東莞市南開實驗學校高一數(shù)學教案（1.1.1任意角）1四

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。本章學習的內(nèi)容主要是：三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應用.三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù)，與其他的函數(shù)相比,具有許多重要的特征：它以角為自變量，是周期函數(shù).三角函數(shù)是解決其他問題的重要工具，是高中階段學習的最后一個基本初等函數(shù),是深化函數(shù)性質(zhì)的極好素材。本章的認知基礎主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關知識,特別強調(diào)了單位圓的直觀作用,借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數(shù)。3.本章教學的重點是三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)的基本關系式,正弦函數(shù)的圖象及基本性質(zhì).難點是弧度制和圖象變換的準確理解和掌握.關鍵是學好三角函數(shù)定義.從實際教學情況來看,教學中應重視學生的畫圖.“五點畫圖”雖然簡單,但卻易學難掌握。在本章教學中,教師應根據(jù)學生的生活經(jīng)驗和已有的數(shù)學知識,通過列舉熟知的實例，創(chuàng)設豐富的情境，使學生體會三角函數(shù)模型的意義。教學時,可結(jié)合本章引言的章頭圖，讓學生圍繞這些問題展開討論，通過思考,讓學生知道三角函數(shù)可以刻畫這些周期變化規(guī)律，從而激發(fā)學生的求知欲。4。三角函數(shù)的內(nèi)容一直是高考的重要內(nèi)容,特別是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及結(jié)合三角形的基礎知識為背景的三角函數(shù)知識，頻頻在各省高考試題中出現(xiàn)，難度雖有降低,卻是經(jīng)久不衰的高考考查內(nèi)容.5。本章教學時間約需16課時,具體分配如下(僅供參考）:標題課時1。1任意角和弧度制約2課時1。2任意角的三角函數(shù)約3課時1.3三角函數(shù)的誘導公式約2課時1。4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)約4課時1。5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象約2課時1。6三角函數(shù)模型的簡單應用約2課時本章復習約1課時1.1任意角和弧度制1。1.1任意角整體設計教學分析教材首先通過實際問題的展示，引發(fā)學生的認知沖突，然后通過具體例子，將初中學過的角的概念推廣到任意角,在此基礎上引出終邊相同的角的集合的概念。這樣可以使學生在已有經(jīng)驗（生活經(jīng)驗、數(shù)學學習經(jīng)驗）的基礎上，更好地認識任意角、象限角、終邊相同的角等概念。讓學生體會到把角推廣到任意角的必要性，引出角的概念的推廣問題。本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角坐標系的關系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個統(tǒng)一的載體.教學中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導學生善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來認識問題、解決問題.讓學生初步學會在平面直角坐標系中討論任意角.能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合，是本節(jié)的一個重要任務.學生的活動過程決定著課堂教學的成敗，教學中應反復挖掘“探究"欄目及“探究”示圖的過程功能,在這個過程上要不惜多花些時間，讓學生進行操作與思考，自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S=｛β｜β=α+k·360°,k∈Z｝的含義。如能借助信息技術,則可以動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程,更有利于學生觀察角的變化與終邊位置的關系,讓學生在動態(tài)的過程中體會，既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向,才能準確刻畫角的形成過程的道理，更好地了解任意角的深刻涵義。三維目標1。通過實例的展示，使學生理解角的概念推廣的必要性，理解并掌握正角、負角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示，樹立運動變化的觀點,并由此深刻理解推廣之后的角的概念。2。通過自主探究、合作學習，認識集合S中k、α的準確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個,它們相差360°的整數(shù)倍.這對學生的終身發(fā)展，形成科學的世界觀、價值觀具有重要意義.3.通過類比正、負數(shù)的規(guī)定,讓學生認識正角、負角并體會類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運用，為今后的學習與發(fā)展打下良好的基礎。重點難點教學重點：將0°—360°范圍的角推廣到任意角，終邊相同的角的集合.教學難點:用集合來表示終邊相同的角。課時安排1課時教學過程導入新課圖1思路1.（情境導入）如圖1，在許多學校的門口都有擺設的一些游戲機，只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得高額獎品.由此發(fā)問：指針怎樣旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運動員旋轉(zhuǎn)的角度,自行車車輪旋轉(zhuǎn)的角度,螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度，這些角度都怎樣解釋？在學生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣.進而引入角的概念的推廣的問題。思路2.(復習導入）回憶初中我們是如何定義一個角的?所學的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實生活的一些現(xiàn)象，比如你原地轉(zhuǎn)體一周的角度，應怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象？由此讓學生展開討論,進而引入角的概念的推廣問題。推進新課新知探究提出問題①你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調(diào)整準確?假如你的手表快了1。25小時，你應當怎樣將它調(diào)整準確?當時間調(diào)整準確后，分針轉(zhuǎn)過了多少度角？②體操運動中有轉(zhuǎn)體兩周,在這個動作中，運動員轉(zhuǎn)體多少度?③請兩名男生(或女生、或多名男女學生)起立，做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動作.在這個過程中,他們各轉(zhuǎn)體了多少度?活動：讓學生到講臺利用準備好的教具——鐘表,實地演示撥表的過程。讓學生站立原地做轉(zhuǎn)體動作。教師強調(diào)學生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量,并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方向。對回答正確的學生及時給予鼓勵、表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形,設一條射線的端點是O,它從起始位置OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，則形成了一個角α,點O是角的頂點,射線OA、OB分別是角α的始邊和終邊。我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角。鐘表的時針和分針在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負角，為了簡便起見,在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α"可以簡記作“α".如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角，零角的始邊和終邊重合，如果α是零角，那么α=0°。討論結(jié)果：①順時針方向旋轉(zhuǎn)了30°；逆時針方向旋轉(zhuǎn)了450°.②順時針方向旋轉(zhuǎn)了720°或逆時針方向旋轉(zhuǎn)了720°。③—180°或+180°或-540°或+540°或900°或1080°……提出問題①能否以同一條射線為始邊作出下列角：210°,-45°,—150°。②如何在坐標系中作出這些角，象限角是什么意思？0°角又是什么意思?活動:先讓學生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點撥,并對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生,教師提示、引導考慮問題的思路。學生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會作出很多形式不同的角.教師可以適時地提醒學生：如果將角放到平面直角坐標系中,問題會怎樣呢？并讓學生思考討論在直角坐標系內(nèi)討論角的好處：使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復始”的現(xiàn)象。今后我們在坐標系中研究和討論角，為了討論問題的方便，我們使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合。那么角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.要特別強調(diào)角與直角坐標系的關系-—角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合。討論結(jié)果：①能。②使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合。角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.這樣：210°角是第三象限角；—45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特別地，終邊落在坐標軸上的角不屬于任何一個象限，比如0°角.可以借此進一步設問：銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角？直角是第幾象限角？反之如何？將角按照上述方法放在直角坐標系中，給定一個角,就有唯一一條終邊與之對應，反之，對于直角坐標系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關系？提出問題①在直角坐標系中標出210°，—150°的角的終邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？它們有怎樣的數(shù)量關系？328°,-32°，-392°角的終邊及數(shù)量關系是怎樣的?終邊相同的角有什么關系？②所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi),怎樣用一個式子表示出來？活動：讓學生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關系，再用所準備的教具或是多媒體給學生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時地引導：終邊相同的一系列角與0°到360°間的某一角有什么關系,從而為終邊相同的角的表示作好準備.為了使學生明確終邊相同的角的表示方法，還可以用教具作一個32°角,放在直角坐標系內(nèi),使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，形成-32°角后提問學生這是第幾象限角?是多少度角？學生對后者的回答是多種多樣的.至此,教師因勢利導，予以啟發(fā)，學生對問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠成，本節(jié)難點得以突破。同時學生也在這一學習過程中，體會到了探索的樂趣，激發(fā)起了極大的學習熱情，這是比學習知識本身更重要的.討論結(jié)果：①210°與-150°角的終邊相同;328°，—32°，-392°角的終邊相同。終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍。設S=｛β｜β=—32°+k·360°,k∈Z}，則328°，-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此時k=0)。因此,所有與—32°角的終邊相同的角，連同-32°在內(nèi)，都是集合S的元素；反過來，集合S的任何一個元素顯然與—32°角終邊相同.②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以構(gòu)成一個集合S=｛β｜β=k·360°+α,k∈Z｝。即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成α與整數(shù)個周角的和。適時引導學生認識：①k∈Z;②α是任意角；③終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360°的整數(shù)倍.應用示例例1在0°—360°范圍內(nèi),找出與—950°12′角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:—950°12′=129°48′-3×360°，所以在0°—360°的范圍內(nèi),與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角.點評：教師可引導學生先估計—950°12′大致是360°的幾倍，然后再具體求解.例2寫出終邊在y軸上的角的集合.活動:終邊落在y軸上,應分y軸的正方向與y軸的負方向兩個。學生很容易分別寫出所有與90°,270°的終邊相同的角構(gòu)成集合，這時應啟發(fā)引導學生進一步思考：能否化簡這兩個式子，用一個式子表示出來。讓學生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識,教師再規(guī)范地板書出來.并強調(diào)數(shù)學的簡捷性.在數(shù)學表達式子不唯一的情況下，注意采用簡約的形式。圖2解：在0°-360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個,即90°和270°角,如圖2。因此,所有與90°的終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有與270°角的終邊相同的角構(gòu)成集合S2=｛β|β=270°+k·360°，k∈Z}。于是,終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2=｛β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪｛β｜β=90°+180°+2k·180°，k∈Z｝={β｜β=90°+2k·180°，k∈Z｝∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°，k∈Z}=｛β｜β=90°+n·180°，n∈Z}.點評:本例是讓學生理解終邊在坐標軸上的角的表示。教學中，應引導學生體會用集合表示終邊相同的角時，表示方法不唯一，要注意采用簡約的形式。變式訓練①寫出終邊在x軸上的角的集合。②寫出終邊在坐標軸上的角的集合.答案:①S=｛β｜β=(2n+1)·180°，n∈Z｝.②S={β｜β=n·90°,n∈Z｝例3寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤β〈720°的元素β寫出來.圖3解：如圖3，在直角坐標系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45°,在0°-360°范圍內(nèi)，終邊在直線y=x上的角有兩個:45°和225°，因此，終邊在直線y=x上的角的集合S=｛β|β=45°+k·360°,k∈Z｝∪｛β｜β=225°+k·360°,k∈Z｝.S中適合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=—315°，45°—1×180°=—135°，45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°，45°+2×180°=405°，45°+3×180°=585°。[來源:］點評:本例是讓學生表示終邊在已知直線的角，并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應訓練學生掌握這一方法.例4寫出在下列象限的角的集合:①第一象限；②第二象限；③第三象限;④第四象限。活動：本題關鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學生閱讀例題后沒有解題思路，或者把①中的范圍寫成0°—90°，可引導學生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進而引導學生寫出所有終邊相同的角。解:①終邊在第一象限的角的集合：｛β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}。②終邊在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β〈n·360°+180°,n∈Z｝。③終邊在第三象限的角的集合:｛β｜n·360°+180°〈β<n·360°+270°,n∈Z}。④終邊在第四象限的角的集合：｛β｜n·360°+270°〈β〈n·360°+360°,n∈Z｝.點評：教師給出以上解答后可進一步提問：以上的解答形式是唯一的嗎?充分讓學生思考、討論后形成共識,并進一步深刻理解終邊相同角的意義。知能訓練課本本節(jié)練習。解答：1.銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角;直角不屬于任何一個象限，不屬于任何一個象限的角不一定是直角;鈍角是第二象限角，但是第二象限角不一定是鈍角.點評：要深刻認識銳角、直角、鈍角和象限角的區(qū)別與聯(lián)系，并理解記憶。為弄清概念的本質(zhì)屬性，還可以再進一步啟發(fā)設問:銳角一定小于90°嗎？小于90°的角一定是銳角嗎？鈍角一定大于90°嗎?大于90°的角一定是鈍角嗎?答案當然是：不一定。讓學生展開討論，在爭論中，將對問題的認識進一步升華,并牢牢的記憶這些基礎知識。2。三、三、五.點評：本題的目的是將終邊相同的角的符號表示應用到其他周期性問題上.題目聯(lián)系實際,把教科書中除數(shù)360換成每個星期的天數(shù)7,利用了“同余"來確定7k天后、7k天前也是星期三，這樣的練習難度不大,可以口答。3.（1）第一象限角.(2）第四象限角。（3)第二象限角。(4）第三象限角。點評:能作出給定的角,并判斷是第幾象限的角.4.(1）305°42′，第四象限角.(2)35°8′，第一象限角。（3）249°30′，第三象限角.點評:能在給定的范圍內(nèi)找出與指定角終邊相同的角，并判斷是第幾象限的角.5。(1)｛β｜β=1303°8′+k·360°,k∈Z}，—496°42′,—136°42′,223°18′。(2)｛β|β=-225°+k·360°，k∈Z},-585°,-225°，135°。點評:用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊相同的角的集合，并在給定的范圍內(nèi)找出與指定的角的終邊相同的角。課堂小結(jié)以提問的方式與學生一起回顧本節(jié)所學內(nèi)容并簡要總結(jié)：讓學生自己