2023年新高考藝考生40天突破數(shù)學(xué)90分講義 專題03 等式與不等式的性質(zhì)（解析版）

專題03等式與不等式的性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2、不等式的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【方法技巧與總結(jié)】1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大?。唬?）下結(jié)論.作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大?。唬?）下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.【題型歸納目錄】題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍題型四：不等式的綜合問題【典例例題】題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，不妨令，，可得，，故A不正確．可得，，，故B不正確．可得，，，故C不正確．故選：D．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A中，由，因?yàn)?，可得，因?yàn)椴淮_定，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，只有當(dāng)不相等時(shí)，才有成立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，例如，此時(shí)滿足，但，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由不等式的基本性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，可得成立，所以D正確.故選：D例3．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若則.B．若則.C．若，則D．若，則【答案】AD【解析】若，則，又，則，A選項(xiàng)正確；若，滿足，但，不成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，，滿足，但，不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，又，∴，即，D選項(xiàng)正確.故選：AD變式1．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，如，時(shí)成立，A錯(cuò)；若則一定有，所以時(shí)，一定有，B正確；，但，C錯(cuò)；，則，D正確．故選：BD．變式2．（多選題）（2023·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)椋?，所以，的符?hào)不能確定，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，因?yàn)?，，所以，故B正確，因?yàn)?，所以，故C正確，因?yàn)椋?，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC【方法技巧與總結(jié)】1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷．3、小題可以用特殊值法做快速判斷．題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式例4．（2023·全國·高一）（1）試比較與的大??；（2）已知，，求證：．【解析】（1）由題意，，所以．（2）證明：因?yàn)?，所以，即，而，所以，則．得證．例5．（2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）比較與的大?。窘馕觥?<.例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，則s與t的大小關(guān)系是________.【答案】【解析】,.故答案為：.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知a，b均為正實(shí)數(shù).試比較與的大小；（2）已知a≠1且a∈R，試比較與的大小.【解析】（1）∵a，b均為正實(shí)數(shù)，∴，即≥.（2）由.①當(dāng)a=0時(shí)，0，則；②當(dāng)a<1且a≠0時(shí)，0，則；③當(dāng)a>1時(shí)，0，則.綜上，當(dāng)a=0時(shí)，；當(dāng)a<1且a≠0時(shí)，；當(dāng)a>1時(shí)，.【方法技巧與總結(jié)】比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大??；（4）下結(jié)論.作商比較大小（一般用來比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大?。唬?）下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：若，則；；； 若，則；；.題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，所以，解得：，因?yàn)?，所以，故選：A.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，可得，解得，，因?yàn)榭傻?，所?故選：C.例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故，，得故選：C變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則解得，∴，又，，∴即.故選：B.變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知－3<a<－2，3<b<4，則的取值范圍為（

）A．(1，3)B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范圍為(1，3)，故選：A．【方法技巧與總結(jié)】在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍，否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.題型四：不等式的綜合問題例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知有理數(shù)a，b，c，滿足，且，那么的取值范圍是_________．【答案】【解析】由于，且，所以，，，所以.故答案為：例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若,則將從小到大排列為______.【答案】【解析】，不妨令，則有，有，即.故答案為：.例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）能夠說明“設(shè)是任意實(shí)數(shù),若,則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為__________.【答案】【解析】，矛盾，所以?1，?2，?3可驗(yàn)證該命題是假命題.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】由題意得解得所以,因?yàn)椋?；因?yàn)?，所以．兩式相加得，故的取值范圍?【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·上海·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，故，A對(duì)B錯(cuò)；，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，CD都錯(cuò).故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，則下列不等式中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)，時(shí)，，但，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)，則，故B正確；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，不存在與，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，滿足，但不滿足，故A錯(cuò)誤；，，故B錯(cuò)誤；，，，，，故C正確；，，故D錯(cuò)誤．故選：C．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則，所以D錯(cuò)誤，故選：B5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則D正確.故選：D.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知：，又，則，顯然異號(hào)，又，所以.故選：B.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A顯然錯(cuò)誤，例如，；時(shí)，由得，B錯(cuò)；，但時(shí)，，C錯(cuò)；，又，所以，D正確．故選：D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以D正確，故選：D9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，由，?故選：A.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則，即.所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，即，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋傻?，所以D選項(xiàng)正確.故選:D.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，，，故的取值范圍是，故選：C.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，故A正確；若，，滿足，但此時(shí)，故B錯(cuò)；因?yàn)椋刹坏仁降目砷_方性，可得，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，由可得，故D正確.故選：B.二、多選題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列不等關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】對(duì)A，由，得，當(dāng)，時(shí)，A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)，時(shí)，B錯(cuò)誤；對(duì)C，由，得，根據(jù)基本不等式知，C正確：對(duì)D，由，得，所以，因?yàn)椋訢正確．故選：CD．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則【答案】AD【解析】A．由不等式的性質(zhì)可知同向不等式相加，不等式方向不變，故正確；B.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，故錯(cuò)誤；D.，因?yàn)?，，，所以，故正確；故選：AD15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于非零實(shí)數(shù)，滿足，則，即，故A一定成立；因?yàn)?，故B一定成立；又，即，所以，故C一定成立；對(duì)于D：令，，滿足，此時(shí)，故D不一定成立．故選：ABC16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)?，，所以，的符?hào)不能確定，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，因?yàn)?，，所以，故B正確，因?yàn)?，所以，故C正確，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，由，可得，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，由可得，而，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由，可得，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，由可得，而，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題18．（2023·上海·高三專題練習(xí)），，則的最小值是___________.【答案】【解析】設(shè)，則，解得，所以，，因此，的最小值是.故答案為：.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】設(shè)，則，