微分方程初步

微分方程初步第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二微分方程的基本概念

第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問(wèn)題物理問(wèn)題第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二引例1.

一曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線(xiàn)上任意點(diǎn)處的解:

設(shè)所求曲線(xiàn)方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線(xiàn)方程為②由①得切線(xiàn)斜率為2x,求該曲線(xiàn)的方程.第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二引例2.

列車(chē)在平直路上以的速度行駛,制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:

設(shè)列車(chē)在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說(shuō)明:

利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)(n

階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n

階常微分方程的形式是的階.分類(lèi)或第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二引例2—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程—

確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常數(shù)的解,定解條件其圖形稱(chēng)為積分曲線(xiàn).第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二分離變量方程的解法:設(shè)y＝(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時(shí),說(shuō)明由②確定的隱函數(shù)y＝(x)是①的解.則有稱(chēng)②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時(shí),上述過(guò)程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝(y)也是①的解.第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1.

求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說(shuō)明:

在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二齊次方程形如的方程叫做齊次方程.第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二令代入原方程得解法:第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二一階線(xiàn)性微分方程一階線(xiàn)性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱(chēng)為非齊次方程.

解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱(chēng)為齊次方程;第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二一.差分:設(shè)函數(shù)記為,當(dāng)取遍非負(fù)整數(shù),即:則差稱(chēng)為函數(shù)的差分,

記為又有:

稱(chēng)為函數(shù)的二階差分.時(shí),函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列:第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二差分方程的一般概念:差分方程不同形式之間可以互相轉(zhuǎn)化的符號(hào)的方程稱(chēng)為差分方程.例如:都是差分方程.定義:含有未知函數(shù)差分或表示未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二是一個(gè)二階差分方程,可以化為將原方程左邊寫(xiě)成:則可以化為第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二定義:如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后,方程兩邊把函數(shù)代入設(shè)有差分方程則有:

左邊等于右邊.恒等,則稱(chēng)此函數(shù)為差分方程的解.可以驗(yàn)證是常數(shù),也是差分方程的解初始條件,通解和特解第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二定義:形如是常數(shù),其中為已知函數(shù),為未知函數(shù)時(shí)稱(chēng)為非齊次方程,否則稱(chēng)為齊次的.的方程稱(chēng)為一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程.第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的解法:是方程的解容易驗(yàn)證:設(shè)和都是方程的解,則即:

也是方程的解1.通解和特解:非齊次方程的通解:第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二常系數(shù)齊次線(xiàn)性差分方程的解法:設(shè)已知,容易驗(yàn)證:迭代法:第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二微分方程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1、MATLAB求微分方程2、案例應(yīng)用3、小結(jié)第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、MATLAB求微分方程MATLAB求微分方程操作命令：dsolve(‘Dy=f(x,y)’,‘x’)------

求微分方程的通解dsolve(‘Dy=f(x,y)’,‘y(a)=b’,‘x’)------

求微分方程的特解dsolve(‘D2y=f(x,y,Dy)’,‘y(a)=b’,‘Dy(α)=β’,‘x’)------

求微分方程的特解第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二>>symsxy>>y=dsolve('Dy-2/(x+1)*y=(x+1)^(5/2)','x')y=2/3*(x+1)^(3/2)*x^2+4/3*(x+1)^(3/2)*x+2/3*(x+1)^(3/2)+C1*x^2+2*C1*x+C1解：第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二>>symsxy解：>>y=dsolve('Dy*(cos(x))^2+y-tan(x)=0','y(0)=0','x')y=(-exp(2*i*x)+i-i*exp(2*i*x)-1+exp(-1/cos(x)*sin(x)+2*i*x)+exp(-1/cos(x)*sin(x)))/(exp(2*i*x)+1)

第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二解：>>symsxy>>y=dsolve('D2y=Dy/x+x*exp(x)','x')y=x*exp(x)-exp(x)+C1+C2*x^2第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二>>symsxy>>y=dsolve('D2y+4*y=cos(2*x)','y(0)=1','Dy(0)=2','x')y=(1/8*sin(2*x)*cos(2*x)+1/4*x)*sin(2*x)+1/8*cos(2*x)^3+sin(2*x)+7/8*cos(2*x)解：第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、案例應(yīng)用第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二>>symstI>>I=dsolve('2*DI+10*I=3*sin(5*t)','t')I=-3/20*cos(5*t)+3/20*sin(5*t)+exp(-5*t)*C1>>I0=dsolve('2*DI+10*I=3*sin(5*t)','I(0)=6','t')I0=-3/20*cos(5*t)+3/20*sin(5*t)+123/20*exp(-5*t)第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二Example6(市場(chǎng)調(diào)查）對(duì)一新產(chǎn)品做市場(chǎng)調(diào)研，把它免費(fèi)提供給有100萬(wàn)居民的城市中的1000人，在調(diào)查期間，城市人口保持不變。假設(shè)產(chǎn)品被接受的速度與已擁有它和沒(méi)擁有它的人數(shù)成比例。若四周后，有3000人接受了此產(chǎn)品，會(huì)接受此產(chǎn)品的人數(shù)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。第二十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二>>symsxt>>x=dsolve('Dx=k*x*(1000000-x)','x(0)=1000','t')x=1000000/(1+999*exp(-1000000*k*t))>>k=solve('1000000/(1+999*exp(-1000000*k*4))=3000','k')k=-1/4000000*log(997/2997)>>k=-1/4000000*log(997/2997)k=2.7515e-007第二十八頁(yè)，共