《空間向量運算的坐標表示》示范公開課教學設計【高中數學人教版】

《空間向量運算的坐標表示》教學設計教材分析教材分析空間向量的坐標運算是在學生學習了空間向量的幾何形式及其運算、空間向量基本定理的基礎上進一步學習的知識，是平面向量坐標運算及其研究方法在空間的推廣和拓展，溝通了代數與幾何的關系，豐富了學生的認知結構，為學生學習立體幾何提供了新的視角、新的觀點和新的方法，給學生的思維開發(fā)提供了更加廣闊的空間．為運用向量坐標運算解決立體幾何問題奠定了知識和方法基礎．學生已掌握了平面向量坐標運算及其規(guī)律，并學會了空間向量的幾何形式及其運算；數學基礎較為扎實，學習上具備了一定的觀察、分析、解決問題的能力，但在探究問題的內部聯系和內在發(fā)展上還有所欠缺．所以通過教師的引導，學生的自主探索，不斷地完善自我的認知結構．課時分配課時分配1課時教學目標教學目標1．掌握空間向量的坐標運算規(guī)律；2．掌握空間向量平行與垂直的坐標表示；3．掌握空間向量的夾角與向量長度的坐標計算公式．教學重難點教學重難點教學重點：1．空間向量的坐標運算；2．空間向量的夾角公式、距離公式的坐標表示；3．空間向量平行和垂直的條件的坐標表示．教學難點：1．向量坐標的確定；2．空間向量的夾角公式、距離公式和平行、垂直條件的應用．教學過程教學過程引入新課提出問題：在正方體的兩個面內任取兩點，如何求出這兩點間的距離？請同學們積極思考并說出求解方案．活動設計：學生自由發(fā)言；教師板書記錄．學情預測：學生可能回答：(1)可用尺子直接測量出來；(2)建立直角坐標系，求出A、B兩點的坐標，再利用距離公式求出其模長．活動成果：因為上一節(jié)課已經學會了空間向量的坐標表示，所以建立空間直角坐標系后，向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標就可以表示出來，還須知道有了向量的坐標如何來求向量的模．設計意圖：從實際問題引入，使學生了解數學來源于實際．同時教具的輔助作用，使新課的引入顯得生動自然、易于接受．把實際問題抽象成數學模型是學生形成和掌握概念的前提，也是培養(yǎng)學生觀察分析能力的重要一步．探究新知提出問題：我們已經知道了空間向量坐標表示的由來，也已經學會了空間向量的加減、數乘和數量積運算的定義，請根據平面向量的坐標運算規(guī)律，猜想空間向量的坐標運算規(guī)律，填寫下表，并證明你的結論．向量的運算平面向量的坐標運算空間向量的坐標運算a＋ba－bλaa·b活動設計：1.學生自己推算并自覺討論；教師巡視并注意和學生交流；2．部分學生到黑板上板演證明過程；教師點評補充．學情預測：學生基本上都能夠猜想出空間向量運算的坐標表示，大部分同學能夠給出證明，對數量積運算的坐標表示可能存在困難．活動成果：設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，λ是實數，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；λa＝(λx1，λy1，λz1)；a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.證明一：加法的坐標表示的證明∵a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，∴a＋b＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)．證明二：空間向量的數量積的坐標表示的證明∵a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，∴a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋x2y1i·j＋y1y2j2＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j＋z1z2k2＝x1x2＋y1y2＋z1z2.設計意圖：引導學生大膽地“由舊猜新”，即由平面向量的公式猜想出空間向量相應的公式，讓學生在猜想的過程中發(fā)現二維與三維的內在聯系，并根據學生的實際情況進行有針對性的指導，對普遍出現的問題組織全班性的討論．理解新知提出問題：空間向量的平行、垂直關系，空間向量的夾角、模的公式應如何用坐標表示？活動設計：1.學生自己推演，教師巡視指導；2．部分學生在黑板上板演，教師點評并請學生修改補充．活動成果：設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，且a≠0，b≠0.1．a∥b存在唯一確定的實數λ，使得x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2；2.a⊥bx1x2＋y1y2＋z1z2＝0；3.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；4．cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y12＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z22)).設計意圖：通過對公式的推導熟練坐標運算，增強學生應用向量坐標運算的意識．運用新知已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，(1)求A，B中點M的坐標和eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))；(2)求到A，B兩點距離相等的點P(x，y，z)的坐標x，y，z滿足的條件．思路分析：(1)要求A，B中點M的坐標，就是求向量eq\o(OM,\s\up6(→))的坐標，已知A，B兩點的坐標，就是已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標，由向量的加減運算即可求出向量eq\o(OM,\s\up6(→))的坐標；要求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))，就是求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))，只需求出向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標即可．(2)要求到A，B兩點距離相等的點P(x，y，z)的坐標x，y，z滿足的條件，只需把到A，B兩點距離相等這個條件用點P(x，y，z)的坐標x，y，z表示出來即可．解：(1)∵M為A，B的中點，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)((3,3,1)＋(1,0,5))＝eq\f(1,2)(4,3,6)＝(2，eq\f(3,2)，3)．∴M點的坐標為(2，eq\f(3,2)，3)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(－22＋－32＋42)＝eq\r(29).∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\r(29).(2)∵點P(x，y，z)到A，B的距離相等，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PB,\s\up6(→)))).又∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3－x,3－y,1－z)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y,5－z)，∴(3－x)2＋(3－y)2＋(1－z)2＝(1－x)2＋(－y)2＋(5－z)2，整理得4x＋6y－8z＋7＝0.點評：利用空間向量解決立體幾何問題的關鍵就是立體幾何問題向空間向量的轉化，轉化以后，再利用空間向量的運算或其坐標運算解決即可．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(鞏固練習))已知長方體ABCO—A1B1C1O1，OA＝OC＝2，OO1＝4，D為BC1與B1C的交點，E為A1C1與O1B1的交點，則DE的長度為________．答案：eq\r(5)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(變練演編))如圖，在正方體ABCD—A′B′C′D′中，點E′，F′分別是A′B′，C′D′的一個四等分點．(1)求BE′和DF′所成角的余弦值.(2)能否利用向量求直線BD′和平面ABCD所成的角？你能否給出一個可行的方案？(3)能否利用向量求二面角F′ADC的大小？你能否給出一個可行的方案？解：(1)不妨設正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(1,1,0)，E′(1，eq\f(3,4)，1)，D(0,0,0)，F′(0，eq\f(1,4)，1)．所以＝(1，eq\f(3,4)，1)－(1,1,0)＝(0，－eq\f(1,4)，1)，＝(0，eq\f(1,4)，1)－(0,0,0)＝(0，eq\f(1,4)，1)，||＝eq\f(\r(17),4)，||＝eq\f(\r(17),4)，·＝0×0＋(－eq\f(1,4)×eq\f(1,4))＋1×1＝eq\f(15,16).所以cos〈，〉＝eq\f(\f(15,16),\f(\r(17),4)×\f(\r(17),4))＝eq\f(15,17).(2)方案一：將直線BD′和平面ABCD所成的角轉化為直線eq\o(BD′,\s\up6(→))和eq\o(BD,\s\up6(→))所成的角；方案二：將直線BD′和平面ABCD所成的角轉化為直線eq\o(BD′,\s\up6(→))和eq\o(DD′,\s\up6(→))所成的角的余角．(3)方案：二面角F′ADC的大小轉化為和eq\o(DC,\s\up6(→))所成的角．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(達標檢測))1．與向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量為()A．(1,7,5)B．(1，－7,5)C．(－1，－7,5)D．(1，－7，－5)2．已知點A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，則點C的坐標是()A．(－eq\f(6,5)，－eq\f(4,5)，－eq\f(8,5))B.(eq\f(6,5)，－eq\f(4,5)，－eq\f(8,5))C．(－eq\f(6,5)，－eq\f(4,5)，eq\f(8,5))D.(eq\f(6,5)，eq\f(4,5)，eq\f(8,5))3．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值，并求出此時的eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ka＋b))；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．答案：1.C2.A3.(1)k＝－eq\f(1,3)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ka＋b))＝eq\f(\r(321),3)(2)k＝eq\f(106,3)課堂小結1．知識收獲：空間向量運算的坐標表示；空間向量平行與垂直關系的坐標表示；空間向量夾角和空間兩點距離公式的坐標表示；2．方法收獲：類比方法；轉化方法；3．思維收獲：類比思維；轉化思維．布置作業(yè)課本習題．補充練習1．已知點A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為()A．30°B．45°C．60°D．90°2．設eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2，且a，b的夾角為120°；則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋b))等于________．3．設向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計算3a－2b，a·b，并確定λ，μ的關系，使λa＋μb與z軸垂直．答案：1.C2.23．解：3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)，a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21，由(λa＋μb)·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1