高數(shù)課件第十二章

第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂四、小結(jié) 思考題收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù) 部分和數(shù)列有界.故有界.有界,故收斂,∴部分和數(shù)列收斂

,

從而”若”又已知單調(diào)遞增,也收斂.【證】““￥n=12.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:【基本定理1】一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.【定義】

若

un

?

0,

則稱

un為正項(xiàng)級(jí)數(shù).￥設(shè)s=vn

un

￡

vn

,n=1且sn

=

u1

+

u2

+

+

un

￡

v1

+

v2

+

+

vn

￡

s,【證明】

(1)3.【定理2】比較審斂法￥

￥設(shè)

un和vn均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un

￡

vnn=1

n=1(n

=

1,

2,)￥

￥￥則 (1)若

收vn斂，必有n=1(2)若

發(fā)un散，必有n=1￥收u斂n

.n=1發(fā)散vn.n=1則sn

?

sn

fi￥

)

且un

￡

vn

,設(shè)sn

fi+￥

(n

fi+￥無(wú)界￥\

vn發(fā)散.n=1(發(fā)散).

且￥【證畢】比較審斂法的不便:

須有參考級(jí)數(shù)（比較對(duì)象）.(2)￥【推論】

若

u收n斂n=1vn

￡

kun

(n

?N

,k

>0)（或vn

?）kun則vn

收斂(發(fā)散).n=1即部分和數(shù)列Sn有界￥\

un收斂.n=1【例1】討論P(yáng)-級(jí)數(shù)1

+1

+1

+1

+

+1

+的收斂性.(p

>0)2

p

3

p

4

p

npnnp【解】

設(shè)

p

￡

1,

\

np

<

n

1

?

1

,設(shè)p

>1,由圖可知oyxy

=

1

(

p

>

1)x

p1

234nxnp

pn-11

<

dxs

=

1

+

1

+

1

+

+

1n

2

p

3

p

np￡

1

+n

x

ppxdx

dxn-121+

+P—級(jí)數(shù)發(fā)散=

1

+x

pn

dx1)1(1

-p

-

11=

1

+np-1p

-

11<

1

+即sn有界,則P

-級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)p

￡

1時(shí),當(dāng)p

>

1時(shí),

收斂發(fā)散【結(jié)論】P

-級(jí)數(shù)［重要參考級(jí)數(shù)］幾何級(jí)數(shù),P

—級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).若存在

N?

Z

+

,

對(duì)一切

n

?

N

,【例2】證明級(jí)數(shù)￥n=11是發(fā)散的.n(n

+

1)【證明】因?yàn)?(n

+

1)21n(n

+

1)?而級(jí)數(shù)￥k

=2=1k發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.n(n

+

1)

￡

(n

+

1)24.【定理3】比較審斂法的極限形式￥

￥(3)

當(dāng)

l

=

+￥

時(shí),

若vn

發(fā)散,則

un

發(fā)散［同散］n=1

n=1unfi

￥

vn￥n=1￥n=1則(1)

當(dāng)

0

<

l

<

+￥

時(shí),

二級(jí)數(shù)有相同的斂散性［同斂散］(2)

當(dāng)

l

=

0時(shí)，若

vn

收斂,則

un

收斂

［同斂］￥

￥n=1

n=1設(shè)

un

與vn

都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果

lim

n

=

l,nfi

￥

vn【證明】

(1)

由lim

un

=

l2對(duì)于e=

l

>

0,$

N

,當(dāng)n

>N時(shí),l<

l

+

2l

unl

-

2

<

vn2

2n

n

n<

3l

v即

l

v

<

u

(n

>

N

)即￥由定理2

知￥由比較審斂法的推論,得證.當(dāng)l

=0時(shí),若vn

收斂,n=1當(dāng)l

=∞時(shí),un

>vn由定理2可知,

若

vn

發(fā)散

,n=1是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)

當(dāng)0

<

l

<

￥

時(shí),

兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散

;2)特別取,1npnv

=可得如下結(jié)論:

un

發(fā)散

un

收斂對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)nu

,nnfi

￥lim

u

=

lpn0

<

l

￡

￥p

>

1

,

0

￡

l

<

￥(2)當(dāng)l

=0

且

vn收斂時(shí),也收斂;也發(fā)散.(3)

當(dāng)l

=

￥

且

vn

發(fā)散時(shí),注:1)un

,vn均為無(wú)窮小時(shí),l

的值反映了它們不同階的比較.【教材定理6】【例3】判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)￥n=11nsin;(2)￥n=11n3

-

n；3n(2)

lim

3n

-

nnfi

￥

111=

limnfi

￥

1nsinn

=

1,原級(jí)數(shù)發(fā)散.nnfi

￥【解】(1)

lim

nsin

11=

limnfi

￥

1

-

n3n=

lim

n21￥n=1

3=

1,

n收斂,

故原級(jí)數(shù)收斂ln[1

+￥n=121(3)n(3)nfi

￥1n2nfi

￥=

1ln[1

+￥根據(jù)比較審斂法的極限形式知

n=11

]收斂.2nn2

lim

n2

ln[1

+

1設(shè)￥n=1nu

是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果lim

n+1

=

r

(r為數(shù)或

+

￥

)nfi

￥unu則

(1)

r

<

1

時(shí)級(jí)數(shù)收斂;(2)

r

>

1

時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)r

=1時(shí)失效.【證明】當(dāng)r為有限數(shù)時(shí),對(duì)"e>0,$

N

,

當(dāng)n

>N時(shí),un有un+1

-r<e,un即r

-

e<

un+1

<

r

+

e

(n

>

N

)5.【定理4】比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法)：當(dāng)r<1時(shí),取適當(dāng)小的正數(shù)ε使r+e=r

<1,u

<

rm-1u

,N

+m

N

+12uN

+3

<

ruN

+2

<

r uN

+1

,,是收斂的幾何級(jí)數(shù),m=1￥N

+1而

rm-1u￥

un收斂,n=N

+1￥\

uN

+m

=m=1故原級(jí)數(shù)收斂如圖unuN

+2

<

ruN

+1

,由

un+1

<

r

+

e=

r

得

(n

>

N

時(shí))當(dāng)r>1時(shí),取適當(dāng)小的正數(shù)ε使r-e=r

>1,當(dāng)n

>N時(shí),un

,級(jí)數(shù)發(fā)散runnfi

￥lim

un

?

0.比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).unun+1得(n

>N

)由r

=r

-e

<un+1nn2￥

￥【例】

級(jí)數(shù)

1

發(fā)散,

級(jí)數(shù)

1

收斂,n=1

n=1(r

=

1)事實(shí)上，對(duì)P—級(jí)數(shù)，1=

1lim

+1

=

limnfi

￥(n

+

1)

pnfi

￥

1npunun但p

>1,級(jí)數(shù)收斂;p

￡

1,

級(jí)數(shù)發(fā)散.nfi

￥un【兩點(diǎn)注意】1.當(dāng)

lim

un+1

=

1

時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.【例4】(1)

￥n=1

n!1;

(2)

￥n=1

10n!n

;

(3)

￥n=1

(2n

-

1)

2n1.【解】

(1)n!1

un+1

=

(n

+

1)!1unn

+

11=fi

0

(n

fi

￥

),收斂.n!1故級(jí)數(shù)￥n=12.比值審斂法的條件是充分的，而非必要(逆命題不成立)不存在，級(jí)數(shù)unun+1lim即,nfi

￥￥n=1判別下列級(jí)數(shù)的收斂性:未必u發(fā)n

散。如￥n=13

+

(-1)n3nfi

￥

(n

fi

￥

),(2)n!10n+1uun

n+1

=10=(n

+

1)!

10n

n

+

1發(fā)散.10n!故級(jí)數(shù)￥n=1n(3)un

nfi

￥

(2n

+

1)

(2n

+

2)(2n

-

1)

2nnfi

￥

lim

un+1

=

lim=

1,比值審斂法失效,改用比較審斂法1(2n

-

1)

2n

<

1

,n211收斂,n2￥n=1級(jí)數(shù)收斂.2n

(2n

-

1)故級(jí)數(shù)￥n=1=

limnfi

￥［補(bǔ)例］

討論級(jí)數(shù)的斂散性.【解】unun+1

limnfi

￥(n

+

1)

xnn

xn-1=

x根據(jù)定理4可知:當(dāng)0

<x

<1

時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)x

>1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)x

=1時(shí),6.根值審斂法【定理5】￥n=1nfi

￥設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

un

,若lim

n

un

=

r(r為數(shù)或+￥

),則

(1)

r

<

1

時(shí)級(jí)數(shù)收斂;1

,n=1nn￥【例如】

設(shè)級(jí)數(shù)

nnn

n

u1=

nn=

1

fi

0

(n

fi

￥

)故級(jí)數(shù)收斂.(2)

r>1

時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;(柯西判別法)：(3)

r=1時(shí)失效.【說(shuō)明】根值法條件同樣是充分條件，不必要.根值法常用于一般項(xiàng)un中含有指數(shù)為n次冪的級(jí)數(shù)的判別.比值法較根值法更常用.二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法【定義】正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).n

￥

￥n=1

n=1n-1

n(-1)

u

或n

n(-1)

u

(其中u

>

0)【定理7】（萊布尼茲定理）(Leibnitz

交錯(cuò)級(jí)數(shù)

判別法

)

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)un

?

un+11) (

n

=

1,

2,

);2)nfi

￥lim

un

=

0,￥n-1(-1)

unn=11收斂,且其和S

￡

u

,其余項(xiàng)滿足rn

￡

un+1

.【證明】

un-1

-

un

?

0,

s2n

=

(u1

-

u2

)

+

(u3

-

u4

)

+

+

(u2n-1

-

u2n

)數(shù)列s2n是單調(diào)增加的,又

s2n

=

u1

-

(u2

-

u3

)

-

-

(u2n-2

-

u2n-1

)

-

u2n￡

u1\

lim

s2n

=

s

￡

u1

.nfi

￥nfi

￥

lim

u2n+1

=

0,數(shù)列s2n是有界的,nfi

￥

nfi

￥\

lim

s2n+1

=

lim(s2n

+

u2n+1

)

=

s,\

級(jí)數(shù)收斂于和

s,

且s

￡

u1

.余項(xiàng)

rn

=

–(un+1

-

un+2

+

),rn

=

un+1

-

un+2

+

,滿足收斂的兩個(gè)條件,\

rn

￡

un+1

.【證畢】【例

5

】判別級(jí)數(shù)￥n=2n

-

1(-1)n

n的收斂性.【解】

此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)2

x(

x

-

1)2-

(1

+

x)x

-

1

(

x

)￠=<

0 (

x

?

2)x

-

1故函數(shù)

x

單調(diào)遞減,n+1n\

u

>

u

,nnfi

￥

n

-

1nnfi

￥又

lim

u

=

lim=

0.原級(jí)數(shù)收斂.【快速練習(xí)】用Leibnitz

判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂收斂2

3

4

n1)

1

-

1

+

1

-

1

+

+

(-1)n-1

1

+

2)

1

-

1

+

1

-

1

+

+

(-1)n-1

1

+

2!

3!

4!

n!+

收斂1

-

2

3

-

4+

+

+

(-1)n-110

102

103

104

10nn3)上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?;

2)1n1)￥n=1n!n=1;

3).10￥

￥n=11

nn發(fā)散收斂收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂【定義】正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).￥

￥【定理】若

un

收斂,則

un

收斂.n=1

n=1【證明】2nn

n令

v

=

1

(u

+

u

)

(n

=

1,2,),顯然

vn

?

0,

且

vn

￡

un

,￥\vn收斂,n=1￥

￥又

un

=

(2vn

-

un

),n=1

n=1￥\un

收斂.n=1【定義】￥

￥若

un

收斂,則稱

un

為絕對(duì)收斂.nfi

0

n=1￥

￥

￥n=1若

un

發(fā)散,而

un

收斂,則稱

un

為條件收斂.n=1【例如】￥n=1n-1

1n為條件收斂￥1(-1)n=1(-1)n=1n-1n2為絕對(duì)收斂￥n=110n(-1)n-1n均為絕對(duì)收斂.【說(shuō)明】（1）上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（2）逆命題不成立.(-1)n-1

1n￥如

n=1收斂，￥n=11n但發(fā)散此為變號(hào)級(jí)數(shù)（任意項(xiàng)級(jí)數(shù)）【例6】證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:(-1)

.;

(2)￥n=1￥(1)

n=1n4sin

nanen

n2【證】(1)4n￡

4

,sin

na

1n￥而

n=1n41

收斂,￥n=1\n4sin

na收斂￥因此n=1n4sin

na絕對(duì)收斂.(2)

令unnfi

￥

lim

un+1=

limnfi

￥(n

+

1)2en+1enn2=

lim1

n

+

12nfi

￥

e

=n<

11e因此￥n=1(-1)n

n2ne￥\

(-1)nn=1n2ne收斂,絕對(duì)收斂.四、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性(定義)利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法絕對(duì)收斂 條件收斂Leibniz判別法:數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性