橢球面上的測(cè)量計(jì)算

橢球面上的測(cè)量計(jì)算第一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.地球橢球的基本幾何參數(shù)4-1地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系橢圓的長(zhǎng)半軸：a橢圓的短半軸：b橢圓的扁率：五個(gè)基本幾何參數(shù)

橢圓的第一偏心率：

橢圓的第二偏心率：

a、b稱為長(zhǎng)度元素扁率反映了橢球體的扁平程度

e′和e反映橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁第二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三決定旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小，只需知道五個(gè)參數(shù)中的兩個(gè)就夠了，但其中至少要有一個(gè)長(zhǎng)度元素（如a或b）。為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，常引入以下符號(hào)和兩個(gè)輔助函數(shù)：注意式中，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)。第三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三0.006739496742270.0067395018194730.006738525414683e’20.00669437990130.0066943849995880.006693421622966e21/298.2572235631/298.2571/298.36399593.62586399596.65198801056399698.9017827110c6356752.31426356755.28815752876356863.0187730473b637813763781406378245aWGS-84系橢球1975國(guó)際橢球克拉索夫斯基橢球

我國(guó)所采用的的1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的1980國(guó)家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975國(guó)際橢球參數(shù)；而GPS應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。第四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4-2橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系（以上兩種是大地測(cè)量中兩種基本坐標(biāo)系）大地極坐標(biāo)系第五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1）大地坐標(biāo)系

P點(diǎn)的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點(diǎn)大地經(jīng)度，P點(diǎn)的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點(diǎn)的大地緯度，P點(diǎn)的位置用L、B表示。P若P點(diǎn)不在橢球面上，還要一個(gè)參數(shù)：大地高H來(lái)表示點(diǎn)位。它與正常高及正高的關(guān)系為：第六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三大地坐標(biāo)系是大地測(cè)量的基本坐標(biāo)系，具有如下的優(yōu)點(diǎn):(1)它是整個(gè)橢球體上統(tǒng)一的坐標(biāo)系，是全世界公用的最方便的坐標(biāo)系統(tǒng)。經(jīng)緯線是地形圖的基本線，所以在測(cè)圖及制圖中應(yīng)用這種坐標(biāo)系。(2)它與同一點(diǎn)的天文坐標(biāo)(天文經(jīng)緯度)比較，可以確定該點(diǎn)的垂線偏差的大小。第七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2）空間直角坐標(biāo)系

以橢球中心O為原點(diǎn)，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向?yàn)閅軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系O-XYZ，在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用X、Y、Z表示第八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三3）大地極坐標(biāo)系

M為橢圓體面上任意一點(diǎn)，MN為過(guò)M點(diǎn)的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長(zhǎng)，A為大地線在M點(diǎn)的大地方位角。以M為極點(diǎn)、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地極坐標(biāo)系。P點(diǎn)位置用S、A表示。

橢球面上的極坐標(biāo)（S、A）與大地坐標(biāo)（L、B）可以互相換算，這種換算叫大地主題解算。第九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4）空間直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系的關(guān)系

XY當(dāng)P點(diǎn)位于橢球面上時(shí)：第十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)P點(diǎn)不在橢球面上時(shí)：第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1、子午圈曲率半徑M小于赤道半徑aM隨B的增大而增大M等于極點(diǎn)曲率半徑B=0（在赤道處）0＜B＜90B=90（在極點(diǎn)處）說(shuō)明MB4.3橢球面上的幾種曲率半徑第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、卯酉圈曲率半徑

卯酉圈變?yōu)樽游缛Γ琋=cN90=cB=900N隨B的增大而增大a＜N＜c00<B<900卯酉圈變?yōu)槌嗟繠=00說(shuō)明NB第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三3、任意法截弧的曲率半徑當(dāng)A=0°或180°時(shí)，RA的值最小，此時(shí)R0=M（子午曲率半徑）當(dāng)A=90°或270°時(shí)，RA的值最大，此時(shí)R90=N（卯酉圈曲率半徑）；當(dāng)A由0°→90°時(shí)，RA之值由M→N；當(dāng)A由90°→180°時(shí)，RA之值由N→M。RA值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4、平均曲率半徑M、N、R的關(guān)系：N>R>M只有在極點(diǎn)上，它們才相等，且均等于極曲率半徑c，即：

由于RA的數(shù)值隨方位A的變化而變化，給測(cè)量帶來(lái)不便，在測(cè)量工作中，往往根據(jù)一定的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)作球面來(lái)處理，為此，就要推求該球面的曲率半徑--平均曲率半徑[就是過(guò)橢球面上一點(diǎn)的一切法截弧(0—2π），當(dāng)其數(shù)目趨于無(wú)窮時(shí)，它們的曲率半徑的算術(shù)平均值的極限，就稱為平均曲率半徑，用R表示]。第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.4橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算1.子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.平行圈弧長(zhǎng)公式

旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個(gè)圓，其半徑就是圓上任意一點(diǎn)的子午面直角坐標(biāo)x：如果平行圈上有兩點(diǎn)，其經(jīng)差，可寫(xiě)出平行圈弧長(zhǎng)公式：第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.子午線弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)變化的比較30.92329.87626.80221.90215.5008.0280.00036m1792.541608.131314.14930.02481.710.00111321m10755296488788485580128902030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.0271842.941844.261847.711852.391857.041860.421861.60110576m11065611086311114311142311162511169601530456075901″1′ΔL=1°1″1′平行圈弧長(zhǎng)子午線弧長(zhǎng)B單位緯差的子午線弧長(zhǎng)隨B的增大而緩慢地增大；而單位經(jīng)差的平行圈弧長(zhǎng)則隨B的增大而急劇縮短。同時(shí)還知，子午弧長(zhǎng)1°約為110KM，1′約為1.8KM，1″約為30M；而平行圈弧長(zhǎng)僅在赤道附近才與子午線弧長(zhǎng)大體相當(dāng)，隨著B(niǎo)的增大它們的差值愈來(lái)愈大。第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.5大地線

1.相對(duì)法截線的概念（1）緯度不同的兩點(diǎn)，法線必交于旋轉(zhuǎn)軸的不同點(diǎn)；（2）橢球面上一點(diǎn)的緯度愈高，法線與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)愈低；（3）當(dāng)兩點(diǎn)的緯度不同，又不在同一子午圈上時(shí)，這兩點(diǎn)的法線將在空間交錯(cuò)而不相交。因此當(dāng)兩點(diǎn)不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上時(shí)，兩點(diǎn)間就有二條法截線存在。第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、大地線橢球面上兩點(diǎn)間的最短曲線叫做大地線。大地線是橢球面上兩點(diǎn)間唯一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為：

在一等三角測(cè)量中，Δ可達(dá)千分之四秒，δ可達(dá)千分之一二秒大地線與法截線長(zhǎng)度之差只有百萬(wàn)分之一毫米，所以在實(shí)際計(jì)算中，這種長(zhǎng)度差異可以忽略不計(jì)。但是，根據(jù)大地線的性質(zhì)，在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，應(yīng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測(cè)得的方向、距離等應(yīng)歸算到相應(yīng)大地線的方向、距離。第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.6將地面觀測(cè)值歸算到橢球面將水平方向歸算至橢球面，三差改正：垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)為。4.6.1將地面觀測(cè)的方向值歸算到橢球面第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三垂線偏差改正的計(jì)算公式

1）垂線偏差改正把以垂線為依據(jù)的地面觀測(cè)的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正數(shù)稱為垂線偏差改正。第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2）標(biāo)高差改正標(biāo)高差改正：由照準(zhǔn)點(diǎn)高度引起的改正照準(zhǔn)點(diǎn)大地緯度

測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角

與照準(zhǔn)點(diǎn)的緯度B2對(duì)應(yīng)的子午圈曲率半徑照準(zhǔn)點(diǎn)的覘標(biāo)高

標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點(diǎn)的高程有關(guān)。

第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三3）截面差改正將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正

測(cè)站點(diǎn)大地緯度

與測(cè)站點(diǎn)的緯度B1對(duì)應(yīng)的卯酉圈曲率半徑截面差改正主要與測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)間的距離S有關(guān)。第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4）三差改正的計(jì)算各等三角測(cè)量在歸算時(shí)對(duì)取位的要求：

一等需算至0.001″；二等為0.01″；三等和四等為0.1″。

在一般情況下，一等三角測(cè)量應(yīng)加三差改正；二等三角測(cè)量應(yīng)加垂線偏差改正和標(biāo)高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測(cè)量只有在或H>2000m時(shí)，才分別考慮加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正。

第二十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1、基線尺量距高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響：基線兩端點(diǎn)平均大地高程基線方向法截線曲率半徑將上式展開(kāi)級(jí)數(shù)，取至二次項(xiàng)4.6.2將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算到橢球面第二十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、電磁波測(cè)距的歸算

前提：1)在橢球面上兩點(diǎn)間大地線長(zhǎng)度與相應(yīng)法截線長(zhǎng)度之差是極微小的，故可忽略不計(jì)，這樣可將兩點(diǎn)間的法截線長(zhǎng)度認(rèn)為是該兩點(diǎn)間的大地線長(zhǎng)度；2)兩點(diǎn)間的法截線長(zhǎng)度與半徑等于其起始點(diǎn)曲率半徑的圓弧長(zhǎng)相差也很微小(如當(dāng)S=640KM時(shí)，之差等于0.3米；S=200KM時(shí)，之差等于0.005m)