有限元分析平面問題有限單元法

有限元分析平面問題有限單元法第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三內(nèi)容Chp.4平面問題的有限元法1

4.1連續(xù)體的離散化4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?.3形函數(shù)的性質(zhì)4.4剛度矩陣要求理解：連續(xù)體有限元分片插值的含義

有限元分析中的幾個常用概念，包括：

形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣，剛度矩陣等

掌握：常應(yīng)變?nèi)切螁卧治隽鞒陶n后作業(yè)推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧骶仃囉邢拊治觥?－1,2,3,4第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三回顧剛架有限元分析的基本流程

整體離散梁單元分析單元組裝整體解算剛架結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)整體剛度方程PP1432123456eijTjmjqjTimiqiO’單元內(nèi)力eij△jfj△ifiy’x’O’單元變形單元剛度方程材料力學(xué)第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三

離散化方法

節(jié)點(diǎn)：i，j單元編號ePP1432123456單元(element):節(jié)點(diǎn)(node):1,2,3,44123456eij其中：e=1,2,3,4,5,6;i,j=1,2,3,4回顧天然劃分出各梁單元第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三梁單元分析由材料力學(xué)得：單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系局部坐標(biāo)系單元受力eijTjmjqjTimiqiO’局部坐標(biāo)系單元變形eij△jfj△ifiy’x’O’回顧第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三總體剛度矩陣的組裝PP1432123456組裝原理：位移協(xié)調(diào)條件節(jié)點(diǎn)平衡條件位移協(xié)調(diào)條件：各單元共享節(jié)點(diǎn)的位移相等節(jié)點(diǎn)平衡條件：各節(jié)點(diǎn)單元內(nèi)力與節(jié)點(diǎn)外力構(gòu)成平衡力系回顧最終數(shù)學(xué)模型：第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三基本概念

回顧單元（element）節(jié)點(diǎn)(node)單元節(jié)點(diǎn)位移(nodedisplacement)單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力(nodeforce)單元剛度矩陣(elementstiffnessmatrix)整體剛度矩陣組裝原理總體剛度矩陣，載荷向量，剛度方程第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三新問題：連續(xù)體的有限元分析如何離散化？

如何單元分析？

如何組裝單元？

第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三一、連續(xù)體的離散化人工節(jié)點(diǎn)逼近性離散節(jié)點(diǎn)位置，單元形狀、大小都會影響對原始結(jié)構(gòu)的逼近描述平面問題:三角形、矩形、任意四邊形…空間問題:四面體、正方體、任意六面體…第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三單元分析的理論基礎(chǔ)：二、平面問題三角形單元分析建立三角形單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系單元分析的目的：彈性力學(xué)基本理論vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxoFymFxmFyjFyiFxii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFxjyxo單元節(jié)點(diǎn)位移單元等效節(jié)點(diǎn)力(基本變量，基本方程，邊界條件)～？第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析平面問題彈性力學(xué)基本理論回顧：基本變量幾何方程平衡方程物理方程平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三單元變形分析（位移）問題：平面三角形問題中仍包含無窮多內(nèi)部連續(xù)點(diǎn)，如何用節(jié)點(diǎn)位移表征內(nèi)部連續(xù)位移？二、平面問題三角形單元分析解決思路：插值，即用節(jié)點(diǎn)位移插值近似其它點(diǎn)的位移。vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo如何插值？多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析單元變形分析（位移）vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo插值系數(shù)的確定：待定系數(shù)法6個方程6個系數(shù)第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析矩陣表達(dá)和運(yùn)算令A(yù)為三角形單元的面積

[T]*為[T]的伴隨矩陣：第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析矩陣表達(dá)和運(yùn)算（續(xù)）令同理，由回代，得第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析三角形單元形函數(shù)令得單元內(nèi)各點(diǎn)位移：單元節(jié)點(diǎn)位移：形函數(shù)第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三

例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣[N]。ijm第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三

由三角形的面積第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析單元變形分析（應(yīng)變）位移應(yīng)變代入記為[B]矩陣稱為應(yīng)變矩陣。

常數(shù)第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析單元應(yīng)力分析應(yīng)變應(yīng)力代入記為[S]矩陣稱為應(yīng)力矩陣。

[D]為彈性矩陣第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三單元平衡分析二、平面問題三角形單元分析FymFxmFyjFyiFxii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFxjyxo問題：假設(shè)隔離出的各單元，僅在節(jié)點(diǎn)上有內(nèi)力的作用（若單元邊界上和體內(nèi)有力的作用，可事先等效到節(jié)點(diǎn)上，如何等效？），則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與變形產(chǎn)生的應(yīng)力構(gòu)成平衡力系。單元滿足平衡條件平衡方程用虛功方程代替。第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三單元平衡分析二、平面問題三角形單元分析平面問題虛功原理代入得內(nèi)力虛功＝第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析單元平衡分析外力虛功＝載荷等效公式第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、平面問題三角形單元分析單元平衡分析外力虛功＝內(nèi)力虛功令[K]e單元剛度矩陣單元剛度方程第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三連續(xù)體三角形單元分析小結(jié)單元位移：節(jié)點(diǎn)位移插值單元剛度方程：由虛功方程建立離散化：單元分析：單元節(jié)點(diǎn)人工單元、節(jié)點(diǎn)單元應(yīng)變：由幾何方程建立單元應(yīng)力：由物理方程建立下次課內(nèi)容：單元組裝和單元等效節(jié)點(diǎn)外載第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023