2023版新教材高中數(shù)學(xué)習(xí)題課有關(guān)球的切接問(wèn)題新人教A版必修第二冊(cè)

習(xí)題課有關(guān)球的切接問(wèn)題必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1．一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，其外接球的體積為()A．48πB．32eq\r(3)πC．12πD．4eq\r(3)π2．已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓柱的外接球的體積為()A．eq\f(5\r(5)π,6)B．eq\f(8\r(2)π,3)C．eq\f(20\r(5)π,3)D．eq\f(64\r(2)π,3)3．已知某圓錐的母線長(zhǎng)為5，其側(cè)面開(kāi)放圖的面積為15π，則該圓錐外接球的表面積為()A．eq\f(625π,16)B．40πC．eq\f(225π,4)D．36π4．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，則球的體積與圓柱的體積之比為()A.eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,5)5．三棱錐B-ACD的頂點(diǎn)都在同一球面上，其中BA、BC、BD兩兩垂直，且BA＝3，BC＝4，BD＝5，則該球的表面積為()A．100πB．64πC．50πD．36π6．已知圓臺(tái)上下底面半徑分別為3、4，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為45°.且該圓臺(tái)上下底面圓周都在某球面上，則該球的體積為()A．100πB．eq\f(500π,3)C．200πD．eq\f(700π,3)7．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是________．8．已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，若a∶b∶c＝4∶2eq\r(2)∶1，且其外接球的表面積為25π，則該長(zhǎng)方體的體積為_(kāi)_______．關(guān)鍵力量綜合練1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝4，AB＝3，AA1＝12，∠BAC＝90°，且三棱柱的全部頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是()A．125πB．144πC．169πD．244π2．將一個(gè)直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．(2eq\r(2)－2)πB．(48－32eq\r(2))πC．(24－16eq\r(2))πD．(108－72eq\r(2))π3．已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100πB．128πC．144πD．192π4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1全部棱長(zhǎng)都為6，則此三棱柱外接球的表面積為()A．48πB．64πC．84πD．144π5．已知棱長(zhǎng)為a的正四周體的外接球表面積為S1，內(nèi)切球表面積為S2，則S1∶S2＝()A．9B．3C．4D．eq\f(1,3)6．已知正三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(2)，底面邊長(zhǎng)為4，則球O的表面積是()A．32πB．32eq\r(2)πC．24eq\r(2)πD．24π7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐P-ABCD是陽(yáng)馬，PA＝5，AB＝3，BC＝4，則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為()A．eq\f(125\r(2)π,3)B．50πC．100πD．eq\f(500π,3)8．一個(gè)正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為eq\r(3)，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積是________．9．如圖幾何體是由一個(gè)正四棱柱和正四棱錐組成的，已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長(zhǎng)均為2，若該幾何體的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則這個(gè)球的表面積為_(kāi)_______．10．如圖，正四棱錐S-ABCD中，SH是這個(gè)正四棱錐的高，SM是斜高，且SH＝2，SM＝2eq\r(2).(1)求這個(gè)四棱錐的全面積；(2)分別求出該幾何體外接球與內(nèi)切球的半徑．核心素養(yǎng)升級(jí)練1．在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，得到三棱錐O-DEF，則該三棱錐外接球的表面積為()A．3πB．eq\r(6)πC．6πD．24π2.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四周體稱之為鱉臑．如圖，三棱錐D-ABC為一個(gè)鱉臑，其中DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，AM⊥DC，M為垂足，則三棱錐M-ABC的外接球的表面積為_(kāi)_______．3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝60°，AC＝AA1，若三棱錐A1-ABC的外接球的半徑為eq\r(7)，則三棱錐A1-ABC的體積的最大值為_(kāi)_______．習(xí)題課有關(guān)球的切接問(wèn)題必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1．答案：D解析：由于正方體的棱長(zhǎng)為2，所以其體對(duì)角線為eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)，所以外接球的直徑即為2eq\r(3)，即外接球的半徑R＝eq\r(3)，所以外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.故選D.2．答案：B解析：如圖，O為外接球球心，母線BB1長(zhǎng)度為2，底面半徑r＝O2B＝1，易得外接球半徑R＝OB＝eq\r(OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋O2B2)＝eq\r(2)，∴外接球體積V＝eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3).故選B.3．答案：A解析：由題意，可設(shè)圓錐的底面半徑為r，則πr×5＝15π，故r＝3，則圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(52－32)＝4，設(shè)該圓錐外接球的半徑為R，則R2＝32＋(4－R)2，解得R＝eq\f(25,8)，故該圓錐外接球的表面積為4π×(eq\f(25,8))2＝eq\f(625π,16)，故選A.4．答案：B解析：設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，所以球的體積為V球＝eq\f(4,3)πr3，圓柱的體積為V圓柱＝πr2×2r＝2πr3，所以球的體積與圓柱的體積之比為eq\f(V球,V圓柱)＝eq\f(\f(4,3)πr3,2πr3)＝eq\f(2,3).故選B.5．答案：C解析：在三棱錐B-ACD中，BA、BC、BD兩兩垂直，將該三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體BCED-AFGH，則長(zhǎng)方體BCED-AFGH的體對(duì)角線長(zhǎng)為BG＝eq\r(BA2＋BC2＋BD2)＝5eq\r(2)，所以三棱錐B-ACD的外接球半徑為R＝eq\f(BG,2)＝eq\f(5\r(2),2)，因此，該三棱錐外接球的表面積為S＝4πR2＝50π.故選C.6．答案：B解析：由題意，軸截面如圖所示，AE＝DE＝1，若球體半徑為R，則R2－9＝(1＋eq\r(R2－16))2，可得R＝5.所以該球體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3).故選B.7.答案：8π解析：過(guò)正方體的對(duì)角面作截面如圖，故球的半徑r＝eq\r(2)，∴其表面積S＝4π×(eq\r(2))2＝8π.8．答案：8eq\r(2)解析：由a∶b∶c＝4∶2eq\r(2)∶1，不妨設(shè)a＝4k，b＝2eq\r(2)k，c＝k(k>0).由于長(zhǎng)方體的外接球的直徑為其體對(duì)角線，設(shè)外接球的半徑為r，則有(2r)2＝a2＋b2＋c2，即4r2＝16k2＋8k2＋k2＝25k2.而外接球的表面積為25π，所以S＝4πr2＝25k2π＝25π，解得k＝1.所以a＝4，b＝2eq\r(2)，c＝1，所以該長(zhǎng)方體的體積為V＝abc＝4×2eq\r(2)×1＝8eq\r(2).關(guān)鍵力量綜合練1．答案：C解析：∵三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，AC＝4，AB＝3，∠BAC＝90°，AA1＝12，∴可將棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為3，4，12.∴長(zhǎng)方體的對(duì)角線eq\r(32＋42＋122)＝13，即為球的直徑．∴球的半徑R＝eq\f(13,2)，∴球的表面積為S＝4πR2＝4π×(eq\f(13,2))2＝169π.故選C.2.答案：B解析：依題意，作圓錐的軸截面等腰直角三角形，截得其內(nèi)切球的大圓是此等腰直角三角形的內(nèi)切圓，圓錐的底面半徑為2，則其母線長(zhǎng)為2eq\r(2).設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r，則eq\f(1,2)×2eq\r(2)r＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)r＋eq\f(1,2)×4×r＝eq\f(1,2)×4×2，所以r＝2(eq\r(2)－1)，所以球表面積為S＝4πr2＝16(3－2eq\r(2))π＝(48－32eq\r(2))π.故選B.3．答案：A解析：設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑為r1，r2，所以2r1＝eq\f(3\r(3),sin60°)，2r2＝eq\f(4\r(3),sin60°)，即r1＝3，r2＝4，設(shè)球心到上下底面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，所以d1＝eq\r(R2－9)，d2＝eq\r(R2－16)，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|eq\r(R2－9)－eq\r(R2－16)|＝1或eq\r(R2－9)＋eq\r(R2－16)＝1，解得R2＝25符合題意，所以球的表面積為S＝4πR2＝100π.故選A.4．答案：C解析：如圖，D為棱BC的中點(diǎn)，G為正△ABC的中心，O為外接球的球心，依據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知OG∥AA1，OG＝eq\f(1,2)AA1＝3，外接球半徑R＝OC，∵正△ABC的邊長(zhǎng)為6，則CG＝2eq\r(3)，∴R2＝OC2＝OG2＋CG2＝21，外接球的表面積S＝4πR2＝84π.故選C.5．答案：A解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心，正四周體棱長(zhǎng)為a，由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)O也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R.在Rt△BEO中，BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(eq\f(\r(3),3)a)2＋r2，又R＋r＝eq\f(\r(6),3)a，可得R＝3r，S1∶S2＝R2∶r2＝9.故選A.6．答案：D解析：如圖所示：設(shè)O1為正三角形ABC的中心，連接PO1，則PO1⊥平面ABC，球心O在PO1上，設(shè)球O的半徑為R，連接AO，AO1，∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，∴O1A＝4×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(3),3)，又∵PA＝2eq\r(2)，∴在Rt△PO1A中，PO1＝eq\r(PA2－O1A2)＝eq\r(8－\f(16,3))＝eq\f(2\r(6),3)，在Rt△OO1A中，OA＝R，OO1＝PO1－PO＝eq\f(2\r(6),3)－R，O1A＝eq\f(4\r(3),3)，∴R2＝(eq\f(2\r(6),3)－R)2＋(eq\f(4\r(3),3))2，解得R＝eq\r(6)，∴球O的表面積為4πR2＝24π.故選D.7．答案：B解析：連接AC，BD，交于O1，取PC中點(diǎn)O，連接OO1，如圖所示由于O，O1分別為PC，AC的中點(diǎn)，所以O(shè)O1∥PA，又PA⊥平面ABCD，所以O(shè)O1⊥平面ABCD，所以O(shè)到A，B，C，D的距離都相等，又PO＝OC，所以O(shè)為該四棱錐的外接球的球心，在Rt△PAC中，PA＝5，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5，所以PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，所以該四棱錐的外接球的半徑R＝eq\f(PC,2)＝eq\f(5\r(2),2)，所以該陽(yáng)馬的外接球的表面積S＝4πR2＝4π×(eq\f(5\r(2),2))2＝50π.故選B.8．答案：eq\f(4π,3)解析：設(shè)正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，正六邊形的周長(zhǎng)為3，則邊長(zhǎng)為eq\f(1,2)，則AD＝eq\f(1,2)×2＝1，矩形ADD′A′經(jīng)過(guò)球心，AD′就是外接球的直徑，AD′＝eq\r(AD2＋DD′2)＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，外接球的半徑R＝eq\f(AD′,2)＝1，則外接球的體積為eq\f(4πR3,3)＝eq\f(4π·13,3)＝eq\f(4π,3).9．答案：9π解析：設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為h，則其外接球的半徑為R＝eq\f(1,2)eq\r(h2＋22＋22)＝eq\f(1,2)eq\r(h2＋8)＝h＋eq\f(1,2)h＝eq\f(3,2)h，解得h＝1，所以R＝eq\f(3,2)，故球的表面積為S＝4πR2＝9π.10．解析：(1)連接HM，HC.在△SHM中，HM＝eq\r(SM2－SH2)＝eq\r(（2\r(2)）2－22)＝2，故AB＝4.所以SABCD＝4×4＝16，S△SAB＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，故這個(gè)四棱錐的全面積為16＋16eq\r(2)；(2)由題幾何體外接球球心在線段SH上，設(shè)為O，設(shè)外接球的半徑為R.由于AB＝4，所以HC＝2eq\r(2)，在△OHC中，由勾股定理得：OC2＝HC2＋OH2，即R2＝8＋(R－2)2，解得：R＝3.設(shè)內(nèi)接球的半徑為r.VS-ABCD＝eq\f(1,3)×16×2＝eq\f(32,3)，VS-ABCD＝eq\f(1,3)×(16＋16eq\r(2))×r所以eq\f(32,3)＝eq\f(1,3)×(16＋16eq\r(2))×r，解得：r＝2(eq\r(2)－1).核心素養(yǎng)升級(jí)練1．答案：C解析：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，折起后OD，OE，OF兩兩垂直，故該三棱錐外接球即以O(shè)D，OE，OF為棱的長(zhǎng)方體的外接球．由于OD＝2，OE＝1，OF＝1，所以2R＝eq\r(OD2＋OE2＋OF2)＝eq\r(6)，所以R＝eq\f(\r(6),2)，所以該三棱錐外接球