2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)橢圓精練（解析版）

9.3橢圓（精練）

【題組一橢圓的定義及應(yīng)用】

1.（2021嗡國高三月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4（0,@,網(wǎng)0,-6）,動(dòng)點(diǎn)"滿足|加4|+|四=4,

則的最大值為（）

A.-2B.0

C.1D.2

【答案】C

【解析】易知〃的軌跡為橢圓，其方程為^+/=1,設(shè)M（x,y）,則/=1_￡,

44

.1.MA-MB=（-x,yl3-y）-（-x,->/3-y）=x2+/-3=y2+fl-^--3=空一2,

I4J4

因?yàn)?,2],所以.2￡[O,3],即￥_2￡卜2』，

：（MAMB=1.

.\/ma]x

故選：c.

2.（2021?全國高三專題練習(xí)）已知橢圓C:工+二=1的右焦點(diǎn)為F,P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（2,4）,

43

則|PA|-|P用的最小值為（）

A.1B.-1C.屈D.->/17

【答案】A

【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，MIPF|+|PF|=4.可得|PF|=4-|P「|,

所以叢1-12尸1=1H1+|尸產(chǎn)'|一4,

如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)P,A,F三點(diǎn)共線（點(diǎn)尸在線段AF'上）時(shí)，

此時(shí)1PAi+|PF1取得最小值，

20

又由橢圓C:?+5=l,可得尸（-1,0）且42,4）,所以|AFl=J（2+l/+16=5,所以I申|-|「用的最小值

為L(zhǎng)

故選：A.

）2

3.（2021?河南信陽高中（文））“4<jt<10”是“方程」一+二一=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”

氏-410-上

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因?yàn)榉匠躺?上一=1表示焦點(diǎn)在“軸上的橢圓，

攵一4T0—k

k-4>0

所以10-Q0,解得7Vz<10,

k-4>\0-k

22

故"4v&vl0”是“方程，x+/v—=1表示焦點(diǎn)在工軸上的橢圓”的必要不充分條件.

2-410-左

故選：B

4.（2021?江西（理））若隨機(jī)變量g~N（2,202『），且P（J<1）=P（毀a）.點(diǎn)M在橢圓G：J+y2-l±,

G的左焦點(diǎn)為尸，Q為曲線C”/+）,2_4后+20、+107=0上的動(dòng)點(diǎn)，則阿0-阿耳的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量J~N（2,20212）,旦尸（441）=尸片2幻，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性可知a=3,所以

1+丁=1,所以川-2四,0）；而x2+y2-40x+2Oy+lO7=O的圓心為G（2加,-10）,半徑為1,設(shè)橢圓的

右焦點(diǎn)為耳（20,0）,則忸M|+|FM=6,所以|9|=6-忻?，

因此-\MF\=|圖-（6-附用）=|MQ|+|叫|-6N|MC?|+制-7,而當(dāng)C?,耳三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且

|G制=10,所以的最小值為10-7=3,

故選：B.

22

5.（2021?全國高三專題練習(xí)）己知￡、尸2是橢圓C：二+5=l（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓C上一

礦b-

點(diǎn)，且而，配.若/百鳥的面積為9,則。=

【答案】3

'\PF}\+\PF2\=2a

\PFt\+\PF2\=2a

【解析】山麗,兩知』冗尸尸2=90°,則山題意，得?用?〔尸用=9,所以儼/訃|尸周=18可得

\PFf+\PFf=4c2

.附『+|尸用『=4。22

4c2+36=4a2，即/=9,所以。=3.

故答案為：3.

6.（2021?上海閔行區(qū)?閔行中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為耳、居的橢圓片+爐=1上，則

169

歸用+儼用=.

【答案】8

?>2

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)尸在焦點(diǎn)為「、居的橢圓三+匕=1上，所以/=16,所以。=4,

169

所以忸制+忸閭=2a=8,

故答案為：8

22

7.（2021?武功縣普集高級(jí)中學(xué)（理））已知橢圓C:-4—+馬=1（，”>。）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為"，鳥，點(diǎn)

P為橢圓上一點(diǎn)，且耳K面積的最大值為百，則橢圓C的短軸長(zhǎng)為.

【答案】2M

【解析】由橢圓的方程可知，橢圓的焦點(diǎn)"，亮在了軸上，且忸用=2州-（4-1）=2,

由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C左右頂點(diǎn)時(shí)，斗耳的面積最大，且;山瑪|屈二？=6,解得力=2,

所以橢圓C的短軸長(zhǎng)為2Vm2-l=273.

故答案為：2G

8.（2021?湖北恩施?）設(shè)點(diǎn)尸是橢圓會(huì)+q=1上的點(diǎn)，F(xiàn),,尸2是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若百巴的面積

為I，貝iJsinN耳產(chǎn)乙=.

【答案】|4

【解析】在橢圓二+金=1中，長(zhǎng)半軸。=3,半焦距c=2,山橢圓定義得1尸61+1P工1=2。=6,

95

22

在△咫鳥中,由余弦定理得:|FXF2|=|PF,^+\PF2|-2|PF；|-|IcosZFJPfi,

即：(2c)2=(2a)2-21尸用?|P8](1+cos/耳P心)，則I百I?I尸心I(1+cosN耳尸乙)=10,

又△”名的面積為g,則;|P/".|Pg|sinN耳Pg=|,即IWWP^Isin4P6=5,

22

于是得2sin/6Pg=1+cos/月尸鳥，兩邊平方得(1+cosZFtPF2)=4sinZFtPF2

n^l-cosN^P行）（l+cosN^PE）,

34

解得cosN/^P鳥=；,貝lJsinNKP^=M，

4

所以血/耳「心=歹

4

故答案為：—

【題組二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】

1.（2021?全國高三專題練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓

的面積除以圓周率乃等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

22

口二+二=1（4>6>0）的面積為26萬，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

a~b~

（）

+B.工+匚1C,^4=1DT+匚］

43342V332

【答案】A

ab=25/3

ci=2

【解析】由題意得〃=2c,解得〈

222

a=b+c113

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是片+f=1.

43

故選：A

2.（2021?山西長(zhǎng)治市?高三月考（文））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓

錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用周

長(zhǎng)為72的矩形/靦截某圓錐得到橢圓T,且T與矩形/陽9的四邊相切.設(shè)橢圓T在平面直角坐標(biāo)系中的

y2

方程為三+=1（〃>〃>0）,下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（）

a

X2V2

A.江+士B.—+^-=1

81161681

x2y2“2「2

C.----F—D.-x-+1--y--—

1006464100

【答案】C

x~2,2

【解析】由題意橢圓方程是方程為A"=1(?>/>>0),排除BD,

矩形ABCD的四邊與橢圓相切，則矩形的周長(zhǎng)為2（2a+2與=4。+4匕=72,a+》=18.

2y2

在橢圓工+—=1中，。=9,〃=4,。+。=13,不滿足題意,

8116

22

在橢圓^―十二=1中。=10/=8,。+人=18,滿足題意.

10064

故選：C.

3.（2021?全國（文））已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,則。的

方程為（）

222

B.三+工=1或工X1

A.廠---曠1---=11+—=1

161216121612

2,222

x1

c.—+—y=1D.—+—y=1或&+—=1

434343

【答案】D

【解析】因橢圓C中心在原點(diǎn)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,則4=2,c=l,b==B

）2

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在，軸上時(shí)，橢圓方程沏4上1，

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為:—y+一=1.

43

故選：D

4.（2021?湖南師大附中高三月考）（多選）若橢圓上存在點(diǎn)幾使得點(diǎn)P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比

為2：1,則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則下列橢圓中為“倍徑橢圓”的是（）

X2,222

A.y=1B.—+—y=1C.一+—y=1D.—+二y二1

16158925213336

【答案】BC

【解析】設(shè)點(diǎn)戶到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為0和2帆，mm+m=2a,即利

因?yàn)镼+cNmNq-c,則a+cN彳2。一c,所以aW3c.

對(duì)A,^4,c=l,不滿足;

對(duì)B,^=3,c=L滿足；

對(duì)C,小5,c=2,滿足；

對(duì)D,a=6,c—9不滿足.

故選：BC.

22

5.（2021?全國（理））寫出一個(gè)與橢圓C:三十二=1有公共焦點(diǎn)的橢圓方程

53

【答案】—+^-=1（答案不唯一）

108

22

【解析】由題可知橢圓的形式應(yīng)為」一+-^—=1（"?＞-3,且〃入0）,可取m=5

5+加3+%？

v-22

故答案為：二+匕=1（答案不唯一）

108

【題組三直線與橢圓的位置關(guān)系】

1.（2021?全國高三專題練習(xí)）已知橢圓C:/+二=l,直線/：y=x+m,若橢圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線

2

，對(duì)稱，則R的取值范圍是

A（變母B「遮?CMl目D

I3,3JB.[4司C[3，3J必（4，4J

【答案】C

【解析】設(shè)A（x2J,8（毛,為）是橢圓「上關(guān)于/對(duì)稱的兩點(diǎn)，46的中點(diǎn)為例（為,％）,

則%+占=2%，y]+y2=2y0,kAB=-\.

又因?yàn)?8在橢圓，上，所以x：+?=l,考+曰=1，

兩式相減可得21二&=-2,即為=2%.

又點(diǎn)M在/上,故為=%+加，解得/="，＞0=2m.

因?yàn)辄c(diǎn)〃在橢圓。內(nèi)部，所以病+2?。?,解得〃?/-率咚.

（）

故選：C

2.（2021?山東高三）直線y=x+3與曲線匯-空1=1（）

94

A.沒有交點(diǎn)B.只有一個(gè)交點(diǎn)C.有兩個(gè)交點(diǎn)D.有三個(gè)交點(diǎn)

【答案】D

【解析】當(dāng)xWO時(shí)、曲線為目+上=1,與直線方程聯(lián)立得：13f+24x=0

94

24

解得：％=0,X2=-;此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)

22

當(dāng)x>0時(shí)，曲線為匕-±=1,與直線方程聯(lián)立得：5X2-24X=0

94

解得：%=。（舍），當(dāng)=2?4,此時(shí)直線與曲線有?個(gè)交點(diǎn)

綜上所述：直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)

故選：D

3（2021?浙江高三）已知橢圓片+2=1上一點(diǎn)A（2,l）和該橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)8、C,直線A3、AC的斜率分

82

別為K、k29且匕+&=0,則直線5c的斜率左

A.%>?或％<-：B.k=C.%=1D.%的值不確定

2222

【答案】C

［解析］由匕+&2=0，設(shè)直線48為y=4（x_2）+l,直線AC為,=e（1―2）+1=-4（X—2）+1,點(diǎn)3為

（%,%），點(diǎn)C為（孫為）

易知，點(diǎn)A在橢圓上，聯(lián)立直線A8與橢圓方程得，（4婷+1卜2—（164一8年卜+166—16K一4=0,由韋達(dá)

定理得爐二f,即寸宏產(chǎn),代入直線AB中得至"飛產(chǎn)’即點(diǎn)8為

’8婷一眺-2~4好_秋+1、1”、/84+防-2-4彳+秋+1)

同理可得,11、C為[-)，.-)

、4婷+]--"4k,2+1-)14%「+14k~+1)

-4攵；+4占+1_-4.-4^+1

則直線BC的斜率為人二二二28日;匕=聾4故選,

46+14婷+］

2

4.（2021?全國高二課前預(yù)習(xí)）直線尸x+1與橢圓Y+二=1的位置關(guān)系是（)

2

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】C

y=x+l,

【解析】聯(lián)立，y2消去y,得3片+2x—1=0,

廠+彳=1，

因?yàn)?=2,+12=16>0,所以直線與橢圓相交.

5.（2021?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)）若曲線lyl=x+2與曲線。：二+其=1恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的

424

取值范圍是（）

A.（1,+°°）B.（YO,1]

C.I）.1-1,0）U（l,+00）

【答案】c

【解析】如圖示：lybx+2表示起點(diǎn)為A（-2,0）的兩條斜率分別為1和-1的射線.

丫2--2An2

當(dāng)曲線C:聶+?=1為橢圓時(shí)，即義＞0,只需點(diǎn)4（-2,（））落在橢圓內(nèi)，即卷+（＜1,解得：A＞1；

當(dāng)曲線C:奈?=1為雙曲線時(shí)，即九＜0,漸近線方程：y=土舊X

要使曲線lyl=x+2勺曲線C：二+.=1恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

4/14

只需J:41,解得：4V-1.

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是。,物）

故選：C

6.（2021?安徽高二月考（理））已知兩定點(diǎn)M（-l,0）,N（l,0）,直線/：y=x+6,在/上滿足

pM+|PN|=20的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.0或1或2

【答案】B

【解析】

'：\PM\+\PN\=242,|MN|=2,p在以為焦點(diǎn)，20為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上,

由于2a=2&，a=y/2,又c=l,因止匕6=,

丫2

橢圓方程為三+9=1,

2

y=x+y/iJ

由（d,，解得，

/.P點(diǎn)只有一個(gè).

—+y2=1

2:

故選:B.

7.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）若直線儂+利=4和圓=4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)（"?,〃）的直線與橢圓

二+《=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

94

A.2個(gè)B.至少一個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】A

【解析】直線如+行=4和圓*2+丁=4沒有交點(diǎn)，，直線與圓相離，圓心（0,0）,半徑廠=2

4_

2

/22＞2，即0〈加之+n＜2

7nr+n'

???點(diǎn)P（〃z,〃）在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓內(nèi)，

又橢圓：+?=1短軸長(zhǎng)為4,???圓〃?2+〃2=2內(nèi)切于橢圓，，點(diǎn)尸（利〃）在橢圓內(nèi)，

22

則過點(diǎn)（，〃,"）的直線與橢圓工+二=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

94

故選：A.

8.（2021?江西南昌十中高二月考（文））已知直線y="+l與橢圓工+或=1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的

5m

取值范圍為（）

A.m＞lB.加2/或0＜加＜1

C.加之/且加H5D.0＜相＜5且，

【答案】C

【解析】山題意，直線＞=日+1,可得直線恒過定點(diǎn)POD,

要使得直線產(chǎn)爪+1與橢圓工+上=1恒有公共點(diǎn)，

5m

[m＞\

只需點(diǎn)尸（0,1）在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，可得.

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為M2/且mw5.

故選：C.

9.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知以6（-2,0）,6（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線工+石）,+4=0有且僅有一

個(gè)交點(diǎn)，則桶圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A.3&B.2遙C.2bD.4夜

【答案】C

22

【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2〃（且。>2）,則橢圓方程為二+<—=1.

a2a2-4

Y+上=1

2

由佃2a-4,可得（4/-12）/+86（/-4）>+（16-。2）（/-4）=0,

x+>/3y+4=0

因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則A=0,

即192（/-4>-16（/-3）x（16-/）x（/-4）=0.

解得a=()或a=2或a=夕,

又由a>2,所以a=",所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2療.

故選：C.

10（2021?全國高三專題練習(xí)）已知直線x-3y+l=O與橢圓r：［+y2=］相交于與^兩點(diǎn)，若橢圓上存

在點(diǎn)乙使得NACB=90。，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【答案】（0,-1）或（考，-（■）

【解析】設(shè)A（x“yJ,3（孫力）,

x-3y+l=0

由消去X整理得lly2-6y_i=o,A>0,

—+y=1

12

61

則nl%+%=打，%%=一五，

所以X1+w=3（y+丫2）-2=-4,|4卻=J1+9.+%）-4%%，

又NACB=90。，則點(diǎn)，在以AB為直徑的圓上（不與A、8重合），

2丫/3丫200.

即點(diǎn)C在圓［x+打）+1y-―I=--t,

12

x=---

x=011

1或，

7

J=Ty

11

故答案為：(。,一1)或卜3?，一A).

22

11(2021?全國高三專題練習(xí))已知橢圓「+與=1(〃>人>0)的上、下頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為Bz、

ab-

Bi、A、F,延長(zhǎng)BF與AB,交于點(diǎn)P,若/BFA為鈍角，則此橢圓的離心率e的取值范圍為.

【答案】(二19一,1)

2

【解析】由題意得橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c,(c="萬)

可得NBFA等于向量B2A與FJi的夾角，

VA(a,0),B.(0,-b),B2(0,b),F2(c,0)

/.B2A=(a,-b),F2B1=(-C,-b),

?；NBFA為鈍角，.?.與A與外g的夾角大于

山此可得82A?月4<°，即-ac+b,<0,

將b2=a2-代入上式得:a2-ac-c2<0,

不等式兩邊都除以a?,可得l-e-e'VO,即e'+e-AO,

解之得e<±叵或e>*^,

22

結(jié)合橢圓的離心率e仁(0,1),可得二1撞VeVl,即橢圓離心率的取值范圍為(土至，1).故答

22

案為(Z1撞，1).

【題組四弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦】

1.（2021?山東濟(jì)寧?高三）已知橢圓C：E+￡=l,過點(diǎn)的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若P為

43k2；

48的中點(diǎn)，則直線A8的方程為（）

A.3x-2y-2=0B.3x+2y-4=0

C.3x+4y-5=0D.3x-4y-l=O

【答案】B

占+七二］

2x}+x2=2

【解析】設(shè)點(diǎn)3（孫力），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,所以

y+)'2_1X+丫2=1

22

2i

五

?+

43

因二'兩式作差得中+寧=0'即言=4'

K2

必

4+一

3

、

yfy

33

—^=常4?所以,kAB

X1+^2x,-x222

13

因此，直線AB的方程為=即3x+2y-4=0.

故選：B.

22

2.（2021?珠海市第二中學(xué)）已知橢圓C：5+￡=1（4>6>0）的左焦點(diǎn)為尸，過F作一條傾斜角為60。

的直線與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，M為線段A3的中點(diǎn)，若3|FM|=|OF|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓C的離

心率為（）

A.旦B.亞C.3D.史

5532

【答案】B

【解析】設(shè)AQ,y）,B（x2,y2）,M（“。），由題意得區(qū)■+[=1,與+*=1,兩式相減，得

ab-ab

（%+”f）+（，=0,因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，且直線AB的傾斜角為60。，所以

azh2

W+&=0.設(shè)F（-c,0）,則歸根二|OF|二c,過“作M"_Lx軸，垂足為“，則|FM'|=』〃F|=U，

a~b3326

ARfSJ31_3J.

\MM'\=^-\MF\=器C,由題易知M位于第二象限,所以M「鏟女cj，所以子+若=。,得3/=5凡

所以2/=5C2,所以e=￡=巫.

a5

故選：B

/y：2=1（〃>/?>（））的右焦點(diǎn)為尸，離心率為更，過點(diǎn)

3.（2021?廣西南寧三中高三（理））已知橢圓

/+記2

F的直線/交橢圓于A,8兩點(diǎn)，若A3的中點(diǎn)為（1/），則直線/的斜率為（）

A.——C.D.1

42

【答案】A

%+x

【解析】設(shè)B（x,y）,則A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為2X+力

2222

由題意可得占+々=2,y,+y2=2,

2

y

F

5+2

將A,8的坐標(biāo)的代入橢圓的方程：=1

%=1

官

2222

作差可得工「一X2一+-%=0，

a7b2

2

所以21二&二bx^+x2_b'

22

ayt+y2a

a2-b23

又因?yàn)殡x心率e=￡—.c2=a2-b2,所以

a2"4,

所以-駕=」，即直線A8的斜率為二,

a244

故選：A.

4.（2021?全國）已知橢圓￡:三■+

=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為尸（3,0）,過點(diǎn)F的直線交橢圓于AB兩點(diǎn),

a

若A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,則橢圓E的方程為（）

"02

A.《+￡=1c廠+y_

B，V.-------1--------1D.-------1--------

4536/尸2718189

【答案】I）

【解析】設(shè)4%,%）,8（*2，%），則再+々=2,yt+y2=-2,

(4+X2X4-%,)(y,+y,)(y-y)_

兩式相減得:]2

a

212

?一XZ?(Xj+x2)_b2b

〃(％+%)?2-2a

。+?b2

又T7I鼬「斗=1萬1

a22

c=3

b21a2=18

聯(lián)立--=一,得

a22b2=9'

c-=a~-b-

22

...橢圓方程為三+匯=1.

189

故選：D.

22萬

5.（2。21?全國高三專題練習(xí)）已知橢圓靛r+%=9八。）的離心率為凈，三角形域的三個(gè)頂點(diǎn)都

在橢圓上，設(shè)它的三條邊46、BC、4C的中點(diǎn)分別為"E、F,且三條邊所在直線的斜率分別為4,kz,k3

…于。）.若直線袱限仍的斜率之和為7（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則卜上+?一

【答案】2

［解析】???橢圓￡+E=1(4>b>0)的離心率為變,

a~b~2

.?.￡=立，則得￡=2.

a2a-2b2

又三角形/6C的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上,

三條邊A&BC、的中點(diǎn)分別為〃、E、F,三條邊所在直線的斜率分別為左、k,,尢，且左、k，,人均不為

0.

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線切、OE、伊的斜率之和為-1,

設(shè)/（小，%），B（應(yīng)，％）,C(如％),

貝吟和，東和，

(X,-x)(x,+x)_

兩式作差得22（y-%）（凹+為）

a"2及

?,X.-X)々1-(y+%)\Cl~,rr1iCT2,

則弋二一m"。。,即晨=一討”。。，

y一必b(X)+x2)bktb

.212

同理可得￡=-}%，『}總

11142

:,%+三+工=―亨*。0+*+*)=一2X(-1)=2.

故答案為：2

522

6.（2021?陜西寶雞?高三月考（文））A8是圓（x+2『+（y-l『=；的一條直徑，若橢圓卷+]_=1經(jīng)

過A8兩點(diǎn)，則A8直線方程為.

【答案】x-2y+4=0

【解析】QA8是圓（x+2）2+（y-iy=|的直徑，J.A8中點(diǎn)為（一2,1）,

2

231

2

設(shè)A（X1,yJ,8（毛,乃），則'%

3一

兩式作差得.(用+，)(*|一々)=('+%)(?—%),

123

.k/-%=1_IT」

占-工24y+必422

.?.A3所在直線方程為：y-l=；(x+2),即x-2y+4=0.

故答案為：x-2y+4=0.

7.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））橢圓?+1=1內(nèi)，過點(diǎn)"（2,1）且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程

為.

【答案】9x+8y-26=0

【解析】設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為4&,3）,3（々/2），因?yàn)锳3在橢圓上，

,城

Ilv+一

-立

9V城

一

所以

所以-

1K62-9

+%1616

9一-

116

9-一…乂一力X+M9

—.所以------------

16±一x,x,+x216

99

所以心所以"3=-不，

zxzO

O

所以AB的方程為：y-l=-f(x-2),即9x+8y-26=0,

O

故答案為：9x+8y-26=0.

【題組五離心率】

1.（2021?全國高三）已知橢圓￡：「+馬=1的半截距為c,尸是￡上異于短軸端點(diǎn)的一點(diǎn),

a~b~

若尸點(diǎn)的坐標(biāo)為則橢圓￡的離心率為（

「V15

A.叵B?嚕D.叵

1266

【答案】D

4〃「25

【解析】將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入E的方程得±+J=l,所以二=三，整理得/=5/.又戶=02一02,

所以C?=5（/-C2）,所以6c2=542,即《=』，所以橢圓E的離心率e=￡=、口=4更，

a6tzV66

故選：D.

，V2

2.（2021?甘肅高三開學(xué)考試（理））已知小尸2分別是橢圓C:0+2=l（a>b>O）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)只

0是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，旦PFJ/QF.若|P附+|Q閭2b,則。的離心率的取值范圍是（）

2J

【答案】C

【解析】由點(diǎn)只0是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn),

延長(zhǎng)「耳交橢圓另一交點(diǎn)為A,

由尸耳〃。鳥再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，

易知?dú)w用=忻4

所以|P周+|用4|=|到，

由橢圓過焦點(diǎn)的弦通徑最短，

所以當(dāng)|PA|垂直x軸時(shí)，|融|最短，

所以641IPAI|mi.n

所以他432,

解得0<e4且.

2

故選：C

22

3.（2021?河北石家莊二中高三開學(xué)考試）橢圓M:三+?=1（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，心，P

ab

為橢圓"上任一點(diǎn)，且歸用忖用最大值取值范圍為［2c2,3c、2］（其中。2=〃2+從），則橢圓M的離心率的取

值范圍是（）

【答案】A

【解析】由基本不等式及橢圓定義可知

??.|巴訃|「用的最大值為/，

222

由題意知2c<a<3cf

y/2c<a<6c,?.—<e<.

32

故選：A

22

4.（2021?貴州貴陽?高三月考（文））設(shè)6，鳥是橢圓C：￡+￡=1,>6>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為直

線》=芋上一點(diǎn)，△耳是底角為30的等腰三角形，則橢圓C的離心率為（）

A.WB-|

C.3D,1

45

【答案】B

【解析】如圖所示，點(diǎn)P為直線》=個(gè)上一點(diǎn)，△耳尸鳥是底角為30的等腰三角形，

可得儼閭=閨周，所以2佶a-c）=2c,整理得g〃=4c,所以e=￡=：,

2

所以橢圓C的離心率為§.

故選B.

5.（2021?陜西咸陽市?高三開學(xué)考試（文））已知橢圓（?:/+，=1（〃>6>0），6，巴