專題141等差數(shù)列及其求和考點(diǎn)講析學(xué)生版?zhèn)鋺?zhàn)2020年數(shù)學(xué)新高考突破紙間書屋

14.1等差數(shù)列及其求和（考點(diǎn)講析）熱門考點(diǎn)01 數(shù)列的概念與通項(xiàng)數(shù)列中是第幾項(xiàng).一般記為數(shù)列{an}.an1an1an1Manan數(shù)列的通項(xiàng)如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè) 式．即anfn,不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng) 數(shù)列anSa

(n

S S

(n【典例1 高 （理）已知數(shù)列an對(duì)任意的p，qN*滿足apqapaq，且a26，

【典例2 ）已知數(shù)列{a}和，其中an2，nN*，的項(xiàng)是互不相等 正整數(shù)，若對(duì)于任意nN*，的第a項(xiàng)等于{a}的第b項(xiàng)，則lg(b1b4b9b16)

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、規(guī)律， 來求．對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用1n根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想．由不完出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化情況，分解所給的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng).02 遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列 高二期中（文）已知數(shù)列a中，an2n，若a 取值范圍是

,

,【典例4（2012·高考（理）設(shè)，.在中，數(shù)的個(gè)數(shù)是 an＋1(a＞0a＜0)1

前n先求出數(shù)列的前nSnSn根據(jù)數(shù)列的通 ，若am0，且am10，則Sm最大；若am0，且am10，則Sm最小，這便可直接利用各項(xiàng)的符號(hào)確定最值 由遞推推導(dǎo)通n【典例5 市第二中學(xué)高一月考）在數(shù)列a中，a1，n

nN* 1列的通項(xiàng)an，可以是 1 n

2n

n 【典例6（2017·高考（文）設(shè)數(shù) 滿 的通項(xiàng)求數(shù) 的前項(xiàng)和遞推推導(dǎo)通項(xiàng)方法an1anfan1

fan1panq（pqpqp1)0q解法：把原遞 轉(zhuǎn)化為：an1tp(ant)，其中t1p，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解q 待定系數(shù)法： paqn（其中p,q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）.（或 pqr均為常數(shù)解法：在原遞 兩邊同除以qn1，得：an1

pan1，令b

p

1

q

q 0，aan1x(n1yp(anxny，與已知遞推式比較，xy,從而轉(zhuǎn)化為anxnyp的等比數(shù)列. paan2bnc(p0,1,a n 解法：一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令a x(n1)2y(n1)zp(axn2ynz)，與已知遞推式比較，解出x,y,從而轉(zhuǎn)化為axn2ynzn an2pan1qan（pq均為常數(shù)解法：先把原遞推轉(zhuǎn)化為

st滿足stp，再按第（4）stst取倒數(shù)法：

f(n)anan1panq，按第（3）（g(n)ant(n)an1f(n)anan10anan1an1panq取對(duì)數(shù) par(p0,

pan1panq，按第（3） 由前n項(xiàng)和推導(dǎo)通項(xiàng)，即an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)n2n2,n【典例7（2019·榆林市第二中學(xué)高二期中（理）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn2n2n2,n

2n

an

2n-

2n

n＝1n≥2 么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.用遞推表示為anan1d(n2)an1and(n1 ：ana1(n1)d說明：等差數(shù)列（AP數(shù)列）數(shù)列

0d0d

aAbA叫做a與b的等差中項(xiàng),Aab2aAb成等差數(shù)列

A 2要注意概念中的“2項(xiàng)起”234項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前 B． C． D．

【典例9（2018· 通 ：anpnq(p,q為常數(shù),nN)?an是等差數(shù)列 前n項(xiàng) ：SAn2Bn(A,B為常數(shù),nN)?a是等差數(shù)列 n n 06n等差數(shù)列的前n和的求和：

n(a1an)

n(n d 【典例10（2019·高考（理）記為等差數(shù) ，則 【典例11（2019·高考理設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn若a2=?3S5=?10則a5= Sn的最小值為 a10d0Sn有最大a10d0SnanSn最值時(shí)n的值（nN）則當(dāng)a10d0，滿an足

nS取最大值，(2)a0d0時(shí)，滿足an

的項(xiàng)數(shù)nS取最小值 nn項(xiàng)和：SAn2Bn(AB為常數(shù),nN)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時(shí)利用數(shù)列的單調(diào)性（d0,d0，遞減nan利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法：求最大項(xiàng)的方法：設(shè)an為最大項(xiàng)，則有a ；求最小項(xiàng)的 an法：設(shè)a為最小項(xiàng)，則 .只需將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

a 列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法即可等差數(shù)列的通項(xiàng)

a(n1)d及前n項(xiàng)

n(a1an)

n(nd a1dnanSn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決特殊設(shè)法:adaada,ad,ad,a3d.這對(duì)已知和,求數(shù)列各項(xiàng),運(yùn)算很方便07在等差數(shù)列amnNa

(nm)d，dan

(mn)

n在等差數(shù)列anm，n，p，qN且mnpq時(shí)，則2amapaqamap、aq的等差中項(xiàng).

amanapaq,特殊地，2mpSnS2nSnS3nS2n成等差數(shù)列兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{anbn若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則{kan設(shè)數(shù)列{an}d（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2nS奇-SndS

（Ⅱ）

a

(中間項(xiàng))；②S奇

apqaqppq,apq0SmnSmSnmnd若{a}與為等差數(shù)列，且前nS

'am

S2m1

S d0a10nSnd0時(shí)為遞減數(shù)列，a10nSn有最大值． 高 （文）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知am1am1am20 ）則 B．

C．

高 （理）若等差數(shù)列{an}滿足a7a8a90,a7a100，則n 時(shí)，{an}的前n08【典例15（2018· 市第二中學(xué)高一月考設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù)前n項(xiàng)和為Sn，若a16，a110，S1477，則所有可能的數(shù)列an的通項(xiàng) 求數(shù)列an的通 Sn是數(shù)列an的前nSn）na10d0Sn有最大a10d0SnanSn最值時(shí)n的值（nN）則當(dāng)a10d0，滿an足

nS取最大值，(2)a0d0時(shí)，滿足an

的項(xiàng)數(shù)nS取最小值 n項(xiàng)和：SnAn2Bn(AB為常數(shù),nN)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時(shí)利用數(shù)列的單調(diào)性（d0,d0，遞減anan為最大項(xiàng)，則有a

an法：設(shè)a為最小項(xiàng)，則 .只需將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

a 列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法即可滿足Sn0的最小正整數(shù)n的值為（ A． B． C． D．2（2019· 高二期中（理設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a815a5，則S9等于 m3（2019· 蘭州一中高二期中）已知等差數(shù)列an，anm,amn,則 mA． B． C． D．m 高 文記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a35,a713

高 ）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a30，a6a714，則S7 為360，則項(xiàng)數(shù)n為 8（2018· 和為Sn，若對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則d9（2019· 高二期中）若數(shù)列{an}

n2n（nN*則該數(shù)列的通項(xiàng)

an 10.（2013·高考（理）如圖，互不相同的 條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等.設(shè)若則數(shù)列的通項(xiàng)是 在數(shù)列aan2knnan1an恒成立，求實(shí)數(shù)k 高 （理）記Sn為等差數(shù)列{a