);;;;;dy22x23y21dx23x22y21du2v3u1解：原方程化為dxy(3x22y21)令,;;;;;xv;;;;;;;則yu.......1()22dv3v2u12v3u10的解為（1，1）；令Zv1，，Yu1，方程組3210vu23y2z3y0，，，，從而方程（1）化為dyz則有3z2y032yzdzt，，則有dytzdt，，所以tz，，zydt23tdt22t2，...........(2)令zdzdzdz32tdz32t當(dāng)22t20時(shí)，，即t1，是方程(2)的解。得y2x22或y2x2是原方程的解當(dāng)22t0時(shí)，，分離變量得32t22t2dt1dz兩邊積分的y2x2(y2x22)5c2z另外y2x22，或y2x2，包含在其通解中，故原方程的解為y2x2(y2x22)5cxdyf(xy)xyuydx1.y(1x2y2)dxxdy18.(2).xdy2xyy2222ydx2xdudydydu證明：因?yàn)閤yu,關(guān)于x求導(dǎo)導(dǎo)得yx,所以xydxdxdxdx得：1du1f(u),ydxdudxy(f(u)1)x(f(u)1)x1(uf(u)u)u故此方程為此方程為變程。yx22xdy解(1):當(dāng)x0或y0是原方程的解，當(dāng)xy0s時(shí)，方程化為1ydxdu1udu1dx令xyu,則方程化為(2u),變量分離得：3udxx2ux3yu22xx2兩邊同時(shí)積分得：c,即c,y0也包含在此通解中。24uyx2222y2x故原方程的解為原c,x0.2yx222du12u(u(2)xyu2u22u)1x24uu2dxx2u2du1dxln2c4yx2y4uxxx19.已知f(x)f(x)dt1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式.01解：設(shè)f(x)=y,則原方程化為f(x)dt1兩邊求導(dǎo)得y2yy'xy01;;;;;;;;;;;;兩邊積分得xc11;;;;;所以y1y3dy;;;;;;;;;;dxdxy3dy2y22xc1代入f(x)dt1x把y2xcy01dt2xc;;;;;;;;;;(2xcc)2xc得c0,所以y12xx2tc0x(t)x(s)20.求具有性質(zhì)x(t+s)=1x(t)x(s)的函數(shù)x(t),已知x’(0)存在。x(0)x(0)1x(0)1x(0)x(0)2x(0)若x(0)0得x2=-1矛盾。解：令t=s=0x(0)==x(tt)x(t)tx(t)(1x2(t))limt[1x(t)x(t)x'(0)(1x2(t))所以x(0)=0.x’(t)=limdx(t)x'(0)(1x(t))dx(t)1x2(t)x'(0)dt兩邊積分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以2dtx(t)=tg[x’(0)t+c]當(dāng)t=0時(shí)x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]習(xí)題2.2求下列方程的解dy1．=ysinxdx(sinxedxdxc)dx解：y=e1=ex[-ex(sinxcosx)+c]21=cex-(sinxcosx)是原方程的解。2dxdt2．+3x=e2tdx原方程可化為：=-3x+e2t解：dt(e2te3dtdtc)3dt所以：x=e1=e3t(e5t+c)51=ce3t+e2t是原方程的解。5ds13．=-scost+sin2tdt23dt1(sin2tedtc)costdt解：s=e2sintcostesintdtc)=esint(sint(sintesintesintc)=e=cesintsint1是原方程的解。dyxyexxn，n為常數(shù).4．dxndyx解：原方程可化為：yexxndxnnxnyedx(exxnedxdxc)xxn(exc)是原方程的解.dy12xy=05．+dxx21dy12xy1解：原方程可化為：=-dxx212x2x1yedx(ex2dxdxc)x2(lnx21)(elnx2xdxc)1e21=x2(1cex)是原方程的解.dyx4x36．dxxy2dyx4x3解：dxxy2xy3=+yx2ydyxdudx令u則=uyuxxdxdu因此：=xxdxu2du1dxu2u2dudx1u3xc3u33xxc（*）y將u帶入（*）中得：y3xcx3是原方程的解.34xdy2y(x1)37.dxx1dy2y(x1)3解：dxx12P(x)x1,Q(x)(x1)32P(x)dxedx(x1)2x1e方程的通解為：y=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)1(x1)2=(x+1)(2*(x+1)dx+c)3=(x+1)(2(x+1)dx+c)=(x+1)2((x1)2c)2即：2y=c(x+1)2+(x+1)為方程的通解。4dydxxy3y8.=dxx+y13解：xy2dyyy則P(y)=1,Q(y)y2y1eP(y)dyeydyy方程的通解為：x=eeP(y)dy(P(y)dyQ(y)dyc)1=y(*y2dyc)yy3=cy2y3即x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。29.dyayx1,a為常數(shù)dxxxdy10.xyx3dxx1解：P（x)a,Q(x)xx解：dy1yx3dxaxdxxaP(x)dxexeP(x)1x方程的通解為：y=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc),Q(x)x31x+1=xa(dx+c)P(x)dx11exdxxexax當(dāng)a0時(shí)，方程的通解為方程的通解為：y=x+ln/x/+cy=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)當(dāng)a1時(shí)，方程的通解為y=cx+xln/x/-1當(dāng)a0，1時(shí)，方程的通解為x11=(x*x3dxc)xxc3=y=cx+-4ax1a-axc3方程的通解為：y=4xdy11.xyx3y3dxdy解：xyx3y3dx兩邊除以y3dyxy2x3y3dxdy-22(xy2x3)dx令y2zdz2(xzx3)dxP(x)2x,Q(x)2x3epxdxe2xdxex2方程的通解為：z=epxdx(epxdxQ(x)dxc)=ex2(ex2(2x3)dxc)=x2cex21故方程的通解為：y2(x2cex21)1,且y0也是方程的解。clnx12412.(ylnx2)ydxxdyx24dylnxy22y解：dxxx兩邊除以y2dylnx2y1y2dxxxdy1lnx2y1dxxx令yz1dz2zlnxdxxx2lnxP(x),Q(x)xx方程的通解為：zeP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)1(lnx)dxc))dxc)x2(xlnxx22ze(e(dxdxxxx2cx24lnx124方程的通解為:y(cx24lnx1)1,且y=0也是解。24132xydy(2y2x)dxdy2y2xy1x2ydx2xy這是n=-1時(shí)的伯努利方程。1兩邊同除以，ydyy12ydxx2令y2zdz2ydydxdxdz2y22z11xdxx2P(x)=Q(x)=-1x由一階線性方程的求解公式22zedx(edxdxc)xx=xx2cy2xx2cdyey3x14dxx2dy(ey)23xey兩邊同乘以eeyydxx2令eyzdzeydydxdxdzz23xz3zz2這是n=2時(shí)的伯努利方程。xx2dxx21dz31令z2dxxzx2z1T兩邊同除以z2dT1dzdT3T1dxz2dxdxxx23P（x）=Q(x)=x1x2由一階線性方程的求解公式133Tedx(edxdxc)xxx21=x3(x2c)2=12x1cx3z(1x1cx3)12ey(1x1cx3)121x2eyceyx321x2x3eyc2dydxxyx3y3115dxyxy3x3dy這是n=3時(shí)的伯努利方程。1dxyy3x3dyx2兩邊同除以x3dz2x3dydxdy令xz2dz2y3=2yz2y3P(y)=-2yQ(y)=2y32ydyx2由一階線性方程的求解公式ze2ydy(2y3e2ydydyc)=ey2(2y3ey2dyc)=y1cey22x2(y21cey2)1x2ey2(y21cey2)ey2ey2(1x2x2y2)cx216y=ex+xy(t)dt0dyexy(x)dxdyyexdxP(x)=1Q(x)=ex由一階線性方程的求解公式y(tǒng)e1dx(exe1dxdxc)=ex(exexdxc)=ex(xc)ex(xc)exxex(xc)dx0c=1y=ex(xc)17設(shè)函數(shù)(t)于∞<t<∞上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)'試求此函數(shù)。(0)1令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=(0)2故(0)0或(t)0即（1）當(dāng)(0)0時(shí)(t)(t0)(t)(0)t(∞,∞)(tt)(t)t(t)(t)(t)t(t)lim=lim(2)當(dāng)(0)1時(shí)'t0t0(t)((t)1)t=lim(t0)(0)t=lim(t)t0t0=(0)(t)'dd于是(0)(t)變量分離得(0)dt積分ce'(0)t''dt由于(0)1，即t=0時(shí)1=1ce0c=1故(t)e'(0)t20.試證：（1）一階非齊線性方程（2.28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）之解；（2）若yy(x)是（其中c為任意常數(shù).yy(x)是（的通解可表為ycy(x)y(x)，2.3）的非零解，而2.28）的解，則方程（2.28）（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.dyP(x)yQ(x)（2.28）證明：dxdydxP(x)y（2.3）（1）設(shè)y，y是（2.28）2的任意兩個(gè)解1dy1P(x)yQ(x)（1）1則dxdy2P(x)yQ(x)（2）2dx（1）-（2）得dyyP(x)(yy)1dx212即yyy是滿足方程（2.3）12所以，命題成立。（2）由題意得：dy(x)P(x)y（3）dxdy(x)P(x)y(x)Q(x)（4）dxycyy是（1）先證2.28）的一個(gè)解。于是c34得cdydycP(x)yP(x)yQ(x)dxdxd(cyy)P(x)(cyy)Q(x)dx故ycyy是（2.28）的一個(gè)解。4）的任一解都可寫成cyy的形式2）現(xiàn)證方程（設(shè)y是(2.28)的一個(gè)解1dy則P(x)yQ(x)（4’）11dx于是（4’）-（4）得d(yy)P(x)(yy)1dx1從而yyceP(x)dxcy1即yycy1所以，命題成立。（3）設(shè)y，y是（42.3）的任意兩個(gè)解3dy3P(x)y（5）3則dxdy4P(x)y（6）dx4cdy于是（5）c得3cP(x)y3dxd(cy)即cP(x)(cy)其中為任意常數(shù)33dxycy滿足方程（2.3）3也就是（5）（6）得dydy4P(x)yP(x)y3dxdx34d(yy)P(x)(yy)即3dx434yyy滿足方程（也就是32.3）4所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5）曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；（6）曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)；解：設(shè)p(x,y)為曲線上的任一點(diǎn)，則過p點(diǎn)曲線的切線方程為Yyy'(Xx)從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(xy,0),(0,yxy')y'y即橫截距為x，y'縱截距為yxy'。由題意得：（5）yxy'x2方程變形為dyxyx2dxdy1yxdxx1(1)dx于是yedx((x)edxc)xxelnx((x)elnxdxc)x((x)x1dxc)1x((x)dxc)xx(xc)xcx2所以，方程的通解為yxcx。2xy（6）yxy'2方程變形為dyyxdx22xdy1y1dx2x21(1)dx2x1于是yedx(()edxc)2x2111lnxdxc)2e2lnx(()e2121x2(()x1dxc)2x2((1x2)dxc)11211x(xc)2212xcx1yxcx2。所以，方程的通解為22．求解下列方程。（1）(x21)y'xy0xy1y1x21解：'yx12x21ex1xyedxc)dx(x21x21111=/x21/2[dxc]x211/x21/2dx1=/x21/2[c]3/x21/2=c/1x2/x（2）y'sinxcosxysin3x0dysin2xydxsinxcosxcosx1sin2xQ(x)=cosxP(x)=sinxcosx由一階線性方程的求解公式y(tǒng)esinxcosxesin2x11sinxcosxdxdxc)dx(cosxsinx(sinxdxc)==cosxsinx(cosxc)cosx=tgxcsinx習(xí)題2.31、驗(yàn)證下列方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解。1.(x2y)dx(x2y)dy0M解：yNx1，=1.MN則yx所以此方程是恰當(dāng)方程。湊微分，x2dx2ydy(ydxxdy)01得：xxyyC323yxdx(4yx)dy02．(3)2MNx解：y1，1.MN則yx.所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，ydxxdy3x2dx4ydy0得xxyyC232y]dx[11x223．[]dy0(xy)2xy(xy)2M2y(xy)22y2(xy)(1)2xy解：y(xy)(xy)34N2x(xy)22x2(xy)2xyxMN(xy)(xy)34則.xy因此此方程是恰當(dāng)方程。u1（1）x(xy)2xy2u1x2（2）yy(xy)2y12x的積分，則udxdx(y)對(duì)（1）做(xy)2xy2lnx(y)（3）=xyu(1)y2(xy)2yd(y)對(duì)（3）做y的積分，則y(xy)dy22xyyd(y)(xy)22==dy1x2y(xy)2則d(y)1dyxy22xy1x22xyy122(xy)21y(xy)2y(xy)2y1(y)(1)dylnyyyyyy2xyy2yxylnxxy2ulnxlnyylnxyxxyyxylnCxxy故此方程的通解為2)4、2(3xy2xdx3(2x2yy)dy032MyN12xy解：12xy，.xMNyx.則此方程為恰當(dāng)方程。6xydx4x3dx6x2ydy3y2dy0湊微分，23d(x2y2)d(x4)d(x3)0x3得：xyyC342215.(sin-xyy1cos+1)dx+(cos-yxx1sin+)dy=0yy2yyx2xxxy21解：M=sin-xyy1cos+1N=cos-yxx1sin+yy2yyx2xxxy2My1xxx1yyyx=-sin-cos-cos+siny2yyyx2xx33N1xxx1yycos+sinyx=-sin-ycos-xyy3xxyx232MN所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程yx1xy因?yàn)閟indx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0y1yxx1yyxxxxyyy222xyd(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=01yxyyx1所以，d(sin-cos+x-)=0xyyyx1故所求的解為sin-cos+x-=Cxyy求下列方程的解：6．2x(yex2-1)dx+ex2dy=0MyNx解：=2xex2,=2xex2MN所以，y=x，故原方程為恰當(dāng)方程又2xyex2dx-2xdx+ex2dy=0所以，d(yex2-x2)=0故所求的解為ye-x2=Cx27.(ex+3y2)dx+2xydy=0解：exdx+3y2dx+2xydy=0exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0所以，dex(x2-2x+2)+d(x3y2)=0即d[ex(x2-2x+2)+x3y2]=0故方程的解為e(x2-2x+2)+x3y2=Cx8.2xydx+(x2+1)dy=0解：2xydx+x2dy+dy=0d(x2y)+dy=0即d(x2y+y)=0故方程的解為xy+y=C29、ydxxdyxydx22兩邊同除以xy2得ydxxdydxxy解：222x即，darctgdxyx故方程的通解為argtgxcy10、ydxxydy03ydxxdyydy可化為：y解：方程2x即，dydyyx1故方程的通解為：yc即：2xyyc22y2同時(shí)，y=0也是方程的解。y1xydxxdy011、可化為：ydxxdy1xydx解：方程dxydxy1xydx即：dx1xy故方程的通解為：ln1xyxcyxdxxdy012、2ydxxdydx可化為：x解：方程2yddxxyxcxy故方程的通解為：cx即：xxydxxdy0213、MN解：這里Mx2y,Nx，yxMNyx11有積分因子edxx方程xxNxxydxx2dy0是恰當(dāng)方程兩邊乘以得：方程2故方程的通解為：x2xydxxxxydxdyc2222yx3x3yc3x3x2yc即：3xxy14、cossincosxydxxxydy0cossin,cos解：這里MxxyxyNxxyyxMNcossinxyxxy因?yàn)楣史匠痰耐ń鉃椋簓xcosxysinxydxdyc即：xcosxysinxydxxcosxyxsinxyc15、ycosxxsinxdxyxxxdyosincosMNyx解：這里Mycosxxsinx,NysinxxcosxMNyx1方程有積分因子：edyey兩邊乘以得：M方程coseyxxxdxeysinxxxdy0為恰當(dāng)方程sincosyycossincossin故通解為：eyyxxxdxNeyxxxdxdycyy1eycosxc即：esinxyy16、4xydx2xdyy3ydx5xdy03解：兩邊同乘以x2y得：4x3y2dx2x4ydy3x2y5dx5x3ydy0dxydxy04235xyxyc故方程的通解為：423517、試導(dǎo)出方程M(X,Y)dxN(X,Y)dy0具有形為(xy)和(xy)的積分因子的充要條件。解：若方程具有(xy)為積分因子，yx(M)(N)（(xy)是連續(xù)可導(dǎo)）MyxxMyNNMyNxMN(yx)(1)令zxyd，.dzdxdzxdzydzddNMMN()，)，dzdzxydNMxy(MN)(dzNMdxyMN，dz(xy)dzNMxyMN方程有積分因子(xy)的充要條件是：是的函數(shù)，xy此時(shí)，積分因子為(xy)e(z)dz.(2)令zxydzdyxdzxdzydzydz，dxdzdNyd(NMxyMx)dzdz(MxNy)d(dz)xyNMNMdxyMxNyNMxMxNyydz(xy)e此時(shí)的積分因子為fy18.設(shè)f(x,y)及連續(xù),試證方程(,)dyfxydx0為線性方程的充要條件是它有僅依賴于x的積分因子.dy,則有P(x)yQ(x),若該方程為線性方程dx證:必要性(x)e此方程有積分因子,(x)只與x有關(guān).P(x)dx充分性若該方程有只與x有關(guān)的積分因子(x).xdy(x)f(x,y)dx0為恰當(dāng)方程,則()dxy(x)((x)f(x,y))d(x)f從而,,y(x)f(x)dyQ(x)(x)yQ(x)P(x)yQ(x).(x)(x)(x)P(x)(x)dy(P(x)yQ(x))dx0其中.于是方程可化為即方程為一階線性方程.20.設(shè)函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),\，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u(píng)得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0fyyxy(fg)x(fg)xyfxyx2y2(fg)2gyuyfyfyyxy(fg)ufy則=uf+uy+yf=+-yfyfgyfgyxy(fg)2gxygfxyxyyx(fg)2yfxyy==gffxygxy(fg)2=gy(fg)xyfxxygxx2y2(fg)2xxuxgxgug而=ug+uxx+xgx=xy(fg)+-xgxy(fg)xfxgyxxyxgfxygfxyxfxygxy==xy(fg)2(fg)2uyfuxg故=，所以u(píng)是方程得一個(gè)積分因子yxMN=yx21．假設(shè)方程（2.43）中得函數(shù)M（x,y）N(x,y)滿足關(guān)系Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程（2.43）有積分因子u=exp(f(x)dx+g(y)dy)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(uM)(uN)MuNu即證u+M=u+NyxyyxxMNuuMNf(x)dxg(y)dyyu(yxu(-)=N-Mx-)=Nef(x)yxMNf(x)dxg(y)dy-)=ef(x)dxg(y)dy(Nf(x)-Mg(y))x-Meg(y)u(y由已知條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子.dy伯努利方程為：PxyQxyn,yo;dx解：已知兩邊同乘以yn，令zyn，dz1nPxz1nQx,線性方程有積分因子：dxenPxdxen11Pxdx，故原方程的積分因子為：ePxdx，證畢！nPxdxen1123、設(shè)x,y是方程,可微函數(shù)MxydxNxydy0的積分因子，,Ux,y，從而求得~dU使得MdxNdy.試證也是方程x,yMx,ydxNx,ydy0的積分因子的充要條件是~x,yU,其中t是t的可微函數(shù)。uM~yMMuMuyyyu，則~證明：若yMuMuNuNuNuM~NxNxx又M~MNuMuyy~即為,MxydxNxydy0的一個(gè)積分因子。,24、設(shè)x,y,x,y是方程常數(shù)，求證c2MxydxNxydy0的兩個(gè)積分因子，且,,12121（任意常數(shù)）是方程MxydxNxydy0的通解。,,證明：因?yàn)?是方程MxydxNxydy0的積分因子,,12i1,2為恰當(dāng)方程所以MdxNdyoiiMMNi，i1,2即Niixyyx下面只需證1的全微分沿方程恒為零2事實(shí)上：xdx2dydx121dyxyy211d222NyNy1dxMdx2dxMdx22xx2212xy1M2MdxNNN21xy2122dxNNMM0Nyxyx121222c時(shí)，即當(dāng)c是方程的解。證畢！1122習(xí)題2.4求解下列方程1、xy1y3dy11yp，則x1tt3t2，解：令3dxttt1c32dtc3t22tc，22從而ypdxcdtt3txtt23于是求得方程參數(shù)形式得通解為.3yt22tc22、y3x31y0t31t2tdy1yptx，則txx1tx0，即x解：令，33dxt從而ypdxctt2dt21c1ttt121tdtc3t221tt4dtct22t51t2c，152t1xt2t于是求得方程參數(shù)形式得通解為.yt51t2c2152t3、yy2eydyyp，則yp2ep，解：令dx從而x1dpec2pp12pep2epdpcpp2epedpc=pp1pec，px1pecp于是求得方程參數(shù)形式的通解為,yy2ep另外，y=0也是方程的解.2a,為常數(shù)4、y1ya2dydx2a2a2acos2，ytg，則y1tg2sec2解：令從而x1dycpda2cosc12tg1cos24acos2dc4ac2a2sin2c，xa2sin2c于是求得方程參數(shù)形式的通解為.y2acos25、x2y21dy解：令ypcost，則x1cos2tsint，dx從而ycossintdtccos2tdtc1cos2tdtc211sin2tc，t24xsint于是求得方程參數(shù)形式的通解為.11ytsin2tc246、y2y12y21解：令2yyt，則1yyt1，得，ytt2dtt1t2t21t21dtdy所以dxdyy2ytt1t1dt21dt，1t22ttt11從而xdtcc，tt21xct于是求得方程參數(shù)形式的通解為，1ytt1y因此方程的通解為xc.xc習(xí)題2.52．ydxxdyx2ydy解：兩邊同除以x2，得：ydxxdyydyx2dy1y2cx2y1即y2cx2dy4．yxxydx解：兩邊同除以x，得yxdydxyx1y令uxdydudx則uxdxdydudxu即uxdx1u1得到c1lny2，2uxyc1即lny22y也是方程的解。另外06．1xyydxxdy0解：ydxxdyxydx0ydxxdyxdxy21xx2c2得到dyx1即x2cy2y也是方程的解。另外0dyyy2dxxx38.y解：令uxdydu1則：uxdxuu2dxxdu1u2即xdxxdudx得到ux2211c故ux1c1即yxx2y也是方程的解。另外0dydy10．xdx21dxdy解：令pdx1p2x即pdydxp故兩邊積分得到而y1p2lnpc21p2，y1p2lnpc。2因此原方程的解為xp1xexdy12.eydxdy解：1xexydxxyu令dydu1則dxdxdydu1xeu1dxdxdu即xdxeue1x2c2u故方程的解為exy12x2cdyxy1dx14．解：令xy1u則1dydudxdxdydu1u那么dxdxduu1dx求得：uxcln1故方程的解為xyxcln1或可寫為xy1cexdy16．x112eydx解：令eyu則ylnu1dux12u1udx1u2u1du1x1dx2u1u1cx1`即方程的解為eyxy2xc18．4x2y2dx2xydy013解：將方程變形后得dy4x2y2dx2x3y1dx2x3y1x1dy4xy2y4x2y222dxx13同除以x2得：x2dy2y4y2dz3z3令zx3則dy2y4y2323y2cy2z3即原方程的解為x3y2cy322dy19.X()22y()4x0dxdydxdyx()24xdxdy2()dxdy解：方程可化為2y()x()24x,ydxdydx令dyp,則yxp24xxp2x,兩邊對(duì)x求導(dǎo)得ppxdp22xdp22dxppdxdx2p2p2(p2)(),()dx(x2x)dp0,(p34p)dx(xp24x)dp0x2xdpp22p2p2dx2p2p2p(p24)dxx(p24)dp0p24或pdxxdp0,當(dāng)p24時(shí)y2x,當(dāng)pdxxdp0時(shí),xx24x24xpx,ycc2,2ycc2x24.c22xc2c20.y21(dy)21dx1sindcos2解：令dypsin,則y21(sin）1，ycos,dx1dydysinsincos2d2dxpxdcos2csec2dctgc所以方程的解為y2（xc)21,另外由p0得y1也是解。21.(1ey)dxey(1x)dy0xxy解：令xz則xyz,dxzydz方程為(1ez)dx(z1)ezdy,ydydydx(z1)e1ezdyzezzze1ezzezzydz,1ezdz1ezdyzezdyyzzzlnzezlny,y(zez)c,y(xey)c所以方程的解為xyeycxxyy23x22.2xdx2dy0yy43解：2xydx(y23x2)dy0MN2xy2xyMy2x,Nx6x,yx8x4所以方程有積分因子ey4ydyy43x2y4)dy0,d2d0所以方程的解為x21c即x2y2cy3x12xy3dx(y2yyyy3323.ydx(1xy2)dy0ydxxdy1y2x1y2解：ydxxdy(1y2)dy,兩邊同除以y2得dy,ddyyy2yy22所以方程的解為x1yc即（x1)y(yc),另外y0也是解。yy24.yx(x2y2)xdy0解：方程可化為ydxxdyx2y2xxx2xdx,darctgxdx所以方程的解為arctgc.yy225.dyedxx0dydx解：令dypt,xtet由dypdx得yt(1et)dtct2ettetcdx225.dyedxx0dydx解：令dypt則xtet由dypdx得yt(1et)dtct2ettetcdx2所以方程的解為：xtet，yt(1et)dtct2ettetc2y326（.2xyx2y)dx(x2y2)dy03MNM解：2xx2y2,N2x,yx1所以方程有積分因子ex方程兩邊同乘ex得yxxy22d3exx2ydexy30所以方程的解為：3exx2yexy3cdy2x3y4dx4x6y527.duu423dy23dx2u5解：令u2x3y，，則dxdu7u22dx2u52u5dudx，7u22，19114u7=dx，2227229ln2x3y7314(3yx)c兩邊積分得2即為方程的通解。222x3y0也是方程的解。77u220，即另外，dy28.xy2x2y(yx2)2dx解：兩邊同除以可化為：x，方程dyydxx2xy(yx2)2y令u，則xdu