《 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（習(xí)題）》示范公開課教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)人教版】

《函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（習(xí)題）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．通過習(xí)題的訓(xùn)練，加深對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的理解，體會這類函數(shù)的重要性．2．通過函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象進(jìn)一步理解它的性質(zhì)，在解決問題中，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程（一）新知探究例1如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪自點(diǎn)B開始1min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時間x（s）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有（）A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生進(jìn)行分析并回答．追問：在這個實(shí)際問題中，ω、A分別與哪個量有關(guān)？預(yù)設(shè)答案：ω與周期有關(guān)，也就是與角速度有關(guān)；A為水輪的半徑．解析：由1min旋轉(zhuǎn)4圈，則轉(zhuǎn)1圈的時間為T＝eq\f(1,4)min＝eq\f(1,4)×60＝15（s），則ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,15)．又由圖可知，A＝3．故選A．設(shè)計意圖：熟悉函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）表達(dá)式中參數(shù)A、ω、φ的實(shí)際意義，這樣才能真正提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)．例2函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)）的一段圖象過點(diǎn)（0，1），如圖所示．（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位，得函數(shù)y＝g（x）的圖象，求y＝g（x）的最大值，并求出此時自變量x的集合．預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生們通過獨(dú)立思考以后，再分小組討論，然后展示小組的討論結(jié)果．追問：在圖象中，ω、A、φ分別與哪些因素有關(guān)？如何確定它們的值？預(yù)設(shè)答案：ω與周期有關(guān)，可以由關(guān)鍵點(diǎn)間的橫坐標(biāo)距離來確定；φ與左、右平移距離有關(guān)，可以由第一關(guān)鍵點(diǎn)來確定；A與函數(shù)的最值有關(guān)，可以由圖中所給的（0，1）點(diǎn)來確定．解：（1）由圖知，T＝π，于是ω＝eq\f(2π,T)＝2．將y＝Asin2x的圖象向左平移eq\f(π,12)，得y＝Asin2(x＋eq\f(π,12))＝Asin(2x＋eq\f(π,6))，∴φ＝eq\f(π,6)．將（0，1）代入y＝Asin(2x＋eq\f(π,6))，得A＝2．故f（x）＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．（2）依題意，g（x）＝2sin[2(x－eq\f(π,4))＋eq\f(π,6)]＝－2cos(2x＋eq\f(π,6))．當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋π，即x＝kπ＋eq\f(5π,12)（k∈Z）時，ymax＝2．∴此時x的值集合為{x|x＝kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z}．設(shè)計意圖：通過本例，讓學(xué)生清楚函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)表達(dá)式中參數(shù)A、ω、φ在其圖象中是如何表現(xiàn)的，怎樣根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，這類題目在解答時其規(guī)律性是什么，可以讓學(xué)生課下進(jìn)行歸納總結(jié)．另外，圖象變換中需要注意哪些常見的問題，通過這些問題的解決，加深對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的理解和認(rèn)識．例3如圖所示，某游樂園的一個摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，如果此摩天輪每20分鐘轉(zhuǎn)一圈，當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過P0處時開始計時（按逆時針方向轉(zhuǎn)），∠POP0＝（其中OP平行于地面）．（1）求開始轉(zhuǎn)動5分鐘時此人相對于地面的高度；（2）開始轉(zhuǎn)動分鐘時，摩天輪上此人經(jīng)過點(diǎn)P1，求|P0P1|的值．預(yù)設(shè)的師生活動：可以先讓學(xué)生思考如何建立函數(shù)模型，然后回答，其他同學(xué)補(bǔ)充．追問：我們知道，解決這個問題，首先應(yīng)該建立函數(shù)模型，而建立函數(shù)模型就需要建立直角坐標(biāo)系，建在什么地方比較合適呢？預(yù)設(shè)答案：可以考慮以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，這樣建系求出的函數(shù)表達(dá)式比較簡單．解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)摩天輪上某人所在的點(diǎn)為Q，則在t分鐘內(nèi)OQ轉(zhuǎn)過的角為，摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，所以t分鐘時，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝10sin，所以在t分鐘時此人相對于地面的高度為h＝10sin＋12，所以5分鐘后的高度為h＝10sin＋12＝＋12（米）．（2）由（1）可知，在分鐘內(nèi)OQ轉(zhuǎn)過的角為，∠POP1＝，由題意可知P1（0，22），由∠POP0＝可求得P0（，17），則由兩點(diǎn)間距離公式可得|P0P1|＝＝10．設(shè)計意圖：通過本題，讓學(xué)生知道求解這種實(shí)際問題的依據(jù)是問題中所涉及量的實(shí)際意義與三角函數(shù)的相關(guān)知識，求解時注意分析清楚實(shí)際問題中的量之間的關(guān)系，以及與數(shù)學(xué)知識之間有什么關(guān)系，如何轉(zhuǎn)化？通過這類題目提高自己分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．（二）歸納小結(jié)問題：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，請你談?wù)勗诮鉀Q與函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)有關(guān)的問題時需要注意哪些方面？你獲得了怎樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生自我總結(jié)，并交流分享．預(yù)設(shè)答案：（1）理解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)表達(dá)式中參數(shù)A、ω、φ的實(shí)際意義；（2）參數(shù)A、ω、φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象分別有什么影響；（3）在圖象中參數(shù)A、ω、φ分別與哪些因素有關(guān)，如何確定它們的值；（4）圖象變換時哪些地方容易出錯，等等．設(shè)計意圖：通過歸納研究方法，積累學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，提高分析問題、解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與直觀想象等素養(yǎng)；（三）課后作業(yè)：1．函數(shù)f（x）＝2sin(ωx＋φ)（ω＞0，－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)）的部分圖象如圖所示，則ω、φ的值分別是（）A．2，－eq\f(π,3) B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6) D．4，eq\f(π,3)2．已知函數(shù)f（x）＝3sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,4))，x∈R．（1）列表并畫出函數(shù)f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；（2）將函數(shù)y＝sinx的圖象作怎樣的變換可得到f（x）的圖象？3．如圖所示，某游樂園的一個摩天輪的半徑為10米，輪子的底部到地面的距離為2米，該摩天輪沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，且每20分鐘旋轉(zhuǎn)一圈，當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P0（到地面的高度為17米）時開始計時，∠POP0＝a．（1）求此人轉(zhuǎn)動5分鐘后相對于地面的高度；（2）當(dāng)摩天輪上此人經(jīng)過點(diǎn)P1時，|P0P1|＝，∠POP1＝β，求cosβ．預(yù)設(shè)答案：1．eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)－（－eq\f(π,3)）＝eq\f(3π,4)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2．當(dāng)x＝eq\f(5π,12)時，2×eq\f(5π,12)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)．2．（1）函數(shù)f（x）的周期T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π．由eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，解得x＝eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)，eq\f(7π,2)，eq\f(9π,2)．列表如下：xeq\f(π,2)eq\f(3π,2)eq\f(5π,2)eq\f(7π,2)eq\f(9π,2)eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π3sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,4))030－30描出五個關(guān)鍵點(diǎn)并光滑連線，得到一個周期的簡圖．圖象如下：（2）方法一：先把y＝sinx的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到f（x）的圖象．方法二：先把y＝sinx的圖象所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來2倍，再把圖象向右平移eq\f(π,2)個單位，得到f（x）的圖象．3.（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，此人在摩天輪上每分鐘轉(zhuǎn)過的角為，所以t分鐘時，此人的縱坐標(biāo)為，所以t分鐘時，此人相對于地面的高度為h＝＋12．當(dāng)t＝0時，10sina＋12＝17，則sina＝，所以a＝，則h＝＋12．所以5分鐘后的高度為h＝＋12＝＋12（米）．（2）由（1）可知，P0（，5），P1（10cosβ，10sinβ），則|P0P1|＝＝，即，所以2－，所以．又因為β＞所以，故cosβ．（五）目標(biāo)檢測設(shè)計1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則（）A．y＝2sin(2x－eq\f(π,6)) B．y＝2sin(2x－eq\f(π,3))C．y＝