《從力做的功到向量的數(shù)量積 》公開課教學(xué)PPT課件【高中數(shù)學(xué)必修4（北師大版）】

從力做的功到向量的數(shù)量積第二章·平面向量北師大版·統(tǒng)編教材高中數(shù)學(xué)必修4新課學(xué)習(xí)教材整理：向量的夾角及數(shù)量積閱讀教材P93～P96內(nèi)容，完成下列問題。新課學(xué)習(xí)0°180°90°a⊥b01．向量的夾角新課學(xué)習(xí)02.向量的數(shù)量積(1)射影

叫作向量b在a方向上的投影數(shù)量(簡(jiǎn)稱為投影)。(2)數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把

叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝

，其中θ是a與b的夾角。(3)規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為

。新課學(xué)習(xí)(4)幾何意義a與b的數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上射影

的乘積，或b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上射影|a|cosθ的乘積。新課學(xué)習(xí)新課學(xué)習(xí)(6)運(yùn)算律已知向量a，b，c與實(shí)數(shù)λ，則：①交換律：a·b＝

；②結(jié)合律：(λa)·b＝

＝

；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。新課學(xué)習(xí)判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩向量的數(shù)量積仍是一個(gè)向量。(

)(2)若a·b＝0，則a＝0或b＝0。(

)(3)設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ>0?a·b>0。(

)(4)對(duì)于任意向量a，b，總有(a·b)2＝a2·b2。(

)新課學(xué)習(xí)【解析】(1)×，兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。(2)×，∵a·b＝|a||b|cosθ＝0，∴a＝0或b＝0或cosθ＝0。(3)√(4)×，由數(shù)量積定義知，錯(cuò)?！敬鸢浮?1)×

(2)×

(3)√

(4)×隨堂練習(xí)例1已知|a|＝4，|b|＝5，且a與b的夾角為60°。

求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2【精彩點(diǎn)撥】利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式a·b＝|a||b|cosθ，|a|2＝a2及運(yùn)算律計(jì)算。隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1．已知|a|＝10，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，求：(1)a·b(2)a在b方向上的射影。(3)(a－2b)·(a＋b)(4)(a－b)2隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)例2已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2。求：(1)|a＋b|(2)|3a－4b|【精彩點(diǎn)撥】利用公式|a|2＝a2進(jìn)行計(jì)算。隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1．求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量的數(shù)量積聯(lián)系，并靈活運(yùn)

用a2＝|a|2，最后勿忘開方。2．一些常見等式應(yīng)熟記：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2;(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等。隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)向量的夾角和垂直問題探究1若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？【提示】a·b＝0?a⊥b。探究2

|a·b|與|a|·|b|的大小關(guān)系如何？為什么？【提示】|a·b|≤|a|·|b|.因?yàn)閨a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|.由|cosθ|≤1，可得|a·b|≤|a|·|b|。探究3對(duì)于向量a·b，如何求它們的夾角θ？【提示】求夾角θ時(shí)先求兩個(gè)向量a，b夾角的余弦值。然后根據(jù)向量夾角的

取值范圍求角。隨堂練習(xí)例3已知單位向量e1，e2的夾角為60°，求向量a＝2e1＋e2與b＝2e2－3e1的夾角θ。隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1．求向量a，b的夾角θ有兩步：

第一步，利用公式cosθ＝

，求cosθ；

第二步，根據(jù)θ∈[0，π]確定θ。而求cosθ有兩種情形，一種是求出a·b，|a|，|b|的值；另一種是得到a·b，|a|，|b|之間的關(guān)系分別代入公式計(jì)算。2．兩向量垂直?a·b＝0，即把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問題解決。隨堂練習(xí)3已知|a|＝1，a·b＝(a－b)(a＋b)＝

。(1)求a與b的夾角；(2)求a－b與a＋b的夾角的余弦值。隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)新課學(xué)習(xí)1．求平面向量數(shù)量積的步驟是：①求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]；②分別求出|a|和|b|；③利用數(shù)量積的定義：a·b＝|a||b|cosθ，求解。要特別注意書寫時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×”連接，更不能省略不寫。2．若所求形式比較復(fù)雜，則應(yīng)先運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算律展開、化簡(jiǎn)，再確定向量的模和夾角，最后根據(jù)定義求出數(shù)量積。隨堂練習(xí)1．對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中正確的是(

)。A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則a＝0或λ＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c【解析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，知A，C，D錯(cuò)誤?！敬鸢浮緽隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)4．單位向量i，j相互